信号与系统刘树棠译第九章.ppt

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1、1,第9章 拉普拉斯变换,Signals and Systems A.V. OPPENHEIM, et al.,The Laplace Transform,2,1. 双边拉普拉斯变换； 2. 双边拉普拉斯变换的收敛域； 3. 零极点图； 4. 双边拉普拉斯变换的性质； 5. 系统函数； 6. 单边拉普拉斯变换；,本章基本内容：,3,9.0 引言 Introduction,傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中如此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一切 LTI 系统的特征函数。 傅里叶变换是以复指数函数中的特例，即以 和 为基底分解信号的。

2、对于更一般的复指数函数 和 ，也理应能以此为基底对信号进行分解。,4,通过本章及下一章，会看到拉氏变换和变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质，不仅能适用于用傅里叶变换的方法可以解决的信号与系统分析问题，而且还能解决傅里叶分析方法不适用的许多方面。拉氏变换与变换的分析方法是傅里叶分析法的推广，傅里叶分析是它们的特例。,将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题。,5,9.1 拉普拉斯变换,复指数信号 是一切LTI系统的特征函数。 如果LTI系统的单位冲激响应为 ，则系统对 产生的响应是:,，其中,显然当 时，就是傅里叶变换。,The Laplace Transform,

3、6,一.双边拉氏变换的定义：,称为 的双边拉氏变换，其中 。,若 ， 则有:,这就是 的傅里叶变换。,表明：连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在 或是在 轴上的特例。,7,由于,所以拉氏变换是对傅里叶变换的推广， 的 拉氏变换就是 的傅里叶变换。只要有合适的 存在，就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入 后满足该条件。即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在。 拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性。,8,例1.,在 时收敛,当 时， 的傅里叶变换存在,显然，在 时，拉氏变换收敛的区域 ，包括了 （即 轴）。,9,比较 和 ，显然有,例2.,与例1.比较，区别仅在于收敛域不同。,1

4、0,由以上例子，可以看出:,1. 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题。并非任何信号的拉氏变换都存在，也不是 S 平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛。 2. 使拉氏变换积分收敛的那些复数 S的集合，称为拉氏变换的收敛域 ROC ，拉氏变换的 ROC （Region of Convergence）是非常重要的概念。,11,3. 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式，只是它们的收敛域不同。 4. 只有拉氏变换表达式连同相应的收敛域，才能和信号建立一一对应的关系。 5. 如果拉氏变换的ROC包含 轴，则有,12,二. 拉氏变换的ROC及零极点图：,例3.,13,可见：拉氏变换的收敛域是各个收敛

5、域的公共部分。ROC总是以平行于 轴的直线作为边界的，ROC的边界总是与 的分母的根对应的。,若 是有理函数,14,分子多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点。,将 的全部零点和极点表示在 S 平面上就构成了零极点图。零极点图及其收敛域可以表示一个 ，最多与真实的 相差一个常数因子 。 因此，零极点图是拉氏变换的图示方法。,15,9.2 拉氏变换的收敛域,可以归纳出ROC的以下性质： 1. ROC是 S 平面上平行于 轴的带状区域。 2. 在ROC内无任何极点。 3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。 4. 右边信号的ROC是 S 平面内某一条平行于 轴的直线的右边。,The Regio

6、n of Convergence for Laplace Transforms,16,若 ，则,表明 也在收敛域内。,若 是右边信号, , 在ROC内， 则有 绝对可积，即：,17,5. 左边信号的ROC是S平面内的一条平行于 轴的直线的左边。,若 是左边信号，定义于 , 在 ROC 内， ，则,表明 也在收敛域内。,18,6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内平行于 轴的带形区域。,例1.,其它,19,有极点,考查零点，令,得,例2.,显然 在 也有一阶零点，由于零极点相抵消，致使在整个S平面上无极点。,20,当 时，上述ROC有公共部分，,当 时，上述 ROC 无公共部分，表明

