初中数学知识树总

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1、 初初 中中 数数 学学 总总 说说 教教 材材 课课 件件重庆市第一0四数学教研组：张林概率与统计概率与统计数与代数数与代数空间与图形空间与图形实践与探究实践与探究初中数学知识结构代代数数式式整式整式分式分式二次根式二次根式单项式单项式运算运算多项式多项式系数系数次数次数数字数字因数因数字母指数和字母指数和因式分解因式分解次数次数项项最高项的最高项的次数次数每个单项式每个单项式同类项同类项合并合并 同类项同类项幂的乘法幂的乘法单项式与多项式单项式与多项式乘法公式乘法公式平平方方差差、完完全全平平方方同底数幂同底数幂相除相除单项式单项式除以除以单项式单项式多项式多项式除以除以单项式单项式提提公

2、公因因式式法法公公式式法法逆用公式逆用公式互逆运算互逆运算基本性质基本性质运算运算分式方程分式方程分母中分母中含字母、含字母、分母分母不为零不为零通分通分约分约分乘除乘除加减加减乘方乘方最简公分母最简公分母公因式公因式子积为子子积为子母积为母母积为母化除法为化除法为乘法乘法同同分分母母异异分分母母分母不变分母不变 分子相加减分子相加减通分通分化成化成同分母同分母为整数naann1为整数nbabannnax 注：分子、注：分子、分母为多分母为多项式时先项式时先分解因式分解因式整式方程整式方程去分去分母母解方解方程程检检验验最简公分母最简公分母=00增根增根是解是解升降幂排列升降幂排列系数系数相加

3、相加字母字母不变不变不改变不改变分式的值分式的值解法应用除法除法乘法乘法加减加减定义定义性质性质运算运算0aaaa2)3()0()2(2aaa00)1(aa加减加减乘除乘除意义意义二次三项式)()(2qxpxpqxqpx一次一次函数函数与反与反比例比例函数函数 反比例函数反比例函数一次函数一次函数解析式解析式性质性质图象图象性质性质xyoxyoxyoxyoxyoxyok0k0b0,图象在图象在一三四象限一三四象限b=0,图象在图象在一三象限一三象限b0,图象在图象在一二三象限一二三象限b0,图象在图象在二三四象限二三四象限b=0,图象在图象在二四象限二四象限b0,图象在图象在一二四象限一二四象

4、限k0k0Y随随x的的增增大大而而增增大大Y随随x的的增增大大而而减减小小形如y=kx+b(k.b为常数，k0)注意：过原点注意：过原点当b=0时是正比例函数一条直线一条直线图象图象解析式解析式应用应用应用应用）为常数，（形如0kkxkyk0k0 xyoxyo图象在图象在二四象限二四象限图象在图象在一三象限一三象限双曲线双曲线Y随随x的的增增大大而而减减小小每每一一象象限限内内Y随随x的的增增大大而而增增大大每每一一象象限限内内k0k0关系关系K同号时，有两交点。K异号时，有两个、一个或无交点实际问题，图象在第一象限最优方案最优方案的几何意义kkxykxy1一元一次一元一次方程和二方程和二元一

5、次方元一次方程组程组 二元一次方二元一次方程组程组一元一一元一次方程次方程一般式一般式与一次函数与一次函数的关系的关系图象图象解法解法xyoxyoxyoxyoxyoxyok0k0b0,图象在图象在一三四象限一三四象限b=0,图象在图象在一三象限一三象限b0,图象在图象在一二三象限一二三象限b0,图象在图象在二三四象限二三四象限b=0,图象在图象在二四象限二四象限b0,图象在图象在一二四象限一二四象限k0k0Y随随x的的增增大大而而增增大大Y随随x的的增增大大而而减减小小形如kx+b=0(k.b为常数，k0)注意：过原点注意：过原点y=kx+b,k0,k,b为常数一条直线一条直线与一次函与一次函

