(极坐标与直角坐标方程)课件

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1、目标在哪？目标在哪？在以在以为为X X轴轴以以为为Y Y轴，轴，坐标是坐标是.算的太慢了！算的太慢了！以立新街为以立新街为X X轴轴以大桥东路为以大桥东路为Y Y轴轴请问：去融安请问：去融安二中怎么走？二中怎么走？以立新街为以立新街为X X轴轴以大桥东路为以大桥东路为Y Y轴轴脑子脑子进水了？进水了？以立新街为以立新街为X X轴轴以大桥东路为以大桥东路为Y Y轴轴精神病！精神病！从这向北向从这向北向东南方向东南方向30003000米。米。请问：去融安请问：去融安二中怎么走？二中怎么走？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？从从 这 向 东 南这 向 东 南

2、 走走 3 0 0 03 0 0 0 米米！出发点出发点方向方向距离距离在生活中人们经常用方向和距离来表示在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用一点的位置。这种用方向方向和和距离距离表示平表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。基本思想。极坐标系的建立：极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位再选定一个长度单位和和角度单位角度单位及及它的正它的正方向方向（通常取逆时针（通常取逆时针方向）。方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极

3、坐标系。XO极坐标系内一点的极坐标的规定极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M M，用用 表示线段表示线段OMOM的长度，的长度，用用 表示从表示从OXOX到到OM OM 的的角度，角度，叫做点叫做点M M的的极径极径，叫做点叫做点M M的的极角极角，有序，有序数对数对（，）就叫做就叫做M M的的极坐标。极坐标。特别强调：特别强调：表示线段表示线段OMOM的长度，即点的长度，即点M M到极到极点点O O的距离；的距离；表示从表示从OXOX到到OMOM的角度，即以的角度，即以OXOX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM OM 为终边的角。为终边的角。题组一题组

4、一:说出下图中各点的极坐标说出下图中各点的极坐标ABCDEFGOX46535342 平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：特别规定：当当M M在极点时，它的极在极点时，它的极坐标坐标=0=0，可以取任意值。可以取任意值。想一想？想一想？点的极坐标的表达式的研究点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OMOM的长度为的长度为4 4，4请说出点请说出点M M的极坐标的其他的极坐标的其他表达

5、式。表达式。思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。就是说它们是终边相同的角。本题点本题点M M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：4 2k+4 ，极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角(3,0)(6,2)(3,)245(5,)(3,)(4,)365(6,)3ABCDEFG 题组二题组二:在极坐标系里描出下列各点在极坐标系里描出下列各点:46535342 ABCDEFGOX极坐标系下点与它的极坐标的对应情况极坐标系下点与它的

6、极坐标的对应情况1给定（给定（,）,就可以在就可以在极坐标极坐标平面内确定唯一的平面内确定唯一的一点一点M。2给定平面上一点给定平面上一点M，但，但却有无数个极坐标与之对却有无数个极坐标与之对应。应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)(,)一般地一般地,若若(,)是一点的极坐标是一点的极坐标,则则(,+2k)、都可以作为它的极坐标、都可以作为它的极坐标.如果如果限定限定0,02或或,那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标平面内的点和极坐标就可以就可以一一对应一一对应了了.2.在极坐标系中在极坐标系中,与与(,)关于极轴对称关于极轴对称的点是的点是()A.(,)

7、B.(,)C.(,)D.(,)AB题组三题组三 1.在极坐标系中，与点在极坐标系中，与点 (3,)重合重合的点是的点是()6A.(3,)B.(3,)C.(3,)D.(3,)136617665平面内的一个点的直角坐标是平面内的一个点的直角坐标是(1,)3这个点如何用极坐标表示这个点如何用极坐标表示?Oxy在直角坐标系中在直角坐标系中,以原点作为极点以原点作为极点,x x轴的正半轴作为极轴轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相并且两种坐标系中取相同的长度单位同的长度单位点点M的直角坐标为的直角坐标为)3,1()3,1(M设点设点M的极坐标为的极坐标为(,)23122 ）（313tan 极坐标与直

8、角坐标的互化关系式极坐标与直角坐标的互化关系式:设点设点M的直角坐标是的直角坐标是(x,y)极坐标是极坐标是(,)x=cos,y=sin )0(tan,222 xxyyx 互化公式的三个前提条件：互化公式的三个前提条件：1.极点与直角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合;2.极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x轴的正半轴轴的正半轴 重合重合;3.两种坐标系的单位长度相同两种坐标系的单位长度相同.例例1.将点将点M的极坐标的极坐标 化成直角坐标化成直角坐标.)32,5(解解:2532cos5 x23532sin5 y所以所以,点点M的直角坐标为的直角坐标为)235,25(已知下列点的极坐