7、 不存在。,21,当 是有理函数时，其ROC总是由 的极点分割的。ROC必然满足下列规律： 1. 右边信号的ROC一定位于 最右边极点的右边。 2. 左边信号的ROC一定位于 最左边极点的左边。 3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间的带状区域。,22,例3.,可以形成三种 ROC： ROC： 此时 是右边信号。 ROC： 此时 是左边信号。 ROC： 此时 是双边信号。,23,The Inverse Laplace Transform,一.定义：,由,若 在ROC内，则有:,9. 3 拉普拉斯反变换,24,当 从 时, 从,拉氏反变换表明: 可以被分解成复振幅为 的复指数信号 的线性

8、组合。,25,二.拉氏反变换的求法:,对有理函数形式的 求反变换一般有两种方法,即部分分式展开法和留数法。,1. 将 展开为部分分式。 2. 根据 的ROC，确定每一项的ROC 。 3. 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质,对每一项进行反变换。,部分分式展开法：,26,极点：,27,例2.,28,1. 求出 的全部极点。 2. 求出 在 ROC 左边的所有极点处的留数之和，它们构成了 的因果部分。 3. 求出 在 ROC 右边的所有极点处的留数之和，并加负号，它们构成了 的反因果部分。,留数法（当 是有理函数时）：,29,例3.,的极点 均位于ROC右边,30,Geometric Evalu

9、ation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot,可以用零极点图表示 的特征。当ROC包括轴时，以 代入 ，就可以得到 。以此为基础可以用几何求值的方法从零极点图求得 的特性。这在定性分析系统频率特性时有很大用处。,9.4 由零极点图对傅里叶变换几何求值,31,零点 , 要求出 时的 ，可以作两个矢量 和 ，则 。,1. 单零点情况：,矢量 称为零点矢量，它的长度 表示 ,其幅角即为 。,32,极点,直接由极点向 点作矢量（称为极点矢量），其长度的倒量为 ,幅角的负值为 。,2. 单极点情况：,33,因此有:,对有理函数形式的,3.

10、一般情况：,34,即：从所有零点向 点作零点矢量，从所有极点向 点作极点矢量。所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢量的长度之积即为 。所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即为 。,当 取为 轴上的点时，即为傅里叶变换的 几何求值。考查 在 轴上移动时所有零、极 点矢量的长度和幅角的变化，即可得出 的 特性。,35,例1. 一阶系统：,36,相位特性，当 时,随着 ， 趋向 。,则 趋向 。,37,例2. 二阶系统：,38,39,1. 当 时， 有两个实数极点，此时系统过阻尼。 起主要作用。随着 ，两极点相向移动，向 处靠拢。,2. 当 时，两极点重合于 处，成为二阶极点。系统处于临

11、界阻尼状态。,40,3. 进一步减小，则二阶 极点分裂为共轭复数 极点，且随 的减小而逐步靠近 轴。极点运动的轨迹根轨迹是一个半径为 的圆周。,此时系统处于欠阻尼状态，随着 ，位于第2象限的极点矢量比第3 象限的极点矢量更短，因此它对系统特性的影响较大。,当 时，由于该极点矢量变得很短，因而 会使 出现峰值。其峰点位于 处，,41,峰值为,在 时，若认为主极点矢量增长 倍时，对应的频率是系统带宽的截止频率，则可以近似确定此时的系统带宽约为 。,42,4. 当 时，两极点分别位于 轴上的 处，此时系统处于无阻尼状态。,系统的相位特性也可以从零极点图得到。此时，只需考察当动点沿 轴移动时所有极点矢

