《离散数学ch15》PPT课件

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1、1,第十五章 欧拉图与哈密顿图,主要内容 欧拉图 哈密顿图 带权图与货郎担问题,2,哥尼斯堡七桥,18世纪初普鲁士的哥尼斯堡，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如左图）。有个人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复、不遗漏地一次走完七座桥? 最后回到出发点后来,大数学家欧拉把它转化成一个几何问题（如右图）一笔画问题。他不仅解决了此问题，且给出了连通图可以一笔画的重要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2.,3,15.1 欧拉图,历史背景：哥尼斯堡七桥问题与欧拉图,4,欧拉图定义,定义15.1 (1) 欧拉通路经过图中每条边一次且仅一次行

2、遍所有顶点的通路. (2) 欧拉回路经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶点的回路. (3) 欧拉图具有欧拉回路的图. (4) 半欧拉图具有欧拉通路而无欧拉回路的图. 几点说明： 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是简单通路，欧拉回路是简单回路. 环不影响图的欧拉性.,5,上图中，(1) ,(4) 为欧拉图，(2),(5)为半欧拉图，(3),(6)既不是欧拉图，也不是半欧拉图. 在(3),(6)中各至少加几条边才能成为欧拉图？,欧拉图实例,8,欧拉图的判别法,定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇 度顶点. 证 必要性简单. 充分性（利用定理15.1） 设u,v为G 中的两个奇

3、度顶点，令 G =G(u,v) 则G 连通且无奇度顶点，由定理15.1知G 为欧拉图，因而 存在欧拉回路C，令 =C(u,v) 则 为 G 中欧拉通路.,实例,9,无欧拉通路,欧拉图,欧拉图,有欧拉通路 非欧拉图,有欧拉通路 非欧拉图,无欧拉通路,10,有向欧拉图的判别法,定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的且每个顶 点的入度都等于出度. 本定理的证明类似于定理15.1. 定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且 D中恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个 的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度. 本定理的证明类似于定理15.1. 定理15.5

4、 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干 个边不重的圈之并. 可用归纳法证定理15.5.,实例,11,欧拉图,无欧拉通路,无欧拉通路,有欧拉通路 无欧拉回路,无欧拉通路 不是联通图,有欧拉通路 无欧拉回路,12,例题,例1 设G是欧拉图，但G不是平凡图，也不是一个环，则 (G)2. 证 只需证明G中不可能有桥（如何证明？）,上图中，(1),(2)两图都是欧拉图，均从A点出发，如何一次成功地走出一条欧拉回路来？,(1) (2),13,Fleury算法,算法： (1) 任取v0V(G)，令P0=v0. (2) 设Pi = v0e1v1e2eivi 已经行遍，按下面方法从 E(G)e1,e2,

5、ei 中选取ei+1： (a) ei+1与vi 相关联； (b) 除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为 Gi = Ge1,e2,ei 中的桥. (3) 当 (2)不能再进行时，算法停止. 可以证明算法停止时所得简单通路 Pm = v0e1v1e2emvm (vm=v0)为G 中一条欧拉回路. 用Fleury算法走出上一页图(1),(2)从A出发（其实从任何一点 出发都可以）的欧拉回路各一条.,周游世界问题(W.Hamilton, 1859年),14,“1859年，英国数学家兼物理学家哈密顿提出以下周游世界问题：用一个正十二面体的二十个顶点表示二十个城市，怎样才能从一个城市出发，沿着棱经过

6、每个城市恰好一次，最后返回到出发点？,15,15.2 哈密顿图,历史背景：哈密顿周游世界问题与哈密顿图,(1) (2),16,哈密顿图与半哈密顿图,定义15.2 (1) 哈密顿通路经过图中所有顶点一次仅一次的通路. (2) 哈密顿回路经过图中所有顶点一次仅一次的回路. (3) 哈密顿图具有哈密顿回路的图. (4) 半哈密顿图具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图. 几点说明： 平凡图是哈密顿图. 哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路. 环与平行边不影响哈密顿性. 哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上,17,实例,在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)

