初中数学解题教学

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1、,大家好,初中数学解题教学,2010年5月20日,北京市东城区教师研修中心 吴晓燕,北京市东城区教师研修中心,一 精选 二 会用 三 善变,例1 如图，正方形ABCD的对角形相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，两个正方形的边长相等，那么无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的1/4，想一想为什么？（教材八下P116）,北京市东城区教师研修中心,选-,E,N,M,用-还能发现哪些结论？,BE+BF=AB=2AO，,北京市东城区教师研修中心,AE=BF, BE=CF , OE=OF,1= 2，,1,2,OEF是等腰直角三角形,3,4,3

2、+4=180,S四边形OEBF=1/4S正方形ABCD,变- 引申,北京市东城区教师研修中心,北京市东城区教师研修中心,三角形,120,五边形,北京市东城区教师研修中心,72,n边形?,变-拓广,北京市东城区教师研修中心,例2： 在一副三角板中，将一块含30 角的三角板DEF的直角顶点D放在一块含45角的三角板ABC的斜边AC的中点上逆时针方向旋转，直角三角板DEF的短直角边为DE，长直角边为DF，且AB=BC=4. (1)如图1，在上述旋转过程中，DM与DN，BM与CN有怎样的数量关系； (2)在上述旋转过程中，两块三角板重叠出四边形DMBN的面积是否发生变化？若变化，如何变化；若不变，求出

3、当时四边形DMBN的面积. （07山东临沂）,图1,x,y,y=0.5x2-2x+4（0x4）,（5）继续旋转至图2、3的位置，图2延长AB、BC交DE、DF于M、N；图3延长FD 、ED 交BC、AB于N 、M.则DM与DN，BM与CN有怎样的数量关系，请写出结论.,北京市东城区教师研修中心,图2,A,B,C,D,M,N,E,F,图3,北京市东城区教师研修中心,（6）BN +BM =2BD,A,B,C,D,M,N,?,A,B,C,D,M,E,F,x,y,N,06泰州,如图，O为矩形ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终与BC、AB相交，交点分别为M、N.

4、如果AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，则y与x的关系是 .,A,B,C,D,O,M,N,G,H,x,y,（昌平二模）ABC中，BAC=90，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F . （1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论； （2）如图2，若连接EF，请探索线段BE、EF、FC之间的关系； （3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“B=30，ADBC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.,图1,图2,图3,1,

5、2,3,九上P57：把 ADF以点D为中心按逆时针方向旋转90，可以得到什么结论呢？,变式：在四边形BEDF中，BD平分FBE ，若FBE=90， F与E互补，则线段BE、BF、BD有怎样的数量关系？,F,若把变式中的“FBE=90”换成“FBE=120”，其余条件不变，是否还有上述结论成立？,BF+BE=2BD,(2),(3),（2）AB+AD=AC. 证明如下： 过C点分别作AD、AB的垂线，垂足分别为E、F （如图）. AC平分DAB， CE=CF. ABC+D=180， ABC+CBF=180， CBF=D. CED=CFB=90 ， CEDCFB . ED=BF. AD+AB=AE+

6、ED+AB=AE+AF 由（1）知AD+AB=AC .,对于第（2）小题：如图构造等边三角形： 有两种常见添辅助线的添法： 延长AD到E，使AE=AC； 过C作AB的平行线，交AD的延长线于E. 证明ACE是等边三角形， 再证ACBECD，从而得到AB=DE， 最后得到所要结论.,注意：由角平分线的作用，本小题延长AB或者过C作AD的平行线也可以，如下图所示.,对于第三小题，类比上一小题，构造等腰直角三角形： 本小题也有两种辅助线添法，以下左图为例，先构造等腰直角三角形ACE， 再证ACBECD，从而得到AB=DE，最后得到所要结论.,例3 如图，在等腰三角形ABC中，C=90，P为ABC内一

