新课标理科数学第六章第六节合情推理与演绎推理.ppt

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1、菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 第六节 合情推理与演绎推理 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 合情推理 (1)归纳推理 定义：由某类事物的部分对象具有某些特征 ， 推出该 类事物的 _对象都具有这些特征的推理 ， 或者由个别 事实概括出 _的推理 ， 称为归纳推理 (简称归纳 ) 特点：由 _到整体 、 由 _到一般的推理 全部 一般结论 部分 个别 菜 单 课 后 作

2、业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） (2)类比推理 定义：由两类对象具有某些 _和其中一类 对象的某些已知特征 ， 推出另一类对象也具有这些特征的推 理称为类比推理 (简称类比 ) 特点：类比推理是由特殊到 _的推理 (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事 实 ， 经过观察 、 分析 、 比较 、 联想 ， 再进行归纳 、 _， 然后提出猜想的推理 ， 我们把它们统称为合情推理 类似特征 特殊 类比 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验

3、明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 2 演绎推理 (1)演绎推理：从一般性的原理出发 ， 推出某个特殊情 况下的结论 ， 我们把这种推理称为演绎推理 简言之 ， 演绎 推理是由一般到 _的推理 (2)“ 三段论 ” 是演绎推理的一般模式： 大前提 已知的一般原理； 小前提 所研究的特殊情况； 结论 根据一般原理 ， 对特殊情况作出的判断 特殊 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 归纳推理和类比推理的共同特点和区别是什么 ？ 【 提示 】 共同点：两种推理的结论都有待于证明

4、 不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理 ， 类比推理是 由特殊到特殊的推理 2 演绎推理所获得的结论一定可靠吗 ？ 【 提示 】 演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题 的一种推理模式 ， 是一种必然性推理 演绎推理的前提与结 论之间有蕴含关系 ， 因而 ， 只要前提是真实的 ， 推理的形式 是正确的 ， 那么结论必定是真实的 ， 但是错误的前提可能导 致错误的结论 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 (人教 A版教材习题改编 )已知数列 an中 ， a1 1， n2时 ， an a

5、n 1 2n 1， 依次计算 a2， a3， a4后 ， 猜想 an 的表达式是 ( ) A 3n 1 B 4n 3 C n2 D 3n 1 【 解析 】 a1 1， a2 4， a3 9， a4 16， 猜想 an n2. 【 答案 】 C 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 2 “ 因为指数函数 y a x 是增函数 ( 大前提 ) ，而 y ( 1 3 ) x 是指数函数 ( 小前提 ) ，所以函数 y ( 1 3 ) x 是增函数 ( 结论 ) ” ， 上面推理的错误在于 ( )

6、 A 大前提错误导致结论错 B 小前提错误导致结论错 C 推理形式错误导致结论错 D 大前提和小前提错误导致结论错 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 解析 】 “ 指数函数 y ax是增函数 ” 是本推理的大 前提 ， 它是错误的 ， 因为实数 a的取值范围没有确定 ， 所以 导致结论是错误的 【 答案 】 A 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 3 在平面上 ， 若两个正三

7、角形的边长的比为 1 2， 则 它们的面积比为 1 4.类似地 ， 在空间中 ， 若两个正四面体 的棱长的比为 1 2， 则它们的体积比为 _ 【解析】 V 1V 2 13 S 1 h 1 ( 13 S 2 h 2 ) S 1S 2 h 1h 2 1 8. 【 答案 】 1 8 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 4 ( 2012 陕西高考 ) 观察下列不等式： 1 1 2 2 3 2 ， 1 1 2 2 1 3 2 5 3 ， 1 1 2 2 1 3 2 1 4 2 7 4 ， ， 照

8、此规律， 第五个 不等式为 _ 【解析】 观察每个不等式的特点，可知第 n 个不等式 为 1 1 2 2 1 3 2 1 （ n 1 ） 2 2 n 1 n 1 ， 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 故第五个不等式为 1 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 116 . 【答案】 1 12 2 13 2 14 2 15 2 16 2 116 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东

