第六讲热温度场有限元

《第六讲热温度场有限元》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第六讲热温度场有限元（27页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、有限单元法有限单元法Finite Element Method机电工程学院机电工程学院 石志良石志良School of Mechanical&Electronic Engineering第第8章章 温度场与热变形问题温度场与热变形问题工程中的许多结构在高温条件下工作或由于工作过程中运动工程中的许多结构在高温条件下工作或由于工作过程中运动副的摩擦发热，都会导致结构产生温度升高，产生热变形或副的摩擦发热，都会导致结构产生温度升高，产生热变形或温度应力，因此，减少或控制热变形温度应力，因此，减少或控制热变形/温度应力是设计中不可温度应力是设计中不可忽视的问题。忽视的问题。工程设计中，常期望准确地计算

2、出结构各个部位的温升或热工程设计中，常期望准确地计算出结构各个部位的温升或热变形量，分析结构的热平衡状况，从而达到改进结构设计或变形量，分析结构的热平衡状况，从而达到改进结构设计或环境设计，减少热变形对工作精度的影响。环境设计，减少热变形对工作精度的影响。本章介绍：本章介绍：1、温度场问题的基本方程、温度场问题的基本方程2、平面稳态温度场的有限元法、平面稳态温度场的有限元法3、热变形的计算、热变形的计算8-1 温度场问题的基本方程温度场问题的基本方程一般三维问题，物体各点的温度是坐一般三维问题，物体各点的温度是坐标和时间变化的，即标和时间变化的，即xxqqdxxxyzdxdzdyy Qzzqq

3、dzzyyqqdyyzqyqxq(,)TT x y z t热平衡原理：任一热平衡原理：任一dt时间内，时间内，物体内任一微元体所积蓄的热物体内任一微元体所积蓄的热量量(即温度升高所需的热量即温度升高所需的热量)等等于传入该微元体的热量与微元于传入该微元体的热量与微元体内热源所产生的热量之和，体内热源所产生的热量之和，即即微元温度微元温度 升高升高 所需热量所需热量传入微元传入微元的的净热量净热量微元内微元内产生的产生的热量热量8-1 温度场问题的基本方程温度场问题的基本方程设微元在设微元在dt内，温度升高为：内，温度升高为：TTTdttTc dxdydzdtt ()xxxxqqq dydzdt

4、qdx dydzdtdxdydzdtxx,yzqqdxdydzdtdxdydzdtyz相应所积蓄的热量为：相应所积蓄的热量为：同一时间内，微元体沿同一时间内，微元体沿x方向传入和传出的热量之差，即净热方向传入和传出的热量之差，即净热量为：量为：类似，类似，y，z方向的净热量：方向的净热量：8-1 温度场问题的基本方程温度场问题的基本方程()yxzqqqdxdydzdtxyz,xxyyzzTTTqkqkqkxyz ()()()xyzTTTkkkdxdydzdtxxyyzz代入上式得传入微元体净热量为：代入上式得传入微元体净热量为：即传入微元体的净热量为：即传入微元体的净热量为：由热传导定律：热流

5、密度与温度梯度成正比，而方向相反，由热传导定律：热流密度与温度梯度成正比，而方向相反，即：即：8-1 温度场问题的基本方程温度场问题的基本方程设微元体内有热源，其热源密度为设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在，则该热源在dt内所共给的热量为内所共给的热量为()()()xyzTTTTc dxdydzdtkkkdxdydzdtQdxdydzdttxxyyzzQdxdydzdt微元体温度升微元体温度升高所需的热量高所需的热量三个方向传入微三个方向传入微元体的净热量元体的净热量微元体内热源微元体内热源产生的热量产生的热量 物体密度物体密度 c 比热，单位质量物体温度升高一比热

6、，单位质量物体温度升高一度所需的热量度所需的热量 热传导系数热传导系数,xyzk kk据热平衡得一般热传导微分方程：据热平衡得一般热传导微分方程：8-1 温度场问题的基本方程温度场问题的基本方程整理得：整理得：()()()0 xyzTTTTckkkQtxxyyzz对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式方程可写为以下形式 满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真实的温满足上述热传导方程的解有无限多个，为了确定真实的温度场，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和度场，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件

