拉普拉斯(Laplace)变换

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1、课题引入： 拉普拉斯变换是19 世纪末英国电气工程师 海维赛(Heariside)创立的。他是用符号法来解微分方程， 比用积分法简便，当时所用的符号法是通过直觉进行推 理，后来人们又建立了严密的数学基础，而将其命名为 拉普拉斯(Laplace)变换。拉普拉斯变换的主要作用：是简化解题手续，能把微 积分运算转化为代数运算，并能把微分方程转化为代数 方程，从而使解题手续简化，缩短了运算时间。定义 设函数f(t)当t0时有定义，而且广义积分j +8 f (t )e - stdt0存在，则由此积分所确定的函数可写；F (s) = j+8 f (t)e-stdt0并称为F(s)为f(t)的拉普拉斯变换(

2、简称拉氏变换),拉氏变换亦可写成F(s)=Lf(t)并将F(s)称为象函数,f(t)称为象原函数，拉氏变换中的参 数s, 一般不限于是实数，可以为复数，不过在本书中， 把它当作正的实数看待。若F(s)是f(t)的拉氏变换，则f(t)为F(s)的拉氏逆变换,记为f (t) = L-1F (s)面介绍如何用定义求拉氏变换。例l求函数f(t) = l的拉氏变换L1 = J+1 x e - stdt =二+s =-0- s 0 s1L1=-s例2求函数f(t)=t,当t0的拉氏变换.Lt = J te - stdt =0+“ 1 卜 e - st =丄- s 0 s 0 s 2所以当t0 Lt二s2Ltn =旦Sn+1同理可得，当 n 为正整数练习：习题 10.1 1(1)例3求函数f(t)= eat (t0, a是常数)的拉氏变换.Leat = J+8 eate-stdt = J e(a-s)tdt = -e-(s-a)t+8 =(s a)0s -a 0 s -a所以Leat = -(s a)s-a练习: 习题 10.1 1 (2)小结: 1.拉氏变换的定义.作业： 习题 10.1 1(3) (4) 2