12、量和所有零点矢量的幅角变化，用所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和，即可得到系统的相位特性。,43,例3. 全通系统：,考查零极点对称分布的系统,（一阶全通）,该系统的 在任何时候都等于1，所以 称为全通系统。,44,其相位特性,图示为三阶全通系统，其零极点分布呈四角对称特征。,45,例4. 最小相位系统：,46,显然这两个系统的幅频特性是相同的。但零点在左半平面的系统其相位总小于零点在右半平面的系统。因此将零点仅位于左半平面或者 轴的系统称为最小相位系统。,工程应用中设计的各种频率选择性滤波器，如：Butterworth 、Chebyshev、 Cauer滤波器都是最小相位系统。

13、,47,当工程应用中要求实现一个非最小相位系统时，通常采用将一个最小相位系统和一个全通系统级联来实现。,从本质上讲系统的特性是由系统的零、极点分布决定的。对系统进行优化设计，实质上就是优化其零、极点的位置。,48,49,Properties of the Laplace Transform,9.5 拉氏变换的性质,拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质。这里只着重于ROC的讨论。,1. 线性（Linearity ）：,若,ROC也可能比这个交集大,50,当 与 无交集时，表明 不存在。,例.,Page492：例9.13,51,2. 时移性质（Time Shifting）:,若,3. S域平移

14、（Shifting in the s-Domain）:,表明 的ROC是将 的ROC平移了一个 。,52,例.,显然,53,4. 时域尺度变换（Time Scaling）:,当 时 收敛， 时 收敛,若,则,54,可见：若信号在时域尺度变换，其拉氏变换的ROC在S平面上作相反的尺度变换。,特例,5. 共轭对称（Conjugation）性：,55,如果 是实信号，且 在 有极点（或零点），则 一定在 也有极点或零点。这表明：实信号的拉氏变换其复数零、极点必共轭成对出现。,当 为实信号时，有：,由此可得以下结论：,56,包括,6. 卷积性质:（Convolution Property）,显然有:,

15、例.,57,ROC扩大,原因是 与 相乘时，发生了零极点相抵消的现象。当被抵消的极点恰好在ROC的边界上时，就会使收敛域扩大。,7. 时域微分:（Differentiation in the Time Domain）,58,8. S域微分:（Differentiation in the s-Domain）,Page496：例9.14、例9.15,59,9. 时域积分:（Integration in the Time Domain ）,若,包括,60,时 ，且在 不包含奇异函数。,Proof:,将 在 展开为Taylor级数有：,10. 初值与终值定理: （The Initial- and Fi

16、nal- Value Theorems),61,对上式两边做拉氏变换：,62,如果 是因果信号，且在 不包含奇异函数， 除了在 可以有单阶极点外，其余极点均在S平面的左半边，则,终值定理,63,的实部 可以大于零，因此,除了在 可以有一阶极点外，其它极点均在S平面的左半平面（即保证 有终值）。故 的ROC中必包含 轴。表明：,当 时，,Page498：例9.16,64,极点在S平面的分布与终值的关系,65,Some Laplace Transform Pairs,9.6 常用拉氏变换对,66,Analysis and Characterized of LTI Systems Using the

17、 Laplace Transform,一. 系统函数的概念：,以卷积特性为基础，可以建立LTI系统的拉氏变换分析方法，即,其中 是 的拉氏变换，称为系统函数或转移函数。,9.7用拉氏变换分析与表征LTI系统,67,如果 的ROC包括 轴，则 和 的ROC必定包括 轴，以 代入，即有,这就是LTI系统的傅里叶分析。 即是系统的频率响应。,这些方法之所以成立的本质原因在于复指数函数是一切LTI系统的特征函数。当以 为基底分解信号时，LTI系统对输入信号的响应就是,68,连同相应的ROC也能完全描述一个LTI系统。系统的许多重要特性在 及其ROC中一定有具体的体现。,； 而以 为基底分解信号时，系统

