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1、5简单的幂函数简单的幂函数若二次函数的图象经过点(0,1)，对称轴为x2，最小值为1，求该函数的解析式1幂函数的定义形如yx (其中底数x为 ，指数为 )的函数叫幂函数2函数的奇偶性已知yf(x)，xA，则f(x)奇偶性定义见下表：类别定类别定义义奇函数奇函数偶函数偶函数图象定图象定义义图象关于图象关于 对称对称的函数叫作奇函数的函数叫作奇函数图象关于图象关于y轴对称的函轴对称的函数叫作偶函数数叫作偶函数语言定语言定义义任意任意xA，任意任意xA，原点原点f(x)f(x)f(x)f(x)自变量自变量常量常量2若奇函数f(x)在x0处有意义，则f(0)是什么？【提示】由奇函数定义，f(x)f(x
2、)，则f(0)f(0)，f(0)0.幂函数的概念幂函数的概念【思路点拨】依据幂函数的定义进行判断.【答案】C 幂函数yx要满足三个特征：(1)幂x前系数为1；(2)底数只能是自变量x，指数是常数；(3)项数只有一项，只有满足这三个特征，才是幂函数【解析】根据幂函数的定义，知幂函数的图象与性质幂函数的图象与性质【思路点拨思路点拨】由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可.解决有关幂函数问题的关键是会定性分析 中，p，q为正、负、奇、偶等各种情况的大体图象，要从函数的奇偶性、单调性出发对函数进行探讨，重点要研究在第一象限内的各种情况.注意：所有幂函数在第一象限内均有图象，
3、且过点(1,1)，0，则为递增，0，则为递减.qpxqpqp 2.用描点法画出yx；yx2；yx3；yx1的图象并指出其特点.【解析】(1)图象如下图所示：12yx(2)观察上面的函数图象会发现以下特征：图象都过点(1,1)在第一象限内函数yx，yx2，yx3，的图象自左向右看都是上升的，也就是在0，)上都是增函数，且这几种函数的图象都过原点函数yx1的图象在第一象限内自左向右看是下降的，即yx1在(0，)上是减函数yx，yx3，yx1的图象关于原点对称，它们是奇函数；而yx2的图象关于y轴对称，它是偶函数；图象只在第一象限内(含原点)，它是非奇非偶函数12yx12yx函数奇偶性的判断函数奇偶
4、性的判断判断下列函数是否具有奇偶性 【思路点拨】解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证f(x)与f(x)之间的关系来确定奇偶性【解析】(1)函数定义域为x|x0f(x)(x)(x)f(x)f(x)f(x)函数f(x)x是奇函数(2)函数f(x)的定义域为3,3关于原点对称，f(x)(x)21x21f(x)，f(x)f(x)函数f(x)x21，x3,3是偶函数(3)函数f(x)的定义域为x|x3；定义域不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4)函数f(x)的定义域为x|x2，此时函数f(x)0f(x)f(x)且f(x)f(x)函数f(x)既是奇函数又是偶函数
5、判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断f(x)是否等于f(x)，或判断f(x)f(x)是否等于0，从而确定奇偶性(2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数 3.判断下列函数是奇函数还是偶函数(1)f(x)x ；(2)f(x)2；(3)f(x)|x2|x2|.【解析】方法一：函数的定义域是x|xR且x0，所以关于原点对称，又f(x)x (x )f(x)，所以函数f(x)x 是奇函数方法二：yx，y 都是x|xR且x0上的奇函数，f(x)x 是奇
6、函数1x21x1x1x1x1x1x(2)函数的定义域是x|xR，且x0，其定义域关于原点对称又对任意的xR且x0都有f(x)2 2f(x)，f(x)2是偶函数(3)xR，f(x)|x2|x2|x2|x2|(|x2|x2|)f(x)，f(x)是奇函数21x21x21()x 已知函数f(x)为定义域为R的奇函数，当x0时，f(x)x22x，(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象【思路点拨思路点拨】【解析】(1)由于函数f(x)为定义域为R的奇函数，则f(0)0；当x0时，x0，f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)f(x)(x)22(x)x22x，(2)图象如图综