6、数关系数关系一般式一般式实践与探索实践与探索实践与探索实践与探索gdycxkbyax形如加减消元加减消元代入消元代入消元两条直线两条直线消元消元最优方案最优方案xyo实际问题的解决注意a、c、k、g不为0.解法解法1.开口方向开口方向2.顶点坐标顶点坐标3.对称轴对称轴4.增减性增减性5.极值极值一元二次一元二次方程方程二次函数二次函数解析式解析式性质性质图象图象解法解法y=ax2+bx+c(a.b.c为常数a0)定义定义应用应用应用应用关系关系二次二次函数函数与与 一元一元二次二次方程方程 )0(2akhxay021axxxxay一般式一般式顶点式顶点式交点式交点式xyoxyo开口方向开口方

7、向.a0.向上向上a0.向下向下对称轴在对称轴在y轴的位置轴的位置 左同右异左同右异 与与y轴交点位置轴交点位置 c0.在正半轴在正半轴 c=0.在原点在原点 c0.在负半轴在负半轴类型类型2axy kaxy22hxaykhxay2cbxaxy2看看式式子子类类型型能能口口述述性性质质看看图图象象能能口口述述性性质质提提公公因因式式法法公公式式法法配配方方法法直直接接开开平平方方法法降次降次ax2+bx+c=0(a0)传播问题传播问题行程问题行程问题效率问题效率问题面积问题面积问题抛物线与抛物线与x轴的交点轴的交点一元二次一元二次方程的根方程的根0 0=0=00 0有两交点有两交点（x1,0）

8、(x2,0）有一交点有一交点（,0）无交点无交点有两个不等根有两个不等根X1，x2有两个等根有两个等根x1=x2=ab2ab2无实根无实根磁道问题磁道问题 利润问题利润问题 拱桥问题拱桥问题ax2+bx+c=0(a0)aacbbx242相交线相交线.平行线平行线图形认识初步图形认识初步关系关系图形图形认识认识初步初步 相交相交线平线平行线行线 多姿多彩的图形多姿多彩的图形直线直线.射线射线.线段线段角的度量角的度量角的比较与运算角的比较与运算平面图形平面图形点与直线点与直线位置关系位置关系知名称知名称三视图三视图展开与折叠展开与折叠辨认辨认 展开图展开图确定有标记确定有标记的相对图的相对图直线

9、直线射线射线线段线段叠合法叠合法直线公理直线公理表示与画法表示与画法寻找射线寻找射线方法方法表示与画法表示与画法计算与比较计算与比较性质性质立体图形立体图形角的计算角的计算定义定义.表示表示进位进位.计算计算尺规作角尺规作角度度.分分.秒互化秒互化角的比较角的比较度量法度量法余角余角.补角补角角平分线角平分线等角的余角相等等角的余角相等等角的补角相等等角的补角相等性质性质平行线平行线相交线相交线对邻对邻顶补顶补角角角角垂垂直直性质性质判定判定相相等等和和 为为1800点到直线点到直线 的距离的距离性性质质定定义义画法画法条件条件平行公理平行公理.推论推论一一“放放”二二“靠靠”三三“推推”四四

10、“画画”同位角相等同位角相等内错角相等内错角相等同旁内角互补同旁内角互补同位角相等同位角相等同旁内角互补同旁内角互补内错角相等内错角相等分类分类结构结构命题命题空间与图形空间与图形6-1借助借助角角研究平研究平面内两条直线面内两条直线的位置关系的位置关系 三、教材内容三、教材内容表示与画法表示与画法三三角角形形三角形三角形等腰三角形等腰三角形直角三角形直角三角形有关线段有关线段多边形多边形及其及其内角和内角和有关的角有关的角概念概念勾股定理勾股定理定义定义三边关系三边关系高高.中线中线.角平分线角平分线内角和内角和外角的性质外角的性质定义定义外角和外角和内角和内角和镶嵌镶嵌定义定义条件条件性质