7、和边界条件。边界条件。2222220TTTTcQtxyz8-1 温度场问题的基本方程温度场问题的基本方程111(,)|(,)T x y z tTt在边界上()aTkTTn同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换的规律，同时，还需知道物体表面与周围介质间进行热交换的规律，即边界条件，称为第二类边界条件。即边界条件，称为第二类边界条件。初始条件是指物体最初的温度分布情况，称为第一类边界条初始条件是指物体最初的温度分布情况，称为第一类边界条件。件。0(,)(,)tT x y z tT x y z对流换热条件对流换热条件 8-1 温度场问题的基本方程温度场问题的基本方程如果边界上的换热条件不随时间

8、变化，物体内部的热源也不如果边界上的换热条件不随时间变化，物体内部的热源也不随时间变化，在经过一定时间的热交换后，物体内各点温度随时间变化，在经过一定时间的热交换后，物体内各点温度也将不随时间变化，即也将不随时间变化，即 0Tt这类问题称为稳态这类问题称为稳态(Steady state)热传导问题。稳态热传导问热传导问题。稳态热传导问题并不是温度场不随时间的变化，而是指温度分布稳定后的题并不是温度场不随时间的变化，而是指温度分布稳定后的状态，我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态过渡到状态，我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态过渡到最后的稳定温度场。随时间变化的瞬态最后的稳定温度场。随时

9、间变化的瞬态(Transient)热传导方热传导方程就退化为稳态热传导方程，三维问题的稳态热传导方程为程就退化为稳态热传导方程，三维问题的稳态热传导方程为()()()0 xyzTTTkkkQxxyyzz8-1 温度场问题的基本方程温度场问题的基本方程对于各向同性的材料，可以得到以下的方程，称为对于各向同性的材料，可以得到以下的方程，称为Poisson方方程程 考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的温度场满考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的温度场满足足Laplace方程方程2222220TTTQxyz2222220TTTxyz8-1 温度场问题的基本方程温度场问题的基本方程在分析

10、稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初始温度分布在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考虑温度场的初始条对最后的稳定温度场的影响，因此不必考虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。计算稳态温度场实际上是求件，而只需考虑换热边界条件。计算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。温度场是标量场，将物体离散成解偏微分方程的边值问题。温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单元结点上只有一个温度未知数，比弹性有限单元后，每个单元结点上只有一个温度未知数，比弹性力学问题要简单。进行温度场计算时有限单元的形函数与弹力学问题要简单。进行温度场计算时有

11、限单元的形函数与弹性力学问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元性力学问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元的形函数，由单元结点上的温度来确定。由于实际工程问题的形函数，由单元结点上的温度来确定。由于实际工程问题中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也很难进行测量，中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也很难进行测量，如何定义正确的换热边界条件是温度场计算的一个难点。如何定义正确的换热边界条件是温度场计算的一个难点。8-1 温度场问题的基本方程温度场问题的基本方程1、三维瞬态热传导方程及边界条件、三维瞬态热传导方程及边界条件112()()()0 (,)(,)()xyzaTTTTc

12、kkkQtxxyyzzT x y z tTtTkTTn在 内在上在上112()()0 (,)(,)()xyaTTkkQxxyyT x y tTtTkTTn在 内在上在上若物体内无热源，则方程退化为二维无热源稳态热传导方程2、二维稳态热传导方程及边界条件、二维稳态热传导方程及边界条件8-2 平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法1、泛函与变分、泛函与变分函数函数 y=f(x)求求y 的极值，即求微分，由的极值，即求微分，由dy=0 可得。可得。泛函泛函J=J y(x)函数函数y(x)为自变量，为自变量，J为函数为函数y的函数，称的函数，称J为为y的泛函，求的泛函，求泛函的极值，即求变分

13、，泛函的极值，即求变分，由由 可得。可得。例：平面上例：平面上AB两点，连接两点，连接AB的曲线很多，要求一条曲线使重物靠自重由的曲线很多，要求一条曲线使重物靠自重由A沿此曲线滑到沿此曲线滑到B所需的时间最短，即求最速下降曲线。所需的时间最短，即求最速下降曲线。显然，显然，AB间直线路径最短，但重物运动的速度增长并不是最大，即下滑间直线路径最短，但重物运动的速度增长并不是最大，即下滑的时间并非最短。的时间并非最短。0JxyvpBA设设AB间有间有n条曲线条曲线 ，每条曲线对应一个时间每条曲线对应一个时间 ，即即T是是y(x)函数，即泛函，求变分的极值函数，即泛函，求变分的极值则可得最速下降曲线