7、点，已知PC=1，PA= ，PB=3，,PA,PB,PC可以集中到 两个直角三角形中,P,A,B,C,D,P,D,求APC的度数.,由以上信息你可以得到哪些结论？,PCP是等腰直角三角形,APBP,P,1,3,如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=3 ， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长,如图2，在正方形ABCD内有一点P，且 PA= 5 ，BP= 2 ，PC=1求BPC度 数的大小和正方形ABCD的边长,A,B,C,P,P,图1,A,B,C,D,P,图2,P,E,例4：如图，把正方形ABCD绕点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H

8、.,（1）若设正方形ABCD的边长为3，且旋转角为30时，HB的长为多少？（04上海）,A,B,C,D,E,F,G,H,30,(2)若正方形的边长为2cm，重叠部分的面积为43/3cm2，求旋转的角度n.,A,B,C,D,E,F,G,H,n,例5 如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD 边上的一个动点(点G与点C、D不重合)， 以CG为一边向正方形ABCD外作正方形 GCEF，连结DE交BG的延长线于H. （1）求证： BCGDCE； BHDE； （2）当点G运动到什么位置 时，BH垂直平分DE？ 请说明理由.,（07资阳） 如图1，已知P为正方形ABCD的对角 线AC上一点(不与A、C重合

9、)，PEBC于点 E，PFCD于点F. (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .,变式1：将正方形CEPF绕点C旋转到如下位置，取线段PA的中点M.探究：线段MD、ME的关系，并加以证明.,北京市东城区教师研修中心,H,A,B,C,D,E,P,F,H,M,A,B,C,D,E,F,P,H,M,北京市东城区教师研修中心,设正方形ABCD的边长为b，正方形PECF 的边长为a(b2a),（1）求PDB的面积,北京市东城区教师研修中心,H,（2）正方形PECF在绕点C旋转过

10、程中， PDB的面积是否存在最大值和最小值？,N,图1,（08北京）请阅读下列材料： 问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PG、PC若ABC=BEF=60，探究PG与PC的位置关系及PG:PC的值 小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及 PG:PC的值；,北京市东城区教师研修中心,H,（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使其对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件

11、不变（如图2）.你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中ABC=BEF=2(090)，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PG:PC 的值（用含的式子表示）,北京市东城区教师研修中心,H,A,B,C,D,E,P,F,P,例6：如图，四边形ABCD是正方形，点M是AD边上不同于A、D的点，点N是CD的中点. 若sinABM= ， 求证：NMB=MBC.,P,方法一：构造三角形证明等腰,一题多解，开阔思路,方法二：构造梯形证明等腰,作NQMB交BC于点Q.,Q,方法三：转移角构造全等三角形,作BHMN于点H，连结BN.,H

12、,方法四：转移角构造相似三角形,作NEMB于点E，连结BN.,E,方法五：作中位线转移角,作NFBC交MB于点F.,F,K,方法六：旋转图形转移角,延长DC到G， 使CG=AM.,G,反 思,涉及的知识 使用的方法 体现的思想 达到的目的,变式1 如图，四边形ABCD是正方形，点M是AD边上 不同于A、D的点， 若sinABM= ， 求证：,P,思路：构造等腰三角形，利用相似证全等,一题多变，思维灵活,点N是CD的中点.,NMB=MBC.,H,如图，四边形ABCD是正方形，点M是AD边上不同于A、D的点，点N是CD的中点. 若 求证：,P,思路：构造等腰三角形，利用勾股定理,变式2,NMB=M

13、BC.,sinABM=,求：,?,x,a-x,a/2,(2a-x)/2,a,S=12-a,tanAFB=3,tanAFB=2k+1,教材九上P75-5,例7 已知点C在线段BD上，在BD的同侧作两个等边三角形ABC和ECD， AD交CE于点G， BE交AC于点F，交AD于点P.,北京市东城区教师研修中心,A,B,D,C,E,F,G,P,由题设可以得到哪些结论？,连结FG，求证： FGBD.,DAC可以看作是EBC经过什么样的变换得到的？说明理由.,深化结论,如果点C是BD上一动点，BD=10. 当点C运动到什么位置时，线段FG有最大值？最大值是多少？,北京市东城区教师研修中心,x,10-x,y