11、性质判定判定特例特例定定义义表表示示方方法法要要素素等等边边对对等等角角三三线线合合一一等等角角对对等等边边等等边边三三角角形形锐角三角函数锐角三角函数定理定理逆定理逆定理应用应用证明证明内容内容文字文字.符号符号图形图形已知两边已知两边求第三边求第三边弦图弦图 毕达哥拉斯毕达哥拉斯苏菲尔德苏菲尔德应用应用证明证明内容内容文字文字.符号符号图形图形全等全等知三边知三边定形状定形状互逆命题互逆命题锐角三角函数锐角三角函数解直角三角形解直角三角形应用应用计算计算定义定义正弦正弦余弦余弦正切正切特殊值的运算特殊值的运算符号符号.几何意义几何意义.特殊角的值特殊角的值坡度坡度 仰仰.俯角俯角方位角方位

12、角三边关系三边关系锐角关系锐角关系边角关系边角关系空间与图形空间与图形6-2三、教材内容三、教材内容圆圆四边形四边形四四 边边 形形 与与 圆圆 等腰等腰直角直角辅助线辅助线平平移移两两腰腰平平移移对对角角线线作作高高线线延延长长两两腰腰利用利用腰中点腰中点 割补成割补成-全等三角形、全等三角形、平行四边形平行四边形性质性质判定判定梯形梯形平行四边形平行四边形边边角角对角线对角线对边平行对边平行且相等且相等对角相等对角相等邻角互补邻角互补对角线对角线 互相平分互相平分性质性质判定判定性质性质判定判定性质性质判定判定矩形矩形菱形菱形一一个个直直角角对对角角线线相相等等一一组组邻邻边边相相等等对对

13、角角线线垂垂直直正方形正方形对对角角线线垂垂直直一一组组邻邻边边相相等等一一个个直直角角对对角角线线相相等等 中中任任意意满满足足两两个个条条件件中点中点 四边形四边形三三角角形形中中位位线线形状：取决于形状：取决于原四边形对角原四边形对角线的线的 相等相等或或垂直垂直基本性质基本性质有关位置有关位置正多边形正多边形弧长弧长.扇形扇形垂垂径径定定理理等等对对等等定定理理圆圆周周角角定定理理点与圆点与圆直线与圆直线与圆圆与圆圆与圆轴对轴对称性称性旋转旋转 不变性不变性圆圆内内圆圆上上圆圆外外外心：是三边垂直平外心：是三边垂直平 分线的交点分线的交点.到三顶点的距离相等到三顶点的距离相等锐锐形内；

14、直形内；直斜边斜边上；钝上；钝形外形外相交相交相切相切相离相离切线的切线的 性质性质.判定判定切线长切线长 定理定理内心：是三角平分内心：是三角平分线的交点线的交点.到三边的距离相等到三边的距离相等在三角形内在三角形内外外离离内内含含外外切切内内切切相相交交等分圆周等分圆周正多边形正多边形弧等弧等弦等弦等圆心角等圆心角等有关计算：有关计算：中心中心.中心角中心角.半径半径.边心距边心距lrrns213602或扇形180rnl弧长圆锥的圆锥的 侧面积、全面积侧面积、全面积图图形形的的全全等等变变换换平移平移轴对称轴对称旋转旋转应用应用要素要素轴对称图形轴对称图形轴对称变换轴对称变换特征特征前前.

15、后图形全等后图形全等对应线段对应线段平行且相等平行且相等利用平移利用平移制作图案制作图案关于轴对称关于轴对称垂直平分线垂直平分线定义定义翻折后与翻折后与 两部分重合两部分重合对称轴对称轴一条直线一条直线性质性质判定判定应用应用点到两点点到两点 的距离相等的距离相等到两点距离到两点距离相等的点相等的点作对称轴作对称轴 作等腰三角形作等腰三角形 作一点到两点距离相等作一点到两点距离相等 作一点到三点距离相等（外心）作一点到三点距离相等（外心）定义定义对称点对称点翻折后与翻折后与 另一图形重合另一图形重合特征特征成轴对称的成轴对称的两图形全等两图形全等对称轴垂直平分对称轴垂直平分对称点的连线对称点的