7、上：f(x).22202xxxx000 xx 给出奇函数(或偶函数)在直角坐标平面内的某个半平面上的图象，要作出它的另一个半平面内的图象是依据奇、偶函数图象的对称性其过程是作出原图象几个关键点(图象的最高点、最低点等)关于原点或y轴的对称点然后按原图象的特征用平滑曲线连结这些点，就作出了在另外半个平面的图象 4.(1)如图(1)，给出奇函数yf(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；(2)如图(2)，给出偶函数yf(x)的局部图象，比较f(1)与f(3)的大小，并试作出它的y轴右侧的图象【解析】(1)奇函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于原点的对称点P(x
8、，f(x)图为补充后的图象易知f(3)2.(2)偶函数yf(x)在y轴左侧图象上任一点P(x，f(x)关于y轴的对称点P(x，f(x)，图为补充后的图象易知f(1)f(3)1对幂函数概念的理解(1)幂的底数是自变量，幂的指数是一个常数，可以取任意实数(2)幂前面的系数必须为1，且为单项式，否则不是幂函数如：y(2x)，y2x，yx2等都不是幂函数2幂函数的性质幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，)上都有定义，并且图象都通过点(1,1)，幂函数图象不过第四象限(2)0时，幂函数的图象都通过点(0,0)(1,1)；并且在0，)上都是增函数(3)0时，幂函数的图象都通过点(1,1)；在0，)上都是
9、减函数；在第一象限内，函数图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近3准确理解函数奇偶性定义(1)偶函数(奇函数)的定义中“对D内任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)(f(x)f(x)”，这表明f(x)与f(x)都有意义，即x、x同时属于定义域因此偶(奇)函数的定义域是关于坐标原点对称的也就是说，定义域关于坐标原点对称是函数具有奇偶性的前提条件存在既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)0，xD，这里定义域D是关于坐标原点对称的非空数集(2)函数按奇偶性可以分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，既不是奇函数又不是偶函数下面四个结论：(1)偶函数的图象一定和y轴相交；(2)奇函数的图
10、象一定通过原点；(3)偶函数的图象一定关于y轴对称；(4)既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)0(xR)其中正确的命题是_【错解】(2)(3)【错因】一个函数为偶数，它不一定在x0处有定义，所以(1)不对，只有在x0处有定义的奇函数，它的图象才一定通过原点，所以(2)不对；函数f(x)0，x1,1，函数f(x)0，x2,2都既是奇函数又是偶函数，所以(4)也不对【正解】(3)1下列函数中是幂函数的是()Ay3x2 By2xCyx11 Dyx3.14【答案】D2函数f(x)x2，x0，)的奇偶性是()A奇函数 B偶函数C非奇非偶函数 D既是奇函数，又是偶函数【答案】Cx14f(x)123已知
11、幂函数f(x)x的部分对应值如表：则f(8)_.【答案】24判断下列函数是否具有奇偶性：(1)f(x)x1；(2)f(x)x23x，x4,4)；(3)f(x)x21，x6，22,6【解析】(1)函数f(x)x1的定义域为实数集R，当xR时，xR.因为f(x)x1(x1)，f(x)(x1)，即f(x)f(x)，f(x)f(x)所以函数f(x)x1既不是奇函数又不是偶函数(2)因为函数的定义域关于坐标原点不对称，即存在44,4)，而4 4,4)所以函数f(x)x33x，x4,4)既不是奇函数又不是偶函数(3)函数f(x)x21的定义域为6，22,6，当x6，2时，x2,6因为f(x)(x)21x21f(x)，所以函数f(x)x21，x6，22,6是偶函数
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