14、,变换图形,如果两个等边三角形不在BD的同侧，还会有什么结论成立?,北京市东城区教师研修中心,（07锦州）（1）如图1，ABC和CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE，线段AF和BE有怎样的大小关系？请证明你的结论；,（2）将图1中的CEF绕点C旋转一定的角度,得到图2，（1）中的结论还成立吗？作出判断并说明理由； （3）若将图1中的ABC绕点C旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形（草图即可）（1）中的结论还成立吗？作出判断不必说明理由；根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现 .,（东城二模）图（1）是边长不等的两个等边三角形纸片ABC和CDE叠放在一起（C与

15、C重合）. （1）操作：固定ABC，将CDE绕点C顺时针旋转30得到CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图（2）； 探究：在图（2）中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论 （2）操作：将图（1）中的CDE固定，将ABC 移动，使顶点C落在CD的中点，边AC交ED于M，边BC交CE于N . 若CDE的边长为a，ACD= (3090)如图(3); 探究：在图（3）中线段CNDM的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请求出CNDM的值；如果有变化，请说明理由.,a,北京市东城区教师研修中心,()两点在一条直线异侧,已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点，使得PA+

16、PB最小。 根据：两点之间线段最短. 连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。,北京市东城区教师研修中心,P,已知：如图, 点A、B在直线L的同一侧，在L上求一点，使得PA+PB最小.,B,P,() 两点在一直线同侧,A,B,如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC 上，且DM=2，N是AC上一动点，则 DN+MN的最小值为 .,如图，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN 的中点，点P是直径MN上的一动点，O的半径为1，则AP+PB的最小值为,()一点在两相交直线内部,已知：如图A是锐角MON内部任意一点，在MON的两边OM、ON上各取一点B、C，组成三角形，使三角形周长最小.,北

17、京市东城区教师研修中心,B,C,D,E,M,O,N,A,（）两点在两相交直线内部,(P47-9) 如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.,北京市东城区教师研修中心,A,B,C,D,在直角坐标系中，有四个点A（-8，3）、B（-4，5）、C（0， n）、D(m，o),当四边形ABCD的周长最短时，求m/n的值。,北京市东城区教师研修中心,06年北京,24已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点. （1）求此抛物线的解析式； （2）若点D为线段

18、OA的一个三等分点，求直线DC的解析式； （3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长.,北京市东城区教师研修中心,北京市东城区教师研修中心,已知如图,线段AB,CD在直线L上,且CD=3，试确定C,D的位置，使四边形ABDC的周长最短.,A,B,B,B,C,D,L,()线段在一直线外,09衢州,24. 如图,已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax2上 (1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最

19、短，求出点Q的坐标；,Q,D,(2)平移抛物线，记平移后点A的对应点为A,点B的对应点为B,点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点 当抛物线向左平移到某个位置时, AC+CB 最短， 求此时抛物线的函数解析式；,当抛物线向左或向右平移时， 是否存在某个位置，使四边形 ABCD的周长最短？若存在， 求出此时抛物线的函数解析式； 若不存在，请说明理由,A,P,P,（08义乌）,16如图，直角梯形纸片ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4，点E、F分别在线段AB、AD上，将AEF沿EF翻折，点A的落点记为P （1）当AE=5，P落在线段CD上时，PD= ； （2）当P落在直角梯形

20、ABCD内部时，PD的最小值等于 ,8,4,4,5,？,5,H,2,（09陕西）,16如图，在锐角ABC中，AB=42，BAC=45, BAC的平分线交BC于点D,M、 N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_ ,N,N,M,4,N,“一题多变”的常用方法有：,1. 变换命题的条件与结论；2. 减弱条件，加强结论；3. 保留条件，深化结论；4. 探讨命题的推广；5. 考查命题的特例；6. 生根伸枝，图形变换；7. 接力赛，一变再变；8. 解法的多变等.,北京市东城区教师研修中心,在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的内容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质.如果能对一个普通的数学题进行一题多变，从变中总结解题方法，从变中发现解题规律，从变中发现“不变”，就能达到知一题，得一串，通一片的目的.,北京市东城区教师研修中心,谢谢！,北京市东城区教师研修中心,