14、则可得最速下降曲线有关泛函的具体构造可参考相关教材有关泛函的具体构造可参考相关教材()1,2,.iy xin 1,2,.iT in8-2 平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法2、平面稳态温度场的泛函、平面稳态温度场的泛函求满足平面温度场方程及边界条件的温度场求满足平面温度场方程及边界条件的温度场T(x,y),设设k为常数为常数222210 ()aTTxyTkTTn在 内在上12221(,)()()()22akTTJ T x ydxdyTT T dsxy求解域内部温度场相应的泛函求解域边界部分温度场相应的泛函据变分原理，此问题等价于求泛函据变分原理，此问题等价于求泛函JT(x,y)的

15、极值函数，的极值函数，参考相关教材，可得上述热传导作为欧拉方程的相应泛参考相关教材，可得上述热传导作为欧拉方程的相应泛函：函：8-2 平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法3、温度场单元分析、温度场单元分析图示求解域离散为若干三角形单图示求解域离散为若干三角形单元，含有边界的单元，称为边界元，含有边界的单元，称为边界单元，任取一个单元单元，任取一个单元i,j,k,如图。如图。A、温度插值函数、温度插值函数xyo123(,)T x yxy (,)eiijjkkT x yNTN TN TN T1()i,j,k2iiiiNab xc yA轮换(1)ijKKSSTTTSSjTxyoT(x,y

16、)jikisiTkTksjss在边界线在边界线(如如ij)上的任一点的温度上的任一点的温度T，可用，可用两个端点的节点温度线性插值表示：两个端点的节点温度线性插值表示：8-2 平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法B、单元温度刚度矩阵、单元温度刚度矩阵从温度场插值函数可知，温度场已离散到全部节点上，即求从温度场插值函数可知，温度场已离散到全部节点上，即求温度场实际是求节点的温度值。因而，泛函式实际已成为描温度场实际是求节点的温度值。因而，泛函式实际已成为描述未知节点温度的多元函数，而不是温度场述未知节点温度的多元函数，而不是温度场T(x,y)的函数，即的函数，即问题转化为求多元函数的

17、极值问题转化为求多元函数的极值设求解域有设求解域有n个节点温度未知量，则泛函个节点温度未知量，则泛函JT(x,y)转化为转化为 的形式，极值条件为：的形式，极值条件为：0 1,2,.eemmJJmnTT12,.nJ T TT()()()0eaiiijejkJTTTTTkdxdyTTTxTxyTyT设单元只有三节点温度，设单元只有三节点温度，jk为边界，将温度插值函数代入前为边界，将温度插值函数代入前述的泛函，并求导得极值条件：述的泛函，并求导得极值条件：8-2 平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法上式第一部分为内部单元的温度刚阵：上式第一部分为内部单元的温度刚阵：对于内部单元的温度

18、刚阵，对于内部单元的温度刚阵，i,j,k三点轮换，记为矩阵形式：三点轮换，记为矩阵形式：22()()()4eiiiijijjikikkiJkbc Tbbcc Tbbcc TTA 22222204eiiiijijikikieeejjjkjkjjkkkekJTbcbbccbbccTJkbcb bc cTHTTAbcTJT8-2 平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法第二部分：第二部分：记为矩阵形式：记为矩阵形式：两部分相加可得边界单元的温度刚阵：两部分相加可得边界单元的温度刚阵：()362iiiajkajjksssTTTTTTT 1000036223ieeeiiijakiiaTsssTT

19、HTpTssT 1()0 eeeeeeeHHTpHTp即8-2 平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有限元法3、整体温度场方程、整体温度场方程0 1,2,.eemmJJmnTTxyo123154612355550JJJJTTTT5T为为n个线性方程组，对于每个方程而言，是对绕节点个线性方程组，对于每个方程而言，是对绕节点m的所的所有单元求和，如图，节点有单元求和，如图，节点5，则绕节点，则绕节点5的单元为的单元为1，2，3，而其它单元不含节点而其它单元不含节点5，即它们的泛函对，即它们的泛函对 的偏导为的偏导为0，可，可不考虑，即不考虑，即8-2 平面稳态温度场的有限元法平面稳态温度场的有

20、限元法xyo1231546111211122222nnnnnnhhhTphhTphTp HTp如单元如单元1，3为边界单元，则按边界单元为边界单元，则按边界单元刚阵计算；如单元刚阵计算；如单元2为内部单元，则按为内部单元，则按内部单元刚阵计算。内部单元刚阵计算。如此整理可得整体代数方程组：如此整理可得整体代数方程组：对于其他带热源的稳态温度场或三维温度场计算其方法相似。对于其他带热源的稳态温度场或三维温度场计算其方法相似。8-3 热变形的计算热变形的计算 当弹性体的温度改变时，体内各部分将随温度变化而产生变当弹性体的温度改变时，体内各部分将随温度变化而产生变形，这种变形常称为热变形。考虑到弹性