18、的输出响应就是 。,二. 用系统函数表征LTI系统：,1. 因果性：,如果 时 ，则系统是因果的。,69,如果 时 ，则系统是反因果的。,因此，因果系统的 是右边信号，其 的ROC必是最右边极点的右边。由于反因果系统的 是左边信号， 的ROC必是最左边极点的左边。,应该强调指出，由ROC的特征，反过来并不能判定系统是否因果。ROC是最右边极点的右边并不一定系统因果。,70,2. 稳定性：,如果系统稳定，则有 。因此 必存在。意味着 的ROC必然包括 轴。,只有当 是有理函数时，逆命题才成立。,综合以上两点，可以得到：因果稳定系统的 ，其全部极点必须位于S平面的左半边。,71,例1.,某系统的

19、显然该系统是因果的，确定系统的稳定性。,显然，ROC是最右边极点的右边。,的全部极点都在S平面的左半边。,72,的ROC是最右边极点的右边，但 是非有理函数， ，系统是非因果的。,由于ROC包括 轴，该系统仍是稳定的。,而对系统,仍是非有理函数，ROC是最右边极点的右边，但由于 ，系统是因果的。,73,结 论：,3. 如果LTI系统的系统函数是有理函数，且全部极点位于S平面的左半边，ROC为最右边极点的右边，则系统是因果、稳定的。,1. 如果LTI系统的系统函数是有理函数，且系统因果，则系统函数的ROC是最右边极点的右边。若系统反因果，则系统函数的ROC是最左边极点的左边。,2. 如果LTI系

20、统是稳定的，则系统函数的ROC必然包括 轴。,74,三. 由LCCDE描述的LTI系统的系统函数：,是一个有理函数,75,的ROC需要由系统的相关特性来确定。,2）如果LCCDE具有一组全部为零的初始条件，即初始松弛条件，则系统是因果的， 的ROC必是最右边极点的右边。,3）如果已知LCCDE描述的系统是稳定的，则 的ROC 必包括 轴。,1）如果已知LCCDE描述的系统是因果的，则 的ROC必是最右边极点的右边。,76,四.系统特性与系统函数的关系:,Page 505-507: 例9.25、9.26、9.27,77,一个稳定系统对于有界激励信号产生有界的响应函数 稳定性是系统自身的性质之一，

21、系统是否稳定与激励情况无关 系统冲激响应和系统函数能表征系统的稳定性,五.系统稳定性的判决（补充）:,78,稳定系统：H(s)全部极点落在左半平面（除虚轴外），则可以满足： 系统是稳定。 不稳定系统：H(s)有极点在右半平面，或在虚轴上有二阶或者二阶以上的重极点，则在足够长的时间以后，h(t) 仍然增长，系统是不稳定的。 临界稳定系统：H(s)在虚轴有一阶极点，没有极点在右半平面，则在足够长时间以后，h(t) 趋于一个非零的数值或者形成等幅震荡。,因果系统稳定性的三种情况:,79,极点在S平面的分布与终值的关系,80,对于三阶以上的高阶因果系统，求解系统的极点比较繁琐。而在实际上，判断系统的稳

22、定性，并不需要知道极点的确切位置，只需了解它是否在左半平面上。 设n阶线性连续系统的系统函数为 式中，mn，ai(i=0, 1, 2, , n)、bj(j=0, 1, 2, , m)是实常数。H(s)的分母多项式为,罗斯-霍尔维兹准则:,81,H(s)的极点就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，则A(s)称为霍尔维兹多项式。 A(s)为霍尔维兹多项式的必要条件是：A(s)的各项系数ai都不等于零，并且ai全为正实数或全为负实数。若ai全为负实数，可把负号归于H(s)的分子B(s)，因而该条件又可表示为ai0。 若A(s)为霍尔维兹多项式，则系统是稳定系统。 罗斯和霍尔维兹提出

23、了判断多项式为霍尔维兹多项式的准则，称为罗斯-霍尔维兹准则(R-H准则)。罗斯-霍尔维兹准则包括两部分，一部分是罗斯阵列，一部分是罗斯判据(罗斯准则)。,82,若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算：,83,若n为偶数，则第二行最后一列元素用零补上。罗斯阵列共有n+1行(以后各行均为零)，第三行及以后各行的元素按以下规则计算：,84,罗斯判据(罗斯准则) 指出：多项式A(s)是霍尔维兹多项式的充分和必要条件是罗斯阵列中第一列元素全为正值。若第一列元素的值不是全为正值，则表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符号改