9、专用 ） 【 审题视点 】 由 fn(x) ffn 1(x)分别求 f2(x)， f3(x)， 然后观察 f1(x)， f2(x)， f3(x)中等式的分子与分母 ， 分母中常 数项与 x的系数相差为 1， 且常数项为 2n. 设函数 f ( x ) x x 2 ( x 0) ，且 f 1 ( x ) f ( x ) x x 2 ，当 n N * 且 n 2 时， f n ( x ) f f n 1 ( x ) ，则 f 3 ( x ) _ _ _ _ ，猜 想 f n ( x )( n N * ) 的表达式为 _ 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础

10、 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【尝试解答】 f 1 ( x ) x x 2 ， f n ( x ) f f n 1 ( x ) ( n 2) ， f 2 ( x ) f ( x x 2 ) x x 2 （ x x 2 2 ） x 3 x 4 . f 3 ( x ) f f 2 ( x ) f ( x 3 x 4 ) x 3 x 4 （ x 3 x 4 2 ） x 7 x 8 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 由所求等式知，分子都是 x ，分母中常

11、数项为 2 n ， x 的系 数比常数项少 1 ，为 2 n 1 ， 故 f n ( x ) x （ 2 n 1 ） x 2 n . 【答案】 x7 x 8 x（ 2 n 1 ） x 2 n 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 解答本题的关键有两点： (1)利用函数定义 ， 准确求 出 f2(x)， f3(x)； (2)发现各式中分母 x的系数与常数项之间的 关系 2 归纳推理的一般步骤 (1)通过观察个别情况发现某些相同本质 (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命 题

12、菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 已知经过计算和验证有下列正确的不等式： 3 17 2 10 ， 7.5 12.5 2 10 ， 8 2 12 2 2 10 ， 根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数 m ， n 都成立 的条件不等式 _ 【解析】 观察所给不等式可以发现：不等式左边两 个根式的被开方数的和等于 20 ，不等式 的右边都是 2 10 . 因此对正实数 m ， n 都成立的条件不等式是： 若 m ， n 大于 0 ，则当 m n 20 时，有 m n 2 10 . 【答

13、案】 若正数 m ， n 满足 m n 20 时，有 m n 2 10 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【 思路点拨 】 将等差数列中的乘法 、 除法分别类比成 等比数列中的乘方 、 开方 ( 2013 广州模拟 ) 已知数列 a n 为等差数列，若 a m a ， a n b ( n m 1 ， m ， n N * ) ，则 a m n nb ma n m . 类比等 差数列 a n 的上述结论，对于等比数列 b n ( b n 0 ， n N * ) ，若 b m c ， b n

14、 d ( n m 2 ， m ， n N * ) ，则可以得 到 b m n _ 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【尝试解答】 设数列 a n 的公差为 d ，数列 b n 的公比 为 q . 因为 a n a 1 ( n 1) d ， b n b 1 q n 1 ， a m n nb ma n m ， 所以类比得 b m n n m d n c m . 【答案】 n m d n c m 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验

15、明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 进行类比推理 ， 应从具体问题出发 ， 通过观察 、 分 析 、 联想进行对比 ， 提出猜想 其中找到合适的类比对象是 解题的关键 2 类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与 高维的类比；等差与等比数列类比；数的运算与向量运算类 比；圆锥曲线间的类比等 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 在平面上，设 h a 、 h b 、 h c 是三角形 ABC 三条边上的高， P 为三角形内任一点， P 到相应三边的距离分别为 P a ，

16、P b ， P c ，我们可以得到结论： P a h a P b h b P c h c 1. 把它类比到空间， 写出三棱锥中的类似结论 【解】 设 h a ， h b ， h c， h d 分别是三棱锥 A BCD 四个 面上的高， P 为三棱锥 A BCD 内任一点， P 到相应四个面 的距离分别为 P a ， P b ， P c ， P d . 于是我们可以得到结论： P a h a P b h b P c h c P d h d 1. 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） (201

