高等代数 二次型[共32页]

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1、1第五章 二次型 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 五、惯性定理 六、正(负)定二次型的概念 七、正(负)定二次型的判别2一、二次型及其标准形的概念 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,称为二次型称为二次型.的的二二次次齐齐次次函函数数个个变变量量含含有有定定义义nxxxn,121;,称称为为是是复复数数时时当当faij复二次型复二次型.,称称为为是是实实数数时时当当faij实二次型实二次型3只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型2222211nnykykykf

2、 称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）例如例如 23222132144,xxxxxxf 为二次型的标准形为二次型的标准形.只含有平方项的且形如以下二次型只含有平方项的且形如以下二次型221221rppyyyyf 称为二次型的规范形称为二次型的规范形41 1用和号表示用和号表示 nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxf1,13113211222222211121222 ,对二次型对二次型,aaijji 取取,2xxaxxaxxaijjijiijjiij 则则于是于是nnxxaxxaxaf1121122111 .1,xxajinjiij nnxxaxaxxa222

3、2221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa 二、二次型的表示方法52 2用矩阵表示用矩阵表示nnxxaxxaxaf1121122111 nnxxaxaxxa2222221221 22211nnnnnnnxaxxaxxa )()()(22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxaxxaxaxaxxaxaxax nnnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxx22112222121121211121),(6.,为对称矩阵为对称矩阵其中其中则二次型可记作则二次型可记作AAXXfT,21212222111211 nnnnnnnxxxxaaaaaaa

4、aaA记记 nnnnnnnnxxxaaaaaaaaaxxx2121222211121121,7三、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二称矩阵，也可唯一地确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在次型与对称矩阵之间存在一一对应一一对应的关系的关系;的矩阵的矩阵叫做二次型叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA;的二次型的二次型叫做对称矩阵叫做对称矩阵Af.的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型对称矩阵对称矩阵fA8解解,a,a,

5、a321332211 ,aa22112 ,aa03113 .aa33223 330322021A的的矩矩阵阵及及秩秩写写出出二二次次型型32212322216432 xxxxxxxf 例例3二二次次型型秩秩为为.100110021 9四、化二次型为标准形2.正交线性替换法1.配方法例3.初等变换法10 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111,设设四、化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形),(cCij 记记记作

6、记作则上述可逆线性变换可则上述可逆线性变换可 CYX 11AXXfT 有有将其代入将其代入,AXXfT YACCYTT CYACYT.BYYT BABAACCBCnBAT合同。记为合同。记为，则称矩阵则称矩阵使得使得，阶矩阵，存在可逆矩阵阶矩阵，存在可逆矩阵为两为两，设设矩阵的合同矩阵的合同 CYX 12说明说明2222211)()(nnTyyyCYACYkkk 就就是是要要使使变变成成标标准准形形经经可可逆逆变变换换要要使使二二次次型型,2 CYXf.,),(212121 yyykkkyyynnn.成成为为对对角角矩矩阵阵也也就就是是要要使使ACCT;,1 ACCBAfCYX.T 变变为为的

7、的矩矩阵阵由由但但其其秩秩不不变变后后二二次次型型经经可可逆逆变变换换13有有型型把把此此结结论论应应用用于于二二次次即即使使总总有有正正交交矩矩阵阵阵阵由由于于对对任任意意的的实实对对称称矩矩,.,1 APAPPAPPT化化为为标标准准形形使使正正交交变变换换总总有有任任给给二二次次型型定定理理fPYXAXXfT,2222211nnyyyf .,21的特征值的特征值的矩阵的矩阵是是其中其中ijnaAf 14用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤;,.1AAXXfT求求出出将将二二次次型型表表成成矩矩阵阵形形式式;,.221nA 的所有特征值的所有特征值求出求

8、出;,.321n 征征向向量量求求出出对对应应于于特特征征值值的的特特 ;,.4212121nnnC 记记得得单单位位化化正正交交化化将将特特征征向向量量.,.52211nnyyffCYX 的的标标准准形形则则得得作作正正交交变变换换15解解1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 144241422217A144241422217EA 9182 .,844141417 323121232221化成标准形化成标准形通过正交变换通过正交变换将二次型将二次型PYXxxxxxxxxxf 例例2 216从而得特征值从而得特征值.18,9321 得基础解系得基础解系代入

9、代入将将,091 xEA 2 2求特征向量求特征向量 得得基基础础解解系系代代入入将将,01832 xEA ,)0,1,2(2 T.)1,0,2(3 T 3 3将特征向量正交化将特征向量正交化,11 取取.)1,1,21(1T ,22 ,2223233 得正交向量组得正交向量组.)1,54,52(3 T,)0,1,2(2 T,)1,1,21(1T 17 ,3,2,1,iiii 令令得得,051522 ,3232311 .4554544523 .45503245451324525231 P 所所以以4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵P18于是所求正交变换为于是所求