24、变的次数(从正值到负值或从负值到正值的次数)等于A(s)=0在右半平面根的数目。 根据罗斯准则和霍尔维兹多项式的定义，若罗斯阵列第一列元素值的符号相同(全为正值)，则H(s)的极点全部在左半平面，因而系统是稳定系统。若罗斯阵列第一列元素值的符号不完全相同，则系统是不稳定系统。,85,综上所述，根据H(s)判断线性连续系统的方法是：首先，根据霍尔维兹多项式的必要条件检查A(s)的系数ai(i=0, 1, 2, , n)。若ai中有缺项(至少一项为零)，或者ai的符号不完全相同，则A(s)不是霍尔维兹多项式，故系统不是稳定系统。若A(s)的系数ai无缺项并且符号相同，则A(s)满足霍尔维兹多项式的

25、必要条件，然后进一步再利用罗斯-霍尔维兹准则判断系统是否稳定。,86,例 已知三个线性连续系统的系统函数分别为,判断三个系统是否为稳定系统。,87,解 H1(s)的分母多项式的系数a1=0，H2(s)分母多项式的系数符号不完全相同，所以H1(s)和H2(s)对应的系统为不稳定系统。H3(s)的分母多项式无缺项且系数全为正值，因此，进一步用R-H准则判断。H3(s)的分母为,A3(s)的系数组成的罗斯阵列的行数为n+1=4，罗斯阵列为,88,按照前面的计算公式，得,因为A3(s)系数的罗斯阵列第一列元素全大于零，所以根据R-H准则，H3(s)对应的系统为稳定系统。,89,例 下图所示为线性连续系

26、统的S域方框图表示。图中，H1(s)为,图,K取何值时系统为稳定系统。,90,解 令加法器的输出为X(s)， 则有,由上式得,91,根据H(s)的分母构成罗斯阵列，得,92,按照前面的公式计算阵列的未知元素，得到阵列为,根据R-H准则，若 和 K 0，则系统稳定。 根据以上条件，当 0 K 110 时系统为稳定系统。,93,例 已知系统函数的分母为,判断该系统是否为稳定系统。 解：构成罗斯阵列，则有 1 2 3 1 2 0 (0 3 0) 此行首列为0，用代替 3 0 2-3/ 0 0 3 0 0 因为0时，2-3/ 为负值，罗斯阵列变号两次，该系统有两个正实部的极点，因此，系统不稳定。,在计

27、算罗斯阵列时，可能会遇到某行首列元素为0，而因为下一列的所有元素都要以该首列元素为分母而导致无法进行计算。遇到这种情况，就用一个无穷小的量去替代0，继续排出阵列，然后令无穷小量0加以判定。,94,在计算罗斯阵列时，如果遇到连续两行元素数字相等或者成比例，则下一行元素将全部为0，阵列也无法继续排下去，这种情况说明在虚轴上可能有极点。对此作如下的处理，以全0行前一行的元素组成一个辅助多项式，用此多项式的导数的系数代替全0行，则可继续排出罗斯阵列。因为此辅助多项式必为原多项式的一个因式，其根必为原多项式的极点，这些极点可能分布在虚轴上。此时的判决准则除了要审查罗斯阵列是否变号外，还要看虚轴上极点的阶