17、2福建高考 )某同学在一次研究性学习中发现 ， 以下五个式子的值都等于同一个常数： sin213 cos217 sin 13 cos 17 ； sin215 cos215 sin 15 cos 15 ； sin218 cos212 sin 18 cos 12 ； sin2( 18 ) cos248 sin( 18 )cos 48 ； sin2( 25 ) cos255 sin( 25 )cos 55 . (1)试从上述五个式子中选择一个 ， 求出这个常数； 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用

18、 ） (2)根据 (1)的计算结果 ， 将该同学的发现推广为三角恒 等式 ， 并证明你的结论 【思路点拨】 从特殊 计算结果为 3 4 ，观察每个三角 函数式中三角函数名称与角的变化规律，归纳出一般性结 论；然后利用演绎推理进行证明 【尝试解答】 ( 1 ) 选择 式，计算如下： s in 2 15 c os 2 15 s in 15 c os 15 1 1 2 s in 30 3 4 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） ( 2) 归纳三角恒等式 s in 2 c os 2 ( 30

19、 ) s in c os ( 30 ) 3 4 . 证明如下 ： s in 2 c os 2 ( 30 ) s in c os ( 30 ) 1 c os 2 2 1 c os （ 60 2 ） 2 s in ( c os 30 c os s in 30 s in ) 1 2 1 2 c os 2 1 2 1 2 ( c os 60 c os 2 s in 60 s in 2 ) 3 2 s in c os 1 2 s in 2 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 2 1 2 c o

20、s 2 1 2 1 4 c os 2 3 4 s in 2 3 4 s in 2 1 4 (1 c os 2 ) 1 1 4 c os 2 1 4 1 4 c os 2 3 4 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 本题求解的关键有两点： (1)从特殊 式计算三角函 数式的值； (2)发现三角函数中各个角之间的关系 2 题目着重考查归纳推理与演绎推理 ， 通过观察个别 情况发现某些相同的特征 ， 抽象概括一般性结论；充分利用 两角和与差的三角公式进行演绎推理 ， 体现一般与特殊 、

21、 化 归转化的数学思想 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 已知函数 f ( x ) l n x ax 2 (2 a ) x . ( 1) 求函数 f ( x ) 的单调增区间； ( 2) 设 a 0 ，证明：当 0 x 1 a 时， f ( 1 a x ) f ( 1 a x ) 【解】 ( 1) f ( x ) 的定义域为 (0 ， ) ， f ( x ) 1 x 2 ax (2 a ) （ 2 x 1 ）（ ax 1 ） x . 若 a 0 ，则 f ( x ) 0 ，所以 f (

22、 x ) 在 (0 ， ) 上是增函 数 若 a 0 ，则由 f ( x ) 0 ，得 x 1 a . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 又当 x (0 ， 1 a ) 时， f ( x ) 0 ；当 x 1 a 时， f ( x ) 0. f ( x ) 在区间 (0 ， 1 a ) 上是增函数， 故当 a 0 时， f ( x ) 增区间为 (0 ， ) ；当 a 0 时， f ( x ) 的单调增区间为 (0 ， 1 a ) ( 2) 证明 设函数 g ( x ) f ( 1 a

23、 x ) f ( 1 a x ) 则 g ( x ) ln (1 ax ) ln (1 ax ) 2 ax ， g ( x ) a 1 ax a 1 ax 2 a 2 a 3 x 2 1 a 2 x 2 . 当 0 x 1 a 时， g ( x ) 0 ， 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 又 g ( 0 ) 0 ，所以 g ( x ) 0. 故当 0 x 1a 时， f ( 1a x ) f ( 1a x ) 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基

24、 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 演绎推理的一般模式是三段论 ， 应用三段论解决问题 时 ， 应当首先明确什么是大前提和小前提 如果大前提与推 理形式是正确的 ， 结论必定是正确的 如果大前提错误 ， 尽 管推理形式是正确的 ， 所得结论也是错误的 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比 ， 不要被表 面现象迷惑 ， 否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去 类比 ， 那么就会犯机械类比的错误 2 合情推理是从已知