7、既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？,应用,例 有7个人, A会讲英语, B会讲英语和汉语, C会讲英语、 意大利语和俄语, D会讲日语和汉语, E会讲德语和意大利 语, F会讲法语、日语和俄语, G会讲法语和德语. 问能否将 他们沿圆桌安排就坐成一圈, 使得每个人都能与两旁的人 交谈? 解,18,作无向图, 每人是一个顶点, 2人之间有边他们有共同的语言.,ACEGFDBA是一条哈密顿回路, 按此顺序就坐即可.,英,英,汉,日,意,德,法,俄,汉,19,无向哈密顿图的一个必要条件,定理15.6 设无向图G=是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|,证 设C为G中

8、一条哈密顿回路 (1) p(CV1) |V1| (2) p(GV1) p(CV1) |V1| （因为CG）,推论 设无向图G=是半哈密顿图，对于任意的V1V且V1均有 p(GV1) |V1|+1,证 令 uv为G中哈密顿通路，令G = G(u,v)，则G为哈密顿图. 于是 p(GV1) = p(GV1(u,v) |V1|+1,20,几点说明,定理15.6中的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件（彼得松图） 由定理15.6立刻可知，Kr,s当sr+1时不是哈密顿图. 易知Kr,r（r2）时都是哈密顿图，Kr,r+1都是半哈密顿图. 常利用定理15.6判断某些图不是哈密顿图. 例2 设G为n阶

9、无向连通简单图，若G中有割点或桥，则G不 是哈密顿图. 证 设v为割点，则 p(Gv) 2|v|=1. K2有桥，它显然不是哈密顿图. 除K2外，其他有桥的图（连通的）均有割点. 其实，本例对非简单连通图也对.,21,无向哈密顿图的一个充分条件,定理15.7 设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi,vj，均有 d(vi)+d(vj) n1 () 则G 中存在哈密顿通路. 证明线索： (1) 由()证G连通 (2) = v1v2vl 为G中极大路径. 若l = n, 证毕. (3) 否则，证G 中存在过上所有顶点的圈C，由(1) 知C外顶 点存在与C上某顶点相邻顶点，从而得比更长的路径

10、，重 复(2) (3) ，最后得G中哈密顿通路.,22,证明,证（着重关键步骤） (1) 由()及简单图的性质，用反证法证明G连通. (2) = v1v2vl 为极大路径，l n, 若l = n（结束）. 下面讨论ln的情况，即要证G中存在过上所有顶点的圈. 若(v1,vl)在G中，则(u,v)为G中圈, 否则，设v1与上 相邻，则k2 (否则由极大路径端点性质及()，会得到d(v1)+d(vl)1+l2n1)， 又vl 至少与 左边相邻顶点之一相邻(写出理由)，设 与vl相邻，见图中(1) ，于是得G中回路C (1)中图去掉边( ) ),23,证明,图(1),图(2),(3) 由连通性，可得

11、比 更长的路径（如图(2) 所示）， 对它再扩大路径，重复(2) ，最后得哈密顿通路.,24,推论,推论 设G为n (n3) 阶无向简单图，若对于G中任意两个 不相邻的顶点vi,vj，均有 d(vi)+d(vj) n （） 则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图. 证明线索：由定理15.7得 = v1v2vn 为G中哈密顿通路. 若(v1,vn)E(G)，得证. 否则利用（）证明存在过v1, v2, , vn的圈(哈密顿回路).,定理15.8 设u,v为n阶无向简单图G中两个不相邻的顶点，且d(u)+d(v)n，则G为哈密顿图当且仅当G(u,v)为哈密顿图.,25,几点说明,定理15.7是半哈

12、密顿图的充分条件，但不是必要条件. 长度 为n1（n4）的路径构成的图不满足（）条件，但它显 然是半哈密顿图.,定理15.7的推论同样不是哈密顿图的必要条件，G为长为n的 圈，不满足（）条件，但它当然是哈密顿图. 由定理15.7的推论可知，Kn（n3）均为哈密顿图.,26,n（n2）阶竞赛图中存在哈密顿通路 定理15.9 若D为n（n2）阶竞赛图，则D中具有哈密顿通路 证明思路：注意，竞赛图的基图是无向完全图. 对n（n2） 做归纳. 只需观察下面两个图.,无向哈密顿图的充分条件,27,判断某图是否为哈密顿图方法,判断某图是否为哈密顿图至今还是一个难题. 总结判断某图是哈密顿图或不是哈密顿图的

