不动点定理及其应用(精品)

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1、分类号 O177.2 编 号 2012010602 毕业论文题 目 Bananch不动点定理及其应用 学 院 数学与统计学院 姓 名 朱龙龙 专 业 数学与应用数学 学 号 281010602 研究类型 研究综述 指导教师 代丽芳 提交日期 2012年5月25日 原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名： 年 月 日 论文指导教师签名：Banach不动点

2、定理及其应用朱龙龙 (天水师范学院 数学与统计学院,甘肃 天水 741000)摘 要:本文介绍了不动点定理(压缩映射原理).首先利用不动点定理给出了求解数列极限的方法,其次证明了积分第一中值定理,并将其推广,最后证明了微分方程解的唯一性.关键词:数列极限;积分第一中值定理;压缩映射;不动点定理Fixed Point Theorem And Tts ApplicationsZHU Longlong (Department of Mathematics ,Tianshui Normal University Tianshui gansu 741000) Abstract A fixed point

3、 theorem (contraction mapping principle) .First use of the fixed point theorem to solve the series limit,followed proof of the First Integral Mean Value Theorem and promotion it, finally proved the uniqueness of Differential Equationson .Keywords Series limit,First Integral Mean Value Theorem,contra

4、ction mapping,fixed point theorem目录0引言11不动点原理11.1基本概念11.2 Banach不动点的内容12 不动点在求数列极限中的应用23不动点定理在积分中值定理证明中的应用34不动点在证明微分方程解得存在性和唯一性中的应用65小结8参考文献9致谢10数学与统计学院2012届毕业论文不动点定理及其应用0引言 不动点原理在整个分析学中有着极其重要的作用.通过对它的学习我们重新对所学的一些知识有了进一步的理解.文章就给出了不动点原理在数学分析、微分方程中的应用.并推广了书中某些定理.1不动点原理1.1基本概念定义 设是任意给定的完备的距离空间,如果有映射存在常

5、数使得则称是一个压缩映射.定义 对任给的度量空间及映射.如果存在使得则称为映射的不动点.定义（列）给定,若对任取的有自然数使得对都成立则称序列是列.定义（完备度量空间）给定,若中任意一列都收敛,则称它是完备的.1.2 Banach不动点的内容定理（不动点原理） 设是完备的距离空间,是由到的自身的映射,并且对于任意的,不等式成立,其中是满足不等式的常数.那么在中存在唯一的不动点,即存在唯一的,使得.证 分两部分来证明该定理先证明不动点的存在性在任取一定点,并令我们证明是中的一个基本点列.事实上 一般地,可以证明 于是根据假定, ,故于是是基本点列.由于完备,故收敛于中某一点且由不等式(3)可知,

6、 是连续映射.在中令,得到因此是的不动点.再证明不动点的唯一性.另有使则由于,故,即,唯一性成立证毕定理 （压缩映射原理）任给数列,若有常数使得对一切的都有则数列收敛.证 只需证明是列,从而说明收敛为此,对任意的考虑= 所以是列,从而收敛.到此整个文章所需要的基本定理及概念叙述完毕.下面将主要讨论其在数学的其它分支中的应用.2 不动点在求数列极限中的应用基本思想：通过对数列构造一个新的函数,使其在对应区间保持连续且可导,其导数满足.再使用中值定理证明所构造的函数是压缩映射的,这就意味着在区间上有不动点,即且改点是唯一的.例1设,试证收敛,并求极限.证 按照上述基本思想进行证明求解依题设构造函数

7、易见在连续且可导.由于故当时则由知现在考虑:从而为压缩映射.由定理1.1.2知收敛.下求该数列极限,设其极限为,则由的连续性得即得和（舍去）. 3不动点定理在积分中值定理证明中的应用 积分第一中值定理是积分学的重要定理,为进一步学习函数的性态奠定了基础.它的主要内容有:定理 设有函数和在上分别连续,且在符号恒定,则在中至少存在一点使得当取时就会得到一般的积分中值定理,其内容如下:定理 （积分第一中值定理）若在上连续,则在中至少存在一点使得.上述定理中的点是至少有这样一个点,那么能否加强某个条件使得这样的点是唯一的.这样在计算或应用中减少其复杂程度.下面就探讨这一问题.定理若和在上连续且在上不变