21、体实际工作中都受形，这种变形常称为热变形。考虑到弹性体实际工作中都受到外界和体内各个部分间的约束，故热变形往往不能自由发到外界和体内各个部分间的约束，故热变形往往不能自由发生，从而将导致体内产生应力，这种应力常称为热应力。与生，从而将导致体内产生应力，这种应力常称为热应力。与之对应的温度的改变常称为热载荷。之对应的温度的改变常称为热载荷。设二维平面问题的弹性体两个瞬时的温度变化为设二维平面问题的弹性体两个瞬时的温度变化为 ，材料的线膨胀系数为材料的线膨胀系数为 ，对各向同性材料，热膨胀只产生正，对各向同性材料，热膨胀只产生正应变，不伴随产生剪应变。即应变，不伴随产生剪应变。即 若将物体由热变形

22、产生的应变可视为物体的若将物体由热变形产生的应变可视为物体的初应变初应变，则计算则计算热应力只需算出热变形引起的初应变，求得相应初应变引起热应力只需算出热变形引起的初应变，求得相应初应变引起的的等效节点载荷等效节点载荷（温度等效节点载荷），然后按通常求解刚度（温度等效节点载荷），然后按通常求解刚度方程计算出节点位移即可。方程计算出节点位移即可。000 0 xyxyT12TTT8-3 热变形及热应力的计算热变形及热应力的计算 设热变形引起的初应变：设热变形引起的初应变：则考虑初应变情况的弹性方程则考虑初应变情况的弹性方程(如平面应力问题如平面应力问题)：应力方程：应力方程：对比不考虑初应变的应力

23、方程：对比不考虑初应变的应力方程：刚度方程：刚度方程：111()()xxyyyzxyxyTTEEG 00()()eDDB 0 00()TTeeeVVTTeeVVFBDBdVBDBdVBDB dVBDdVF 0()eeDBDB不计初应变的刚不计初应变的刚度方程度方程考虑初应变的刚考虑初应变的刚度方程度方程温度等效节点载荷温度等效节点载荷8-4 温度场分析实例温度场分析实例 1.4/()kWm K220/()hWmK正方形截面的烟囱如下图所示，烟囱由混凝土建造，边长为正方形截面的烟囱如下图所示，烟囱由混凝土建造，边长为60cm，通道的边长为，通道的边长为20cm，混凝土的导热系数为，混凝土的导热系

24、数为 假定烟囱内表面的温度为假定烟囱内表面的温度为100，烟囱外表面暴露在空气中，烟囱外表面暴露在空气中，空气的温度为空气的温度为30，换热系数为，换热系数为 ，计算烟囱截，计算烟囱截面内的稳态温度场。面内的稳态温度场。8-4 温度场分析实例温度场分析实例 热流量分布热流量分布 稳态温度分布稳态温度分布 有限元模型有限元模型 8-4 温度场分析实例温度场分析实例 假定烟囱壁由两层材料构成。内层材料为混凝土，外表面的截假定烟囱壁由两层材料构成。内层材料为混凝土，外表面的截面尺寸为面尺寸为30cm30cm，烟囱通道的尺寸不变，仍为烟囱通道的尺寸不变，仍为 20cm20cm，外部表面的截面尺，外部表

25、面的截面尺寸不变，内部表面的截面尺寸为寸不变，内部表面的截面尺寸为 30cm30cm，外层材料的导，外层材料的导热系数为热系数为 ，换热边界条件不变，换热边界条件不变。0.1/()kWm K有限元模型有限元模型 8-4 温度场分析实例温度场分析实例 热流量分布热流量分布 稳态温度分布稳态温度分布 8-4 温度场分析实例温度场分析实例 对比两种不同结构烟囱的温度分布和热流量分布，对比两种不同结构烟囱的温度分布和热流量分布，稳态温度场分布与材料的换热系数相关。双层烟囱稳态温度场分布与材料的换热系数相关。双层烟囱外层材料的导热系数比较小，接近保温材料，热量外层材料的导热系数比较小，接近保温材料，热量很快传进内层烟囱，但向外部环境传热慢了很多，很快传进内层烟囱，但向外部环境传热慢了很多，所以内层烟囱的温度很高。比较热流量分布，保温所以内层烟囱的温度很高。比较热流量分布，保温材料的却能够有效的阻止热量散失。材料的却能够有效的阻止热量散失。