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1、第五节 对坐标的曲面积分一、引入问题：怎样计算不可压缩流体流过某曲面的流量？计算自来水的流量，设水速为，水管的截面积为，则流量为。（截面与速度方向垂直）（如图1）若考虑的截面不与速度垂直其面积为法向量为，此时流量还是：有向曲面：我们考虑一般曲面，取定了法向量即选定了侧的曲面称为有向曲面。正侧：上侧、右侧、前侧；负侧：下侧、左侧、后侧。对于闭曲面分为：内侧、外侧。如果速度不是常量（与时间无关），流过某曲面（非平面），怎么求流量？（如图2）速度为，流过曲面的流量1) 化整为零：把分割成小块，2) 近似代替：在中任取一点这一点处的单位法向量作为一小片的法向量设为，流过的流量为 （注意符号）3) 积零
2、为整：；4) 无限趋近：取为这 小块曲面面积的最大值记为二、第二型曲线积分的定义设是定义在可求面积的有向曲面上的向量值函数1） 化整为零：把分割成小块，2） 近似代替：在中任取一点这一点处的单位法向量作为一小片的法向量设为，做乘积 （注意符号）3） 积零为整：；4） 无限趋近：取为这 小块曲面面积的最大值，如果对于任意的分割，任意取的点极限则称此极限为向量值函数在曲面上的积分。记为注：如改变曲面的侧，则积分值反号。三、怎样计算第二型曲面积计算，关键是处理！把方程可化为，并取前侧 (其中为在面上的投影)例1：计算曲面积分，其中是球面的外侧并满足的部分。解：把曲面方程表示成关于的函数的形式，要做到
3、这一点必须把曲面分成两块，其方程分别为和；它们在面上的投影为同一平面区域按题意取上侧，取下侧，因此点评：在计算第二类曲面积分时，首先要确定积分曲面向那个坐标面上投影，主要看积分表达式来确定，如例1中积分表达式中有所以应向面上投影；其次把曲面方程化为显函数形式，如例1中确定向面上投影后，曲面方程应化为关于的函数的形式，如果不能用一个显函数表示就应把曲面分割成若个块；最后把曲面积分化为二重积分。例2：计算，其中为平面在第一卦限部分的上侧。解：1）在面上的投影为且，曲面指定方向为前侧，所以2）在面上的投影为且，曲面指定方向为右侧，所以3）在面上的投影为且，曲面指定方向为上侧，所以原式。例3：计算，其
4、中，为球面的外侧。解：由于积分曲面和被积函数具有对称性，所以有因此我们只需计算，此时把曲面方程化为关于的显函数，必须要分成上下两块取上侧；取下侧，它们在面上的投影都为，所以点评：在计算第二类曲面积分时，一定要分析清楚积分曲面和被积函数的一些特征，如对称性等，以便简化计算过程。四、两类曲面积分之间的联系=例4：计算，其中是锥面被平面所截下的有限部分下侧。解：我们考虑把以上曲面积分化为第一类曲面积分，此曲面上一点处的法向量为因为是取下侧，所以轴的坐标应为负值。此法向量的单位向量为。且此曲面在面上的投影为圆盘点评：有时运用第二类曲面积分的基本方法计算非常繁杂，如例2，用基本方法做要考虑曲面对三个坐标面的投影，计算量很大，若把它转化为第一类曲面积分可大大简化计算，如例3。在转化为第一类曲面积分时，关键是怎样确定指向定向曲面所指定的一侧的法向量，基本方法如下：1） 如果指的是上侧，法向量轴坐标为正，指的是下侧，法向量轴坐标为负；2） 如果指的是右侧，法向量轴坐标为正，指的是左侧，法向量轴坐标为负；3） 如果指的是前侧，法向量轴坐标为正，指的是后侧，法向量轴坐标为负；
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