9、标，求它们的直已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。角坐标。)6,3(A)2,2(B)2,1(C)4,23(D)43,2(E例例2.将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标.)1,3(解解:21)3(22 ）（3331tan 因为点在第三象限因为点在第三象限,所以所以67 因此因此,点点M的极坐标为的极坐标为)67,2(练习练习:已知点的直角坐标已知点的直角坐标,求它们求它们的极坐标的极坐标.)3,3(A)3,1(B)0,5(C)2,0(D)3,3(E思考：在平面直角坐标系中思考：在平面直角坐标系中1、过点、过点(3,0)且与且与x轴垂直的直线方程轴垂直的直线方程为为 ;过点过点(

10、3,3)且与且与x轴垂直的直轴垂直的直线方程为线方程为 x=3x=32、过点（、过点（a,b）且垂直于）且垂直于x轴的直线轴的直线方程为方程为_x=a特点：所有点的横坐标都是一样，特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。纵坐标可以取任意值。答：与直角坐标系里的情况一样，求答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标点的坐标 与与 之间的关系，然后列之间的关系，然后列出方程出方程(,)=0，再化简并讨论。，再化简并讨论。怎样求曲线的极坐标方程？怎样求曲线的极坐标方程？例题例题1：求过极点，倾角为求过极点，倾角为 的射线的射线的

11、极坐标方程。的极坐标方程。4 oMx4 分析：分析：如图，所求的射线如图，所求的射线上任一点的极角都上任一点的极角都是是 ，其，其/4 极径可以取任意的非负数。故所求极径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为(0)4 1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的射线的极的射线的极坐标方程。坐标方程。54 易得易得5(0)4 思考：思考：2、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的直线的极的直线的极坐标方程。坐标方程。4 544 或或和前面的直角坐标系里直线方程的表和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便

12、，要用两条射线组表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？合而成。原因在哪？0 为了弥补这个不足，可以考虑允许极为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为极坐标方程可以表示为()4R 或或5()4R 例题例题2:求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极，且垂直于极轴的直线轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点(,)M 为直线为直线L上除点上除点A外的任外的任意一点，连接意一点，连接OMox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以验证，点可以验证，

13、点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤1、据题意画出草图；、据题意画出草图；2、设点、设点 是直线上任意一点；是直线上任意一点；(,)M 3、连接、连接MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方程程,并化简；并化简；,5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。练习：练习：设点设点A的极坐标为的极坐标为A ,直线直线 过点过点A且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的的极坐标方程。极坐标方程。(,0)a ll解：如图，设点解：如图，设点(,)M 为直线为直线 上异于的点上异于的点l连接连接O

14、M，oMx A在在 中有中有 MOA sin()sin()a 即即sin()sina显然显然A点也满足点也满足上方程。上方程。例题例题3设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。11(,)lloxMP 1 1 解：如图，设点解：如图，设点(,)M 点点P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM为直线上除为直线上除则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知,OMxOM1OP 1xOP 1,()OMPOPM 由正弦定理由正弦定理得得11sin()sin()11sin()sin()显然点显然点P的坐标的坐标也是

15、它的解。也是它的解。设直线设直线 与极轴交于点与极轴交于点A。则。则在在MOP l直线的几种极坐标方程直线的几种极坐标方程1、过极点、过极点2、过某个定点，且垂直于极轴、过某个定点，且垂直于极轴3、过某个定点，且与极轴成一定的、过某个定点，且与极轴成一定的角度角度探究如图，半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a0)，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标(,)满足的条件？xC(a,0)O MA=2acos 例1已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？C(r,0)xOM =r练习练习1 1求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程（）中心在极点，半径为；（）中心在极点，半

16、径为；（）中心在（）中心在（，），半径为），半径为；（）中心在（）中心在（，2），半径为），半径为；2-2acos 2asin 极坐标方程分别是cos和 sin的两个圆的圆心距是多少 22练习练习2参数方程的概念：参数方程的概念：如图，一架救援飞机在离灾区地面如图，一架救援飞机在离灾区地面500m500m高高处以处以100m/s100m/s的速度作水平直线飞行。为使投的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？xy500o参数方程的概念：参数方程的概念：x

17、y500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：运动合成：（1 1）沿）沿oxox作初速为作初速为100m/x100m/x的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2 2）沿）沿oyoy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。txy解：物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,)1500.2xtygt2（g=9.8m/s 一般的，在平面直角坐标系中，如果曲一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标线上任意一点的坐标x x，y y都是某个变数都是某个变数t t的的函数，即函数，即 并且对于并且对于t t 的每一个允值，的每一个允值，

