48高阶导数与高阶微分讲解课件

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1、2022-10-30福州大学数学与计算机学院1第八节第八节 高阶导数与高阶微分高阶导数与高阶微分一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、二、高阶导数求法举例高阶导数求法举例三、高阶微分三、高阶微分2022-10-30福州大学数学与计算机学院2一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题:变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva.)()()(tftvta定义定义.)()(,)()(lim)(,)()(0处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在即即处处可可导导

2、在在点点的的导导数数如如果果函函数数xxfxfxxfxxfxfxxfxfx 记作记作.d)(ddd,),(2222xxfxyyxf或或 2022-10-30福州大学数学与计算机学院3记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf.,),(33dxydyxf 二阶导数

3、的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf2022-10-30福州大学数学与计算机学院4二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0(xxxf0322)1()13(2)0(xxxf;0.2 1.1.直接法直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2022-10-30福州大学数学与计算机学院5例例2 2.,)(nxyey求求设设 解解,xey ,xey ,

4、xey 同理可得同理可得xnxneey )()()()10()(ln)()()(aaaaaynxnxn且且2022-10-30福州大学数学与计算机学院6例例3 3.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn同理可得同理可得)2cos()(cos)(nxxn2022-10-30福州大学数学与计算机学院7例例4 4.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1(x3)2)(1(x)1(2 xy)1()1()1()(nxnynn则则为自然数为自然数若若,)1(n

5、)()()(nnnxy,!n)()()(mnmxy.0)1()1()1()(nxnynn特别地特别地)(nm ,1)2(时时当当 1)(1)(!)1()(1 nnnnxnxx2022-10-30福州大学数学与计算机学院8例例5 5.),1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意xy 112)1(1xy 3)1(!2xy 4)4()1(!3xy )1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)1!0,1()!1()1()

6、(ln1)(nxnxnnn2022-10-30福州大学数学与计算机学院9例例6 6.),(sin)(naxybabxey求求为为常常数数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)(nbxebayaxnn )arctan(ab 2022-10-30福州大学数学与计算机学院102.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(n

7、nnvuvu )()()()2(nnCuCu)()(0)()()()2()1()()(!)1()1(!2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式2022-10-30福州大学数学与计算机学院11例例7 7.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(!2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20(xexexeyxxx22!21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex2022-10-3

8、0福州大学数学与计算机学院123.3.间接法间接法常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)()2sin()(sin)2()(nkxkkxnn)2cos()(cos)3()(nkxkkxnn)0(ln)()1()(aaaanxnxxnxee)()(1)(!)1(1 nnnxnx 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式,通过四则通过四则运算运算,变量代换等方法变量代换等方法,求出求出n阶导数阶导数.2022-10-30福州大学数学与计算机学院13例例8 8.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xx

9、xy)1(!5)1(!52166)5(xxy)1(1)1(16066 xx2022-10-30福州大学数学与计算机学院14例例1 1.,0),(yxyexyyy 求的隐函数所确定由方程设解解求求导导得得方方程程两两边边对对x)1(0yxyyey于是得;xeyyy 隐函数的高阶导数隐函数的高阶导数用复合函数求导法则用复合函数求导法则,直接对方程两边对直接对方程两边对x逐次逐次求导求导,(y是是x的函数的函数),最后解出最后解出y的高阶导数的高阶导数.2022-10-30福州大学数学与计算机学院1502)()(2yyeyxeyy得得代入化解将 y.)1()22(322yxyyyy.)(22xeye

10、yyyy 0)(2 yxyyyeyeyy求导得两边再对将方程x)1(2022-10-30福州大学数学与计算机学院16例例2 2.)1,0(,144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1,0 yx;4110 yxy求求导导得得两两边边再再对对将将方方程程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy,1,0 yx代代入入.16110 yxy2022-10-30福州大学数学与计算机学院17,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx xyxxydddddd22xttttdd)()(dd

11、 )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(dd322tttttxy 即即参数方程的高阶导数2022-10-30福州大学数学与计算机学院18例例1 1解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxtxtyxydddddd)sin(cos3cossin322ttatta ttan xyxxydddddd22)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 dtdxdddtdxy2022-10-30福州大学数学与计算机学院19,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx 22ddxy求求x

12、ydd .)()(dddddddd22ttgxttyxyxy 即即 )()()(ttytx )(tg,)()(三三阶阶可可导导若若函函数数 tytx 33ddxy求求 )()()(ttgytx )(th.)()(dddddddd33tthxttyxyxy 即即xydd xyx dddd2022-10-30福州大学数学与计算机学院20例例3设设 连续，连续，)(xg)()()(2xgaxxf 求求 .)(af ,)(可可导导xg)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim0)(afaxxfax

