《垂线定理及逆定理课件曹新田.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《垂线定理及逆定理课件曹新田.ppt（16页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、岁月如水 流到什么地方 就有什么样的时尚 我们怎能苛求 世事与沧桑 高 2012级 15班 曹新田 三垂线定理的逆理 ： 在平面内的一条直线，如果 和这个平面的一条斜线垂直， 那么，它也和这条斜线的射 影垂直。 三垂线定理 ： 在平面 内的一条直线，如果和这个 平面的一条斜线的射影垂直， 那么，它就和这条斜线垂直。 线射垂直 线斜垂直 定 理 逆 定 理 线射垂直 线斜垂直 定 理 逆定理 三垂线定理及逆定理涉及的几何元素： (1)一个平面 ; a (2)四条直线 : 平面的垂线 ; 平面的斜线 ; 斜线在平面内的射影 ; 平面内的一条直线 . (3)三个垂直 : 直线与平面垂直 ; 平面内的
2、一条直线与斜线在平面内的 射影垂直 ; 平面内的一条直线与斜线垂直 . 1、两平行直线在一平面内的射影不可能是（ ） A、 两平行直线 B、两点 2、两直线在平面内的射影是两相交直线，则这 两直线的位置关系不是（ ） A、两异面直线 ; B、两平行直线 C、两相交直线 ; D、以上都不对 巩固练习： D B 3、斜线 b在面 内的射影为 c，直线 a c ， 则 a与 b （ ） A垂直 B不一定垂直 C共面或垂直 D以上都有可能 C、一条直线 D、两相交直线 D 例 1：在空间四边形 ABCD中 AB CD,AH 平面 BCD, 垂足为 H,求证 :BH CD. A B BH CD. AB
3、CD. 证明 : AH 平面 BCD， BH为斜线 AB在 平面 BCD上的射影 . D C H 平面 BCD， CD 应用三垂线定理及逆定理证明直线垂直的步骤 : “ 一垂” :找平面及平面的垂线 “ 一垂二射三证明” “ 二射” :找斜线在平面上的射影 “ 三证明” :用定理证明直线垂直 例 2：如图所示，已知 PA 平面 ABC， ACB= 90 ， AQ PC， AR PB，试证 PBC、 PQR为直角三角形。 证明： PA 平面 ABC， ACB= 90 ， ACBC ， AC是斜线 PC在平面 ABC的射影， BCPC （三垂线定理）， PBC是直角三角形； BC 平面 PAC ，
4、 AQ 在 平 面 PAC 内 ， BCAQ ， 又 PCAQ ， AQ 平面 PBC， QR是 AR在平面 PBC的射影 ， 又 ARPB ， QRPB （ 三垂线逆定理 ） ， PQR是直角三角形 。 小结 ： 凡是能够使用三垂线定理或逆定 理证明的结论，都能由线面垂直的性质 来证明，而我们的目标应该是能够熟悉 这两个定理的直接应用。 例 3：道旁有一条河，彼岸有电塔 AB，高 15m， 只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔 顶与道路的距离？ 解： 在道边取一点 C， 再在道边取一点 D， 使水平角 CDB等于 45 ， 测得 C、 D的距离等于 20m B A C 90 D 45 使
5、 BC与道边所成水平角等于 90 ， B A C 90 D 45 BC 是 AC的射影 且 CDBC CDAC CDB=45 ， CDBC ， CD=20m BC=20m ， 在直角三角形 ABC中 AC 2=AB2+BC2， AC= 152+202 =25(m) 答：电塔顶与道路的距离是 25m。 因此斜线 AC的长度就是电塔顶与道路的距离。 例 4：直角三角形 ABC中， B= 90 ， C= 30 ， D是 BC的中点， AC=2， DE 平面 ABC且 DE=1， 求 E到斜线 AC的距离？ 解： B A C D E F 过点 D作 DF AC 于 F，连结 EF， DE 平面 ABC
6、，由三垂线定理知 EFAC ，即 E 到斜线 AC的距离为 EF，在 Rt ABC中， B= 90 ， C= 30 ， AC=2， BC= DFAC ， 在 Rt EDF中 为所求 33, 2CD 3 4CD 练习： PA ABC所在平面， AB AC 13， BC 10， PA 5，求点 P到直线 BC的距离 解：设 BC的中点为 D，连结 PD AB AC 13， BC 10， AD BC 且 AD 12 又 PA 平面 ABC， PD BC 即 PD的长度就是 P到直线 BC的 距离 而 PD 13 小结： 求点到直线的距离，常运用三垂线定理 （或逆定理）把垂线段作出，按“一作、二证、
7、三计算”的步骤求解。 方法规律： 三垂线定理及其逆定理的应用： （ 1）证明两条异面直线垂直； （ 2）确定二面角的平面角； （ 3）确定点到直线的垂线段。 运用定理时要习惯非常规位置图形上的应用， 不能只习惯于水平放置的平面上运用。 能力拓展： 1、如图所示：已知直三棱柱 ABC-DEF中， ACB= 90 ， BAC=30 ， BC=1， ， M是 CF的中点，求证 AEDM 。 6AD 证明：连结 AF， Rt AFC Rt MDF， AFC= MDF ， DMF+AFC=DMF+MDF= 90 ， DM AF ，又 ABC-DEF为直三棱柱， CFEF ，又 EFDF ， EF 平面
8、AF， 由三垂线定理知 AEDM 362 , 2 62 2 A C CF M F A F 能力拓展： 2、过 Rt BPC的直角顶点 P作线段 PA 平面 BPC，求证： ABC的垂心 H是 P点在平面 ABC内的射影。 证明： H是 ABC的垂心， 连结 AH延长交 BC于 D， 连结 BH延长交 AC于 E， ADBC ， BEAC ， AP 平面 PBC， BCPD ， ADPD=D ， BC 平面 ADP， BCPH ，又 AP 面 PBC， APPB ， 已知 BPPC ， PB 面 APC，又 BEAC ， PEAC ， AC 面 PBE， PHAC ， ACBC=C ， PH 面 ABC， H是 P点在平面 ABC的射影。
垂线定理及逆定理课件曹新田.ppt
