2023年线性代数知识点归纳

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1、线性代数复习要点第一部分 行列式1. 排列的逆序数2. 行列式按行（列）展开法则3. 行列式的性质及行列式的计算行列式的定义 1. 行列式的计算： (定义法) （降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其相应的代数余子式的乘积之和.推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的相应元素的代数余子式乘积之和等于零. (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 若都是方阵（不必同阶）,则 关于副对角线： 范德蒙德行列式： 型公式： (升阶法)在原行列式中增长一行一列，保持原行列式不变的方法. (递推公式法) 对阶行列式找出与或,之间的

2、一种关系称为递推公式，其中 ,等结构相同，再由递推公式求出的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再运用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. (数学归纳法) 2. 对于阶行列式，恒有：，其中为阶主子式；3. 证明的方法：、；、反证法；、构造齐次方程组，证明其有非零解；、运用秩，证明；、证明0是其特性值.4. 代数余子式和余子式的关系：第二部分 矩阵1. 矩阵的运算性质2. 矩阵求逆3. 矩阵的秩的性质4. 矩阵方程的求解1. 矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵. 记作：或 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. 矩阵相等:

3、 两个矩阵同型，且相应元素相等. 矩阵运算 a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，相应元素相加（减）. b. 数与矩阵相乘：数与矩阵的乘积记作 或，规定为. c. 矩阵与矩阵相乘：设, ,则， 其中 注：矩阵乘法不满足：互换律、消去律, 即公式不成立. a. 分块对角阵相乘：, b. 用对角矩阵乘一个矩阵,相称于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量； c. 用对角矩阵乘一个矩阵,相称于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量. d. 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的相应元素相乘. 方阵的幂的性质：， 矩阵的转置：把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作. a. 对称矩阵和反

4、对称矩阵: 是对称矩阵 .是反对称矩阵 . b. 分块矩阵的转置矩阵： 随着矩阵： ，为中各个元素的代数余子式. , . 分块对角阵的随着矩阵： 矩阵转置的性质：矩阵可逆的性质：随着矩阵的性质：（无条件恒成立）2. 逆矩阵的求法 方阵可逆 .随着矩阵法 ： 初等变换法 分块矩阵的逆矩阵： , 配方法或者待定系数法 （逆矩阵的定义）3. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖 线后面的第一个元素非零. 当非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其他元素都是时， 称为行最简形矩阵4. 初等变换与初等矩阵 对换变换、倍乘变换、倍加（或

5、消法）变换初等变换初等矩阵初等矩阵的逆初等矩阵的行列式()()() 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系： 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘； 对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘. 注意： 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵. 5. 矩阵的秩 关于矩阵秩的描述： 、，中有阶子式不为0，阶子式 (存在的话) 所有为0； 、，的阶子式所有为0； 、，中存在阶子式不为0； 矩阵的秩的性质： ; ; 若、可逆，则； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩. 若； 若 等价标准型. , , 求矩阵的秩：定义法和行阶梯形阵方法6 矩阵方程的解法

6、()：设法化成 第三部分 线性方程组1. 向量组的线性表达2. 向量组的线性相关性3. 向量组的秩4. 向量空间5.线性方程组的解的鉴定6. 线性方程组的解的结构（通解） （1）齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） （2）非齐次线性方程组的解的结构（通解）1. 线性表达：对于给定向量组，若存在一组数使得， 则称是的线性组合，或称称可由的线性表达.线性表达的判别定理: 可由的线性表达 由个未知数个方程的方程组构成元线性方程： 、有解 、 、（所有按列分块，其中）； 、（线性表出） 、有解的充要条件：（为未知数的个数或维数）2. 设的列向量为,的列向量为， 则 ， 为的解 可由线性表达

7、. 即：的列向量能由的列向量线性表达，为系数矩阵.同理：的行向量能由的行向量线性表达，为系数矩阵.即： 3. 线性相关性判别方法： 法1 法2法3推论 线性相关性判别法（归纳） 线性相关性的性质 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. （向量个数变动） 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. （向量维数变动） 两个向量线性相关相应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关. 向量组中任历来量都是此向量组的线性组合. 若线性无关，而线性相关,则可由线性表达,且表达法唯一

8、4. 最大无关组相关知识向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩.记作 矩阵等价 通过有限次初等变换化为. 向量组等价 和可以互相线性表达. 记作： 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩. 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且不改变行（列）向量间的线性关系 向量组可由向量组线性表达,且，则线性相关.向量组线性无关,且可由线性表达,则. 向量组可由向量组线性表达,且,则两向量组等价； 任历来量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价. 向量组的极大无关组不唯一，但极大无关组所含向量个数唯一拟定. 若两个线性无关的向量组等