10、正交变换为,45503245451324525231321321 yyyxxx.18189232221yyyf 且且有有19解解例例3 3.22 2222 ,434232413121化为标准形化为标准形把二次型把二次型求一个正交变换求一个正交变换xxxxxxxxxxxxfPyx 二次型的矩阵为二次型的矩阵为,0111101111011110 A它它的的特特征征多多项项式式为为20.111111111111 EA有有四列都加到第一列上四列都加到第一列上三三把二把二计算特征多项式计算特征多项式,:,1111111111111)1(EA有有四行分别减去第一行四行分别减去第一行三三把二把二,21100

11、0212022101111)1(EA1221)1(2 .)1()3()32()1(322 .1,34321 的特征值为的特征值为于是于是A,0)3(,31 xEA解方程解方程时时当当 22,11111 得基础解系得基础解系.1111211 p单位化即得单位化即得,0)(,1432 xEA解方程解方程时时当当 ,1111,1100,0011232 可得正交的基础解系可得正交的基础解系23单位化即得单位化即得 21212121,212100,002121432ppp于是正交变换为于是正交变换为YX2121021212102121021212102121.324232221yyyyf 且有且有24二

12、、小结将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩25五、惯性定理一个实二次型，既可以通过正交变换化为标一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过配方法化为标准形，准形，也可以通过配方法化

13、为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩中所含有的项数是确定的，项数等于二次型的秩只含有平方项的且形如以下二次型只含有平方项的且形如以下二次型221221rppyyyyf 称为二次型的规范形称为二次型的规范形且规范型是唯一的且规范型是唯一的线性替换化为规范型，线性替换化为规范型，可通过可逆可通过可逆任一二次型任一二次型惯性定理惯性定理定理定理AXXfT )(1正惯性指数:规范型中正项个数.负惯性指数:规范型中负项个数26六、正(负)定二次型的判概念 1.正定二次型与正定矩阵P215 2.负定二次型与

14、负定矩阵P22027七、正(负)定二次型的判别.:1.个个系系数数全全为为正正它它的的标标准准形形的的件件是是为为正正定定的的充充分分必必要要条条实实二二次次型型nAXXfT。它它的的正正惯惯性性指指数数为为件件是是为为正正定定的的充充分分必必要要条条实实二二次次型型nAXXfT:2.。它它的的所所有有特特征征值值为为正正数数件件是是条条为为正正定定矩矩阵阵的的充充分分必必要要实实对对称称矩矩阵阵:3.A大大于于零零。它它的的所所有有顺顺序序主主子子式式都都件件是是条条为为正正定定矩矩阵阵的的充充分分必必要要实实对对称称矩矩阵阵:4.A28正定矩阵具有以下一些简单性质正定矩阵具有以下一些简单性

15、质;,A,.1 1T定定矩矩阵阵均均为为正正则则为为正正定定实实对对称称阵阵设设 AAA.,.2 矩矩阵阵也也是是正正定定则则阶阶正正定定矩矩阵阵均均为为若若BAnBA 29例例1 1 判别二次型判别二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解 的的矩矩阵阵为为321,xxxf,524212425 它的顺序主子式它的顺序主子式,05 ,011225 ,01524212425 故上述二次型是正定的故上述二次型是正定的.30例例2 2 判别二次型判别二次型 312322213214542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定.解解二次型的矩阵

16、为二次型的矩阵为,502040202 A用用特征值判别法特征值判别法.0 AE 令令.6,4,1321 故此二次型为正定二次型故此二次型为正定二次型.即知即知 是正定矩阵，是正定矩阵，A31例例3 3 判别二次型判别二次型xzxyzyxf44465222 的正定性的正定性.解解的矩阵为的矩阵为f,0511 a,0266225 ,080 A.13为负定为负定知知根据定理根据定理f,402062225 A322.正定二次型正定二次型（正定矩阵正定矩阵）的判别方法：）的判别方法：(1)(1)定义法定义法；(2)(2)顺次主子式判别法顺次主子式判别法；(3)(3)特征值判别法特征值判别法.四、小结1.正定二次型的概念，正定二次型与正定正定二次型的概念，正定二次型与正定矩阵的区别与联系矩阵的区别与联系3.根据正定二次型的判别方法，可以得到根据正定二次型的判别方法，可以得到负定二次型负定二次型（负定矩阵负定矩阵）相应的判别方法，请大）相应的判别方法，请大家自己推导家自己推导