《北师大版从力做的功到向量的数量积.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北师大版从力做的功到向量的数量积.ppt（21页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、 5 从力做的功到向 量的数量积 F s W=|F|s|cos 如果物体在力 F下产生位移 S 则可得 力 F 所做的功 已知两个非零向量 a和 b, 作 OA=a,OB=b,AOB= (0 180) 叫作向量 a与 b的 夹角 . a b O A B 两个非零向量的夹角的定义： O A B O A B A O B a b 当 =0 时 ,a与 b同向 当 =180 时 ,a与 b反向 当 =90 时 ,a与 b垂直 ，记作 a b 我们规定零向量可与任一向量垂直 . 0 a =0 O A B 如图， OA=a,OB=b,过点 B作 BB1 OA于 B1 B1 则 OB1=|b|cos |b|
2、cos 叫作向量 b在 a方向上的 射影 射影的定义 当 为锐角时 ,|b|cos 0 当 为钝角时 ,|b|cos 0 当 为直角时 ,|b|cos =0 当 =180 时 ,|b|cos =-|b| 当 =0 时 ,|b|cos =|b| O b a 已知两个非零向量 a和 b,它们的夹角为 ,我们把 |a|b|cos 叫 作向量 a和 b的 数量积 (或 内积 ).记作 ab a b= |a| |b| cos 向量的数量积的几何意义： 向量 a与 b的 数量积等于 a的长度 |a|与 b在 a方 向上射影 |b|cos的乘积 ,或 b的长度 |b|与 a在 b 方向上射影 |a|cos的
3、乘积 . 当两个向量相等时 ,两个向量的数量积等于向量长度的平方 : a a =|a|2 当两个向量都是单位向量时 ,它们的数量积等于它们夹角的余 弦值 : e1 e2 =|e1|e2|cos=cos 向量的数量积的物理意义： 如果力对物体做功 ,就是力 F与其作用下物体的 位移 s的数量积 Fs. 运算律： abba 1 bababa 2 cbcacba 3 =12(- ) 2 3 3 =-6 解 ab= |a| |b|cos =3 4 cos150 例 1 已知 |a|=3,|b|=4,且 a与 b的夹角 =150 ,求 ab 例 2 在三角形 ABC,设边 BC,CA,AB的长度分别为
4、a,b,c,证明 : a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosC A B C a b c 同理可证其他二式 .我们把这个结果称为 余弦定理 . 证明 如图 ,设 ,则 ,A B c B C a A C b 2 2 2| | | | | | | |a a B C B C B C ( ) ( )A C A B A C A B ( ) ( )b c b c 2b b c c b c 22| | | | 2 | | | | c o sb c b c A 22 2 c o sb c b c A 例 3 证明菱形的两条对角线互相垂直 . A B C
5、 D O 证明 菱形 ABCD中 ,AB=AD 即菱形的两条对角线互相垂直 . ,A C A D A B B D A D A B 由 于 ( ) ( )A C B D A D A B A D A B 可 得 22( ) ( )A D A B 22| | | |A D A B 0 AC BD a b = (e1+e2) (e2-2e1) =-2e1 e1 -e1 e2+e2 e2 =- 所以 2 3 例 4 已知单位向量 e1,e2的夹角为 60 ,求向量 a= e1+e2, b=e2-2e1夹角 . 解 由单位向量 e1,e2的夹角为 60 ,得 e1e2 = 1 c o s 6 0 2 由
6、可得 cos= = = a b |a| |b| 3 3 2 3 2 1 又 |a|2=|e1+e2|2=|e1|2+2 e1 e2 +|e2|2=3 |b|2=|e2-2e1|2=4|e1|2-4 e1 e2 +|e2|2=3 所以 |a|=|b|= 3 又 0,所以 =120 （ 1） 00 a （ 5）若 ，则对于任一非零 有 0a b 0 ba 00 a（ 2） （ 3） | baba （ 7）对于任意向量 都有 cba 、 ）（）（ cbacba （ 6）若 ，则 至少有一个为 0 ba ba、 0 判断下列命题是否正确： 公 式 变 形 对功 W=|F|s|cos结构分析 抽 象 平面向量数量积的定 义 a b=| a | | b | cos 特 殊 化 五条重要性质 数形 结合 几何 意义 （ 1） 向量的数量积的定义 （ 2）平面向量数量积的物理意义和几何意义 （ 3）向量的数量积的性质 （ 4）向量的数量积的运算律
北师大版从力做的功到向量的数量积.ppt