9、价,则它们包含的向量个数相等. 设是矩阵,若，的行向量线性无关；5. 线性方程组理论线性方程组的矩阵式 向量式 其中 （1）解得判别定理（2）线性方程组解的性质： (3) 判断是的基础解系的条件： 线性无关； 都是的解； .(4) 求非齐次线性方程组Ax = b的通解的环节 （5）其他性质 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一. 若是的一个解，是的一个解线性无关 与同解（列向量个数相同）, 且有结果： 它们的极大无关组相相应,从而秩相等； 它们相应的部分组有同样的线性相关性； 它们有相同的内在线性关系. 矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解（左乘可逆矩阵）； 矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）

10、.第四部分 方阵的特性值及特性向量1. 施密特正交化过程2. 特性值、特性向量的性质及计算3. 矩阵的相似对角化，特别是对称阵的相似对角化1. 标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. 向量与的内积 . 记为： 向量的长度 是单位向量 . 即长度为的向量.2. 内积的性质： 正定性： 对称性： 线性性： 3. 设A是一个n阶方阵, 若存在数和n维非零列向量, 使得 ， 则称是方阵A的一个特性值，为方阵A的相应于特性值的一个特性向量. 的特性矩阵 （或）. 的特性多项式 （或）. 是矩阵的特性多项式 ，称为矩阵的迹. 上三角阵、下三角阵、对角阵的特性值就是主对角线上的各元素.

11、 若,则为的特性值,且的基础解系即为属于的线性无关的特性向量. 一定可分解为=、,从而的特性值 为：, . 为各行的公比，为各列的公比. 若的所有特性值，是多项式,则: 若满足的任何一个特性值必满足的所有特性值为；. 与有相同的特性值，但特性向量不一定相同.4. 特性值与特性向量的求法 (1) 写出矩阵A的特性方程，求出特性值. (2) 根据得到 A 相应于特性值的特性向量. 设的基础解系为 其中. 则A 相应于特性值的所有特性向量为 其中为任意不全为零的数. 5. 与相似 （为可逆矩阵） 与正交相似 （为正交矩阵） 可以相似对角化 与对角阵相似.（称是的相似标准形）6. 相似矩阵的性质： ,

12、从而有相同的特性值,但特性向量不一定相同.是关于的特性向量,是关于的特性向量. 从而同时可逆或不可逆 若与相似, 则的多项式与的多项式相似.7. 矩阵对角化的鉴定方法 n 阶矩阵A可对角化 (即相似于对角阵) 的充足必要条件是A有n个线性无关的特性向量. 这时,为的特性向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特性值. 设为相应于的线性无关的特性向量,则有：. 可相似对角化，其中为的重数恰有个线性无关的特性向量. ：当为的重的特性值时，可相似对角化的重数基础解系的个数. 若阶矩阵有个互异的特性值可相似对角化.8. 实对称矩阵的性质： 特性值全是实数,特性向量是实向量； 不同特性值相应的特性

13、向量必然正交； ：对于普通方阵，不同特性值相应的特性向量线性无关； 一定有个线性无关的特性向量. 若有重的特性值,该特性值的重数=； 必可用正交矩阵相似对角化，即：任一实二次型可经正交变换化为标准形； 与对角矩阵协议，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形； 两个实对称矩阵相似有相同的特性值.9. 正交矩阵 正交矩阵的性质： ； ； 正交阵的行列式等于1或-1； 是正交阵,则，也是正交阵； 两个正交阵之积仍是正交阵； 的行（列）向量都是单位正交向量组.10. 11. 施密特正交规范化 线性无关, 单位化： 技巧：取正交的基础解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一个解向量正交，再把第

14、二个解向量代入方程，拟定其自由变量. 第四部分 二次型1. 二次型及其矩阵形式2. 二次型向标准形转化的三种方式3. 正定矩阵的鉴定1. 二次型 其中为对称矩阵， 与协议 . （） 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 负惯性指数二次型的规范形中负项项数符号差 (为二次型的秩) 两个矩阵协议它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等. 两个矩阵协议的充足条件是：与等价 两个矩阵协议的必要条件是：2. 通过 化为标准形. 正交变换法 配方法（1）若二次型具有的平方项，则先把具有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，通过非退化线性变换，就得到标准形;（2

15、） 若二次型中不具有平方项，但是 (), 则先作可逆线性变换 , 化二次型为具有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方. 初等变换法3. 正定二次型 不全为零，.正定矩阵 正定二次型相应的矩阵.4. 为正定二次型（之一成立）： （1） ，； （2）的特性值全大于； （3）的正惯性指数为； （4）的所有顺序主子式全大于； （5）与协议，即存在可逆矩阵使得； （6）存在可逆矩阵，使得；5. （1）协议变换不改变二次型的正定性. （2） 为正定矩阵 ； . （3） 为正定矩阵也是正定矩阵. （4） 与协议，若为正定矩阵为正定矩阵 （5） 为正定矩阵为正定矩阵，但不一定为正定矩阵.6. 半正定矩阵的鉴定 一些重要的结论 ：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间. 关于：称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；线性无关；任意一个维向量都可以用线性表达.