13、 )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 解解2022-10-30福州大学数学与计算机学院21.,)(,)ln(13yufxxfy 求求可可导导例例.)(,|3)(223xfxxxxf 求求例例2022-10-30福州大学数学与计算机学院22.01232 yyxxy满满足足验验证证例例3 3.,)(cos)(sin22yxfxfy 求求设设例例4 42022-10-30福州大学数学与计算机学院23例例5 5.),0()(nybcaddcxbaxy求求设设 .0,0)(nydayc时时cdxcadbccayc 1,02时时2022-10-30福州大学数学与计算机学院24一阶微

14、分的定义一阶微分的定义.d,dd,)(,)(,)0()(,)()()()(,)(000000000 xAyfyxxxfyxAxxfyxxxoxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxxxx 即即或或记记作作的的微微分分相相应应于于自自变变量量增增量量在在点点为为函函数数并并且且称称可可微微在在点点则则称称函函数数时时当当高高阶阶的的无无穷穷小小量量是是比比无无关关的的常常数数是是与与其其中中成成立立如如果果在在这这区区间间内内及及在在某某区区间间内内有有定定义义设设函函数数三三 高阶微分高阶微分2022-10-30福州大学数学与计算机学院25若若 可微时，称它的微分可微时，称它的微分dxxfd

15、y)()(dyd为为y 的的二阶微分二阶微分，记为，记为 .当当 可微时，可微时，yd2yd2一般地，当一般地，当 y 的的 n-1-1 阶微分阶微分 可微时，可微时，ydn 1 为为 y 的的三阶微分三阶微分，记为，记为)(2ydd.3yd称它的微分称它的微分二阶微分：二阶微分：n阶微分：阶微分：称称n-1阶微分的微分称为阶微分的微分称为n阶微分，记作阶微分，记作 ydn高阶微分：高阶微分：二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。二阶以及二阶以上的微分统称为高阶微分。1 高阶微分的定义高阶微分的定义2022-10-30福州大学数学与计算机学院26dxxfdy)()()()()(2dxdxfdx

16、xfddxxfdyd nnndxxfyd)()(2.高阶微分的求法高阶微分的求法 22)()()(dxxfdxxfdxdxxf 用同样的方法，得用同样的方法，得这里这里 dx 的是的是x处的产生的增量处的产生的增量,与变量与变量x无关无关,视作常数视作常数 即即 y 的的 n 阶微分等于它的阶微分等于它的 n 阶导数乘上自变量的微分阶导数乘上自变量的微分的的 n 次方次方.2022-10-30福州大学数学与计算机学院27,)(,)(dxxgduduufdy)()()()(2dudufduufdduufdydnnndxxfyd)()(但对于复合函数我们就不能得出这一公式但对于复合函数我们就不能得

17、出这一公式 0)()(dxddud这时才回能到前面导出的公式这时才回能到前面导出的公式这里这里 当当u的是自变量的是自变量x时时,)()()(22dudufduufyd这事实也说明高阶导数不具有形式不变性这事实也说明高阶导数不具有形式不变性所以所以2022-10-30福州大学数学与计算机学院28nnnduufyd)()(对于复合函数我们就不能得出对于复合函数我们就不能得出 注意这里记号注意这里记号 2222)()()(duufudufduufyd如如n=2时时,应有应有表示不同含义表示不同含义,不能混淆不能混淆.,22uddu2022-10-30福州大学数学与计算机学院29例例1求求 的二阶微

18、分的二阶微分.xeysin 解解:)sin(cos 2sinxxeyx 22sin22)sin(cosdxxxedxyydx 所以所以若把若把 看成是由看成是由 复合而成的函数，复合而成的函数，xeysin xueyusin则则,)()(uueeuf 2222cos)(sinxdxxddu 22sin222)sin(cos)()(dxxxeudufduuyydx 所以所以22sin)(xdxdudud且且2022-10-30福州大学数学与计算机学院30例例2 设设 分别依公式（分别依公式（1）、）、（2）求）求.)(,sin)(2ttxxxfy .2yd解解 由由 得得 依公式（依公式（1）得）得 类似地，依公式（类似地，依公式（2）得）得 ,sin4cos2,cos22222tttytty .)sin4cos2(22222dttttyd 22222cossin)()(xdxxdxxdxfdxxfyd 222222cos)2(sindttdttt .)sin4cos2(2222dtttt 2sin ty 2022-10-30福州大学数学与计算机学院31三、小结高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法：阶导数的求法：1.直接法直接法;2.间接法间接法.