25、的结论推测未知的结论 ， 发现与 猜想的结论都要经过进一步严格证明 3 演绎推理是由一般到特殊的推理 ， 它常用来证明和 推理数学问题 ， 注意推理过程的严密性 ， 书写格式的规范 性 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 归纳推理 、 类比推理 、 演绎推理等问题是高考的热点 ， 归纳 、 类比推理大多数出现在填空题中 ， 为中 、 低档题 演 绎推理大多数出现在解答题中 ， 为中 、 高档题目 在知识的 交汇点处命题 ， 背景新颖的创新问题 ， 常考常新 ， 值得重 视 菜 单 课 后

26、 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 创新探究之十 与归纳推理有关的创新题 (2012湖北高考 )传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学 家经常在沙滩上画点或用小石子表示数 他们研究过如图 6 6 1所示的三角形数： 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 an， 将可被 5整 除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列 bn， 可以 推测： (1)b2 012

27、是数列 an中的第 _项； (2)b2k 1 _ (用 k表示 ) 【解析】 ( 1) 由图可知 a n 1 a n ( n 1) ( n N * ) 所以 a 2 a 1 2 ， a 3 a 2 3 ， ， a n a n 1 n . 累加得 a n a 1 2 3 n ， 即 a n 1 2 3 n n （ 1 n ） 2 . 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 当 n 4 ， 5 ， 9 ， 10 ， 14 ， 15 ， 19 ， 20 ， 24 ， 25 ， 时， a n 能被

28、5 整除， 则 b 2 a 5 ， b 4 a 10 ， b 6 a 15 ， b 8 a 20 ， ， 所以 b 2 k a 5 k ( k N * ) 所以 b 2 0 1 2 a 5 1 0 0 6 a 5 0 3 0 . ( 2) 由 ( 1) 可知 b 2 k 1 a 5 k 1 1 2 5 k (5 k 1) 5 k （ 5 k 1 ） 2 . 【答案】 ( 1 ) 5 0 3 0 ( 2 ) 5 k （ 5 k 1 ）2 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 创新点拨： (1

29、)将几何直观 (三角形数 )， 子数列和归纳推 理交汇 ， 背景新颖 (2)由归纳推理得到一般结论 ， 再根据一般规律解决具 体问题 应对措施： (1)根据三角形数 ， 寻找 an与 an 1的关系 ， 可 尝试从简单情形入手进行归纳猜想 ， 叠加求出 an， 这是本题 求解的关键 (2)寻找 bk与 an关系 ， 从数列前若干项寻找 ， 探求条件中 包含的规律 ， 从而使问题得到解决 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 1 (2012江西高考 )观察下列各式： a b 1， a2 b2

30、 3， a3 b3 4， a4 b4 7， a5 b5 11， ， 则 a10 b10 ( ) A 28 B 76 C 123 D 199 【 解析 】 从给出的式子特点观察可推知 ， 等式右端的 值 ， 从第三项开始 ， 后一个式子的右端值等于它前面两个式 子右端值的和 ， 照此规律 ， 则 a10 b10 123. 【 答案 】 C 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 2 ( 2013 汕头 调研 ) 若 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 在椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1

31、 外，则 过 P 0 作椭圆的两条切线的切点为 P 1 ， P 2 ，则切点弦 P 1 P 2 所在 直线方程是 x 0 x a 2 y 0 y b 2 1. 那么对于双曲线则有如下命题：若 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 在双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1( a 0 ， b 0) 外，则过 P 0 作双 曲线的两条切线的切点为 P 1 ， P 2 ，则切点弦 P 1 P 2 所在的直线 方程是 _ 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 【解析】 对于椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1 ，切点弦 P 1 P 2 所在直线 方程 x 0 x a 2 y 0 y b 2 1 ， x 2 x x 0 ， y 2 y y 0 ， 类比，双曲线 x 2 a 2 y 2 b 2 1 的切点弦 P 1 P 2 所在直线为 x x 0 a 2 y y 0 b 2 1. 【答案】 x x 0a 2 y y 0b 2 1 菜 单 课 后 作 业 典 例 探 究 提 知 能 自 主 落 实 固 基 础 高 考 体 验 明 考 情 新课标 理科数学 （ 广东专用 ） 课后作业（四十一）