28、数。罗斯阵列如果变号，则系统不稳定；在罗斯阵列不变号的前提下，如果虚轴上的极点为单阶的，则系统临临界稳定，如果虚轴上有重极点则系统不稳定。,例 已知系统函数的分母为 判断该系统是否为稳定系统。,95,解：构成罗斯阵列，则有 s5 1 3 2 s4 1 3 2 s3 0 0 4 6 s2 3/2 2 s1 2/3 s0 2 第三行出现全0，由辅助多项式s4+3s2+2求导可得4s3+6s，以4、6替代全0行系数。 由罗斯阵列可见，元素符号不改变，说明s右半平面没有极点，再由 s4+3s2+2=0 可得s1,2=j，s3,4=j*sqrt(2)， 这说明该系统在虚轴上有四个单极点，故系统为临界稳定

29、。,96,六.系统函数的计算,1、根据定义，对单位冲击响应LT。 2、已知特定输入产生的特定响应，根据 的桥梁作用求出 3、已知微分方程，两边同时做双边LT，求出,97,4、已知电路模型，利用电路分析知识找到输入输出满足的微积分方程，利用3。 5、已知频率特性函数，利用 6、已知方框图，利用梅森规则来计算。 例：P500 9.17 9.18 9.21 9.23 9.26,98,系统模拟的概念 连续系统的模拟：将已知的传递函数用加法器、放大器、积分器按照一定的方式实现。 离散系统的模拟：将已知的传递函数用加法器、放大器、延迟器按照一定的方式实现。,9.8 连续系统的表示和模拟,Represent

30、ations and Simulation of Continuous Systems,99,9.8.1 连续系统的方框图表示,1. 级联：,包括,一.系统互联时的系统函数：,系统的方框图：用一个方框代表一个子系统，按照 系统的功能，各个子系统的相互关系以及信号的流动方向而构成的图。,100,3. 反馈联结：,2. 并联：,包括,包括,101,用基本运算器表示系统,图 9.8-5 基本运算器的时域和S域模型 (a) 数乘器； (b) 加法器；(c) 积分器,102,二. LTI系统的表示：,LTI系统可以由一个LCCDE来描述。,对其进行拉氏变换有：,是一个有理函数,103,(1) 级联结构：

31、,将 的分子和分母多项式因式分解,这表明：一个N阶的LTI系统可以分解为若干个二阶系统和一阶系统的级联。在N为偶数时，可以全部组合成二阶系统的级联形式。,104,其中,如果N为奇数，则有一个一阶系统出现。,105,(2) 并联结构：,将 展开为部分分式 (假定 的分子阶数不高于分母阶数，所有极点都是单阶的），则有：,将共轭成对的复数极点所对应的两项合并:,106,N为偶数时又可将任意两个一阶项合并为二阶项，由此可得出系统的并联结构：,这类系统对应时域以及复频域方框图做法的具体说明（补充），例子参见教材Page511-514。,107,一. 信号流图的基本概念 系统可由方框图表示，特点是比较直观

32、但不易求系统的系统函数，为保持直观特点同时又易于同系统函数建立联系，引入信号流图。利用梅森公式建立两者之间的联系，不仅有利于系统分析，还便于系统模拟。 在方框图中将加法器用一个节点代替，将有方向的子系统用有方向的线段，并且将子系统的传递函数书写在有方向的线段的旁边，所得到的图形称为信号流图。,9.8.2 连续系统的信号流图表示,108,信号流图与方框图的对应关系,109,例 某线性连续系统的方框图表示如图(a)所示。画出系统的信号流图。,(a) 方框图； (b) 信号流图,110,解 系统的方框图中，H1(s)、H2(s)、H3(s)分别是三个子系统的系统函数。设加法器的输出为X1(s), 子

33、系统H1(s)的输出为X2(s)，则有,111,例 某线性连续系统的方框图表示如图(a)所示。画出系统的信号流图。,(a) 方框图； (b) 信号流图,112,解 设左边加法器的输出为X1(s)，左边第一和第二个积分器的输出分别为X2(s)和X3(s)，则有,113,关于信号流图，有如下常用术语： (1)节点：信号流图中表示信号的点称节点。 (2)源点与汇(节)点：前者只出不入，后者只入不出。 (3)混合节点：既有入又有出的节点。 (4)支路：连接两个节点的有向线段称为支路，箭头方向代表信号流动的方向。写在支路旁边的函数称为支路的增益或传输函数。 (5)通路：沿箭头指向从一个节点到另一个节点的