18、由方程组由方程组 所确定的点所确定的点M(x,y)M(x,y)都在这条都在这条直线上，那么方程组直线上，那么方程组 就叫做这条曲线的就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系，联系x x，y y 之间关系的变数叫做之间关系的变数叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。相对于参数方程来说，直接给出点的坐相对于参数方程来说，直接给出点的坐标间关系的方程叫做标间关系的方程叫做普通方程普通方程。tgytfx rxyop0po1oxyrsinrycosrxsinrbycosrax练习练习:如图，已知点如图，已知点P P是半径是是半径是2 2的圆的圆O O上上的一个动点，点的一个动点，点Q Q是是x x轴上的定

19、点，坐标为轴上的定点，坐标为（6 6，0 0）.当点当点P P在圆上运动时在圆上运动时,线段线段PQPQ的中的中点点M M的轨迹是什么的轨迹是什么?PxyOQMPxyOAM解解:设点设点M M的坐标是的坐标是(x,y).(x,y).因为圆因为圆O O的参数方的参数方程为程为sin2cos2yx所以所以 可设点可设点P的坐标为的坐标为(2cos ,2sin ).由线段中点坐标公式得点由线段中点坐标公式得点M的轨迹的参的轨迹的参数方程为数方程为sincos3yxcos3,()sinxMy由参数方程为参数 直接判断点的轨迹的曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通方程，则比较简单。2222

20、cos3,sincos(3)1sinxxyyM由参数方程得：所以点 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。参数方程和普通方程参数方程和普通方程 的互化的互化（1 1）普通方程化为参数方程需要引入参数）普通方程化为参数方程需要引入参数如：直线如：直线L L 的普通方程是的普通方程是2x-y+2=02x-y+2=0，可，可以化为参数方程以化为参数方程.22,tytx（t t为参数）为参数）在普通方程在普通方程xy=1xy=1中，令中，令x=tanx=tan,可以化为可以化为参数方程参数方程 .cot,tanyx （为参数）为参数）（2 2）参数方程通过）参数方程通过代入消元代入消元或或加减消元加

21、减消元消去参数化为普通方程消去参数化为普通方程如：参数方程如：参数方程.sin,cosrbyrax消去参数 可得可得圆的普通方程圆的普通方程(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2.42,tytx参数方程（t为参数）可得普通方程：可得普通方程：y=2x-4y=2x-4通过代入消元法消去参数t,（x0）注意：注意：在参数方程与普通方程的互化中，在参数方程与普通方程的互化中，必须使必须使x x，y y的取值范围保持一致。否则，的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的互化就是不等价的.例例:把下列参数方程化为普通方程，并说明把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示

22、什么曲线？它们各表示什么曲线？1()12tytx=t(1)为参数sincos().1 sin2y x=(2)为参数例例:(1)设x=3cos，为参数；2.tt(2)设y=，为参数22194xy求椭圆的参数方程。解：（1）把x=3cos 代入椭圆方程，得到229cos1,94y224(1 cos)4sin,2所以 y2sin即 y。的任意性，可取由参数2siny 的参数方程为所以，椭圆14922yx为参数）(sin2cos3yx椭圆椭圆 的参数方程为：的参数方程为：22221xyab（ab0）cos()sinxayb为参数,2)o通常规定练习练习:1.把下列参数方程化为普通方程，普通把下列参数方

23、程化为普通方程，普通方程化为参数方程（口答）方程化为参数方程（口答）3cos,5sin.xy（1）8cos,6sin.xy（2）22149xy（3）22116yx（4）2 3cos,2.(3 2sin.xy曲线为参数)的焦距是 。练习练习3.曲线的参数方程 22cos,(),sin.xy为参数则此曲线是()A 椭圆 B 椭圆的一部分C 线段 D 直线（1 1）当参数）当参数 R R时，化为普通方程是时，化为普通方程是_._.（2 2）当参数）当参数 00，时，化为普通方时，化为普通方程是程是_._.（1 1）(x-1)(x-1)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=4=4；4、在参数方程、在参

24、数方程.sin23,cos21yx中，中，练习练习:（2 2）(x-1)(x-1)2 2+(y+3)+(y+3)2 2=4,(y-3).=4,(y-3).2224sin A B C Dsinxtxtxtxtytytytyt、5 5、曲线、曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（）.注意：在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的.分析分析:发生了变化，因而与发生了变化，因而与 y=xy=x2 2不等价；不等价；在在A A、B B、C C中，中，x,yx,y的范围都的范围都抛物线的参数方程抛物线的参数方程oyx)HM(x，y)2抛物线y=2px(p0)的参数方程为:,().ttRy2x=2pt为参数，2pt普通方程普通方程参数方程参数方程引入参数引入参数消去参数消去参数小结小结