8、号,及则在中至少存在唯一的一点使得.证 不失一般性设因为则在区间上严格单调递增.所以再由可得对上式两边同时在积分则有又常数可提出到积分外即又因为,所以 为证定理在上作映射：易见在连续且可导对.对求导得则在上严格单调递增,即又因为所以即下证是上的一个压缩映射因为从而知是上的一个压缩映射.那么由不动点定理知存在唯一的,使得即整理可得以上用不动点定理证明了积分中值定理,现在考虑命题中的条件是否能够减弱且得到相同的结论.题设中的函数在上连续,现将连续减弱为在有限个间断点.定理 若在上连续, 在有且仅有有限个间断点,在不变号且有界,及则在中存在唯一使得成立.证 要说明该定理仍然成立只需证明尽管在不连续但

9、仍然可积即可.不失一般性,这里只证明在仅有一个间断点的情形,并假设为它的一个间断点.任给,取使其满足且.其中分别为在上的上下确界(否则为常值函数,显然可积).记在小区间上的振幅为,则有.因为在上连续,所以可积,则存在某一分割使得.令则是上的一个分割,对于有这就说明了在上可积.由上题结论知,在中存在唯一的一点使得成立.4不动点在证明微分方程解得存在性和唯一性中的应用在实际生活中需要求解一些复杂的方程,但在求解之前必须保证该求解是有意义的.因此判断方程解得存在性起到很大的意义.而用分析的方法证明存在性定理比较困难,下面就给出较为简单的证明方法.定理 设二元函数在区域上处处连续,且处处关于的偏导数存

10、在.存在常数使得那么方程在闭区间上有连续解,且解是惟一的.证 在完备的空间中做映射下只需证明是自身到自身的压缩映射.事实上,对于则由微分中值定理对使得 现令,则从而有即有这就说明是上的压缩映射,故有唯一的使得,亦即有.例2 考察微分方程 其中在整个平面上连续,此外还设关于满足利普希茨条件:其中为常数,那么通过微分方程有且仅有一条积分曲线.证 原微分方程加上初值条件等价与下面的积分方程取使得在连续空间内定义映射则有 由于,由压缩映射原理可知存在唯一的连续函数使得5小结文章叙述并证明了不动点原理，以及与其相关的定义，并应用它解决了复杂数列求极限、积分第一中值定理和微分方程解得唯一性的证明. 系统而

11、全面地对所学知识有了一个更好的掌握,参考文献1王声望,郑维行.实变函数与泛函分析概要第三版M.北京:高等教育出版社.2004:54-55.2熊金城.点集拓扑讲义M.北京:高等教育出版社.2003:223.3钱吉林.数学分析题解精粹M.武汉:崇文书局2003.4华东师范大数学系编第三版M.北京:高等教育出版社.1999:217-218.5肖翔,刘瑞娟.不动点定理在第一积分中值定理中的应用J.上海工程技术大学学报. 2008.22（6）.6蒋秉华,张敏.不动点定理的应用J.德州学报.2005.21（4）.致谢在天水师范学院的四年学习过程中,我得到了数学系各位老师及班主任的悉心帮助和支持,使得我不仅

12、学到了许多知识,也使我在大学这个社会群体中得到了很好的锻炼和发展.同时也为我顺利的走向工作岗位打下了坚实的基础.在此,谨向他们表示我衷心的感谢.本论文在选题及写作过程中得到了代老师的悉心指导.代老师多次询问写作进程,并为我指点迷津,帮我开拓思路,热枕鼓励.代老师一丝不苟的作风,严谨治学的态度,踏踏实实的指导精神,不仅授我以论文,而且教会了我做学问的可贵的精神,使我受益终生.为此,我表示我最真心的感谢!在整个论文的写作过程中,得到了许多老师和同学的帮助,才使我的毕业论文得以顺利完成.在此对他们表示最诚挚的感谢.最后,我要特别感谢我的指导老师代老师,感谢您对我毕业论文的悉心指导.我想真心地说声:老师您辛苦了！10