34、途径。 (6)简单通路(开路)：沿途节点和支路只经过一次的通路。,114,(7)前向通路：由源节点到汇节点的简单通路。 (8)通路增益(传输)：通路上各支路增益(传输)之积。 (9)环(回路)、自回路(自环)及环路增益：如果通路的起点和终点为同一节点，并且与经过的其余节点只相遇一次，则该通路称为环或回路。自回路（自环）:只有一个节点和一条支路的回路。环路增益：在环路中每个支路的传递函数相乘。 (10)环路之间的关系接触：环路之间有公共的支路或节点。不接触：环路之间没有公共的支路或节点。 (11)前向通路的子图：去掉某条前向通路后剩余的图形。,115,前向通路：x1x2 x3 x4 x5; x1

35、x2 x3 x5,环路: x2 x3 x2; x2 x3 x4 x2; x4 x4,不接触环路： x2 x3 x2与x4 x4,自环路： x4 x4,116,二、梅森公式,公式内容,117,三、利用梅森公式计算系统函数,已知方框图，根据公式计算系统的H(S)。 P510511：简单的串联、并联、反馈。 举例：复杂的系统。,118,例 已知连续系统的信号流图如下图所示。求系统函数H(s)。,信号流图,119,解 系统信号流图共有四个环路，环传输函数分别为,120,系统信号流图中从F(s)到Y(s)只有一条前向通路，该通路传输函数P1和对应的剩余流图特征行列式分别为,得到系统信号流图的特征行列式为

36、,得到系统函数为,121,例：求右图信 号流图的 系统函数。,解 为了求出特征行列式，先求出有关参数。上图共有4个环路，各环路的增益为 x1x2 x1环路，L1=G1H1 x2 x3 x2环路，L2=G2H2 x3 x4 x3环路，L3=G3H3 x1 x4 x3 x2 x1环路，L4=G1G2G3H4 只有一对两两互不接触的环路x1 x2 x1与x3 x4 x3，,122,其环路增益乘积为,没有三个以上的互不接触的环路。所以得,再求其它参数。图中有两条前向通路，对于前向通路 F x1 x2 x3 x4 Y ,其增益为,由于各环路都与该通路有接触，故1=1 对于前向通路F x1 x4 Y ，其

37、增益为,123,最后，按梅森公式得：,不与P2接触的环路有x2 x3 x2，所以,124,四、利用梅森公式对系统的模拟 1、系统模拟的概念 连续系统的模拟：将已知的传递函数用加法器、放大器、积分器按照一定的方式实现。 离散系统的模拟：将已知的传递函数用加法器、放大器、延迟器按照一定的方式实现。 2、系统模拟的方式 卡尔曼形式（直接型）、级联（串联）形式、并联形式,125,（1）卡尔曼形式(直接型)：将传递函数理解为,将前向通路和环路设计成通过同一个节点，为了保证此条件，常常将前向通路和环路都通过的这个节点设计为从信源开始的第一个加法器，或者是信宿之前的最后一个加法器。,126,以二阶系统为例，

38、 设二阶线性连续系统的系统函数为,给H(s)的分子分母乘以s-2，得到,127,根据梅森公式，上式的分母可看作是特征行列式，括号内表示有两个互相接触的环路，其增益分别为-a1s-1和-a0s-2。,H(s)的分子表示三条前向通路，其增益分别为b2、 b1s-1和b0s-2，并且不与各前向通路相接触的子图特征行列式i （i=1,2,3)均等于1，也就是说，信号流图中的两个环路都与各前向通路相接触，这样就以得到(a)信号流图，其对应的s域方框图如图(b) 。,源节点之后的第一个加法器,128,还可以得到如下的信号流图与方框图。,图中所出现的系数可以直接从系统函数中的系数或者等效为微分方程中的系数确