16、连线要素要素基基本本图图形形用用坐标坐标表示表示轴对轴对称称作：关于作：关于x轴、轴、y轴的对称点轴的对称点解决几何中的解决几何中的极值问题极值问题要要素素图形的旋转图形的旋转中心对称中心对称图案设计图案设计旋转中心旋转中心特特征征旋转角旋转角对应点到旋转中心对应点到旋转中心的距离相等的距离相等对应点与旋转中心所对应点与旋转中心所连线段的夹角连线段的夹角=旋转角旋转角旋转前旋转前.后的图形全等后的图形全等中心对称图形中心对称图形关于中心对称关于中心对称关于原点对称关于原点对称旋转角旋转角=1800对称点的坐对称点的坐标符号相反标符号相反旋转旋转1800后与后与 另一图形重合另一图形重合基本图形

17、基本图形两图形全等两图形全等对称中心是对称对称中心是对称点连线的中点点连线的中点旋转旋转1800后与后与 其自身重合其自身重合利用轴对称利用轴对称制作图案制作图案用平移用平移.轴对称和旋转轴对称和旋转的组合设计图案的组合设计图案旋转方向旋转方向平移过程平移过程对应点坐标对应点坐标的变化规律的变化规律（x,y）平移后）平移后（xa,yb）右加左减右加左减上加下减上加下减用坐标表示用坐标表示旋转旋转方向方向距离距离基本图形基本图形对对称称轴轴相似三角形相似三角形全等三角形全等三角形全等全等 三角形三角形 与与 相似相似 三角形三角形 定义定义性质性质条件条件角平分线角平分线完全重合完全重合两个三角

18、形两个三角形对应边、角、周长对应边、角、周长面积、中线、高线、面积、中线、高线、角平分线相等角平分线相等表示方法表示方法两个三角形两个三角形 用符号用符号连接连接SSSAASASAHLSAS适合适合判定判定所有所有三角三角形形 全全等等适用于适用于 直角三角形直角三角形性质性质点到角两边点到角两边 的距离相等的距离相等到角两边距到角两边距离相等的点离相等的点判定判定应用应用相似多边形相似多边形位似变换位似变换性质性质判定判定相似图形相似图形形状相同形状相同性质性质对应角相等，对应角相等，对应边成比例，对应边成比例，周长的比周长的比=相似比相似比 面积的比面积的比=相似比的平方相似比的平方 比例

19、线段比例线段dcba平行平行A字型字型X字型字型三边对应三边对应成比例成比例两边成比例两边成比例且夹角相等且夹角相等两角对应两角对应相等相等对应角相等，对应角相等，对应边成比例，对应边成比例，周长的比周长的比=相似比相似比 面积的比面积的比=相似比的平方相似比的平方 应用应用放大或缩小放大或缩小图形图形外位似外位似内位似内位似性质性质特征特征用坐标表示用坐标表示位似变换位似变换两图形相似两图形相似 对应顶点的连线交于一点对应顶点的连线交于一点对应边平行对应边平行位位似似 中中心心是是原原点点对应点的坐标比对应点的坐标比为为k或或-k关系关系拓展、延伸拓展、延伸类比类比概率概率统计统计统计统计 与与 概率概率收集收集分析分析描述描述整理整理定义定义求法求法应用应用随机事件随机事件意义意义列举法列举法频率估计法频率估计法简单列举法简单列举法列表法列表法 （两步）（两步）树形图（两树形图（两步以上）步以上）统计表统计表条形图条形图扇形图扇形图划记法划记法直方图直方图如何描述如何描述数据数据会会画画统统计计图图集中趋势集中趋势离散程度离散程度平平均均数数中中位位数数众众数数极极差差方方差差反映数据向其中心值聚集的程度反映数据分布的离散程度推断、预测推断、预测事件发生事件发生可可能性的能性的刻画刻画体验不确体验不确定现象定现象样本与样本与总体总体借助抽样做决策借助抽样做决策