39、认出来。上述分析方法可推广到更高阶情形。,例 某连续系统的系统函数,用直接形式模拟系统。,汇节点之前的最后一个加法器,129,解 将H(s)改写为,根据梅森公式，可画出上式的信号流图如图,130,（2）级联（串联）形式,通常各子系统Hi(s)选用一阶函数和二阶函数，分别称为一阶节、二阶节。,（3）并联形式,131,解:（1）级联实现 首先将H(s)的分子、分母多项式分解为一次因式与二次因式的乘积。于是,例 某连续系统的系统函数,分别用级联和并联形式模拟系统。,132,将上式分解为一阶节与二阶节的极联，令,上式中一阶节和二阶节的信号流图如下图所示,133,（2）并联实现 将系统函数展开为部分分式

40、,(a)、(b)分别表示一阶节和二阶节，二者级联后，如图(c)所示，其相应的方框图如下图所示。,134,式中,于是系统函数可写为,135,令,画出H1(s)和H2(s)的信号流图，将二者并联即得H(s)的信号流图如图（a)所示，相应框图如图（b)所示,136,书上举例：P8990，及第2章课件 P511-514，,137,The Unilateral Laplace Transform,单边拉氏变换是双边拉氏变换的特例。也就是因果信号的双边拉氏变换。单边拉氏变换对分析LCCDE 描述的增量线性系统具有重要的意义。,一.定义:,如果 是因果信号，对其做双边拉氏变换和做单边拉氏变换是完全相同的。,

41、9.9 单边拉普拉斯变换,138,单边拉氏变换也同样存在ROC 。其ROC必然遵从因果信号双边拉氏变换时的要求，即：一定位于最右边极点的右边。,正因为这一原因，在讨论单边拉氏变换时，一 般不再强调其ROC。,单边拉氏变换的反变换一定与双边拉氏变换的反变换相同。,139,做单边拉氏变换，有：,例1.,做双边拉氏变换：,140,例2.,由于其ROC为,与 不同，是因为 在 的部分对 有作用而对 没有任何作用所致。,例：教材Page-516的例9.34、例9.35。,141,二.单边拉氏变换的性质:,单边拉氏变换的大部分性质与双边拉氏变换相同，但也有几个不同的性质。,1. 时域微分（Differen

42、tiation in the Time Domain）,142,2. 时域积分（Integration in the Time Domain）,143,3.时延性质（Time Shifting）,是因果信号时，单边拉氏变换的时延特性与双边变换时一致。,不是因果信号时，,144,三.连续时间系统的复频域分析:,利用单边拉氏变换求解LCCDE描述的增量线性系统：时域法分别求出由增量线性系统的零状态响应与零输入响应，二者相加得到全响应；傅立叶变换与双边拉普拉斯变换只能够求零状态响应。单边拉氏变换特别适合于求解这类系统。 具体的方法（补充）。,例.,某LTI系统由微分方程描述,145,求响应,解：对方

43、程进行单边拉氏变换：,146,其中，第一项为强迫响应，其它为自然响应。,教材Page-518的例9.38。,147,9.10 小结 Summary,拉氏变换是傅氏变换的推广，在LTI系统分析中特别有用。它可以将微分方程变为代数方程，这对分析系统互联、系统结构、用系统函数表征系统、分析系统特性等都具有重要意义。 ROC是双边拉氏变换的重要概念。离开了ROC，信号与双边拉氏变换的表达式将不再有一一对应的关系。,148,作为拉氏变换的几何表示，零极点图对分析系统的频率特性、零极点分布与系统特性的关系具有重要意义。从本质上讲，系统的特性完全是由系统函数的零极点分布决定的。 拉氏变换的许多性质对于在变换域分析LTI系统，具有重要作用。 作为双边拉氏变换的特例，单边拉氏变换特别适用于分析增量线性系统。,