13、某些可行的方法. 1. 观察出哈密顿回路. 例3 下图(周游世界问题) 是哈密顿图 易知 a b c d e f g h i j k l m n p q r s t a 为图中的一条哈密顿回路. 注意，此图不满足定理15.7 推论条件.,28,2满足定理15.7推论的条件（）. 例4 完全图Kn (n3) 中任何两个顶点u,v，均有 d(u)+d(v) = 2(n1) n（n3）， 所以Kn为哈密顿图. 3破坏定理15.6的条件的图不是哈密顿图. 例5 在四分之一国际象棋盘（44方格组成）上跳马无解. 在国际象棋盘上跳马有解.,判断某图是否为哈密顿图方法,29,令V1=a, b, c, d,

14、则 p(GV1) = 6 4，由定理15.6可知图中无哈密顿回路. 在国际象棋盘上跳马有解，试试看.,30,设GG，称 为G的权，并记作W(G)，即,定义15.3 给定图G = ，(G为无向图或有向图)，设 W:ER (R为实数集)，对G中任意边e = (vi,vj) (G为有向图 时，e = )，设W(e) = wij，称实数wij 为边e上的权，并将 wij标注在边e上，称G为带权图，此时常将带权图G记作 .,15.3 最短路问题与货郎担问题,31,货郎担问题,设G=为一个n阶完全带权图Kn，各边的权非负，且 有的边的权可能为. 求G中的一条最短的哈密顿回路，这就 是货郎担问题的数学模型.

15、 完全带权图Kn（n3）中不同的哈密顿回路数 (1) Kn中有(n1)! 条不同的哈密顿回路（定义意义下） (2) 完全带权图中有(n1)! 条不同的哈密顿回路 (3) 用穷举法解货郎担问题算法的复杂度为(n1)！，当n较大时，计算量惊人地大,32,解 C1= a b c d a, W(C1)=10 C2= a b d c a, W(C2)=11 C3= a c b d a, W(C3)=9 可见C3 (见图中(2) 是最短的，其权为9.,例6 求图中(1) 所示带权图K4中最短哈密顿回路.,(1) (2),33,第十五章 习题课,主要内容 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图及其判别法 哈密

16、顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图 带权图、货郎担问题 基本要求 深刻理解欧拉图、半欧拉图的定义及判别定理 深刻理解哈密顿图、半哈密顿图的定义. 会用哈密顿图的必要条件判断某些图不是哈密顿图. 会用充分条件判断某些图是哈密顿图. 要特别注意的是，不能将必要条件当作充分条件，也不要将充分条件当必要条件.,34,1. 设G为n（n2）阶无向欧拉图，证明G中无桥(见例1思考题),方法二：反证法. 利用欧拉图无奇度顶点及握手定理的推论. 否则，设e=(u,v)为G中桥，则Ge产生两个连通分支G1, G2，不妨设u在G1中，v在G2中. 由于从G中删除e时，只改变u,v 的度数(各减1)，因而G1

17、与G2中均只含一个奇度顶点，这与握手定理推论矛盾.,练习1,方法一：直接证明法. 命题 (*)：设C为任意简单回路，e为C上任意一条边，则Ce连通. 证 设C为G中一条欧拉回路，任意的eE(C)，可知Ce是Ge的子图，由()知 Ce 连通，所以e不为桥.,35,2. 证明下图不是哈密顿图. (破坏必要条件),方法一. 利用定理15.6， 取 V1 = a, c, e, h, j, l，则 p(GV1) = 7 |V1| = 6,练习 2,方法二. G为二部图，互补顶点子集 V1 = a, c, e, h, j, l, V2 = b, d, f, g, i, k, m， |V1| = 6 7 =

18、 |V2|.,方法三. 利用可能出现在哈密顿回路上的边至少有n(n为阶数) 条这也是哈密顿图的一个必要条件，记为（）. 此图中，n = 13，m = 21. 由于h, l, j 均为4度顶点，a, c, e为3 度顶点，且它们关联边互不相同. 而在哈密顿回路上， 每个顶点准确地关联两条边，于是可能用的边至多有21(32+31) = 12. 这达不到（）的要求.,36,3某次国际会议8人参加，已知每人至少与其余7人中的4人有共同语言，问服务员能否将他们安排在同一张圆桌就座，使得每个人都与两边的人交谈？,解 图是描述事物之间关系的最好的手段之一. 做无向图G=, 其中 V=v| v为与会者， E=(u,v) | u,vV且u与v有共同语言，且u v. 易知G为简单图且vV, d(v)4，于是，u,vV, 有d(u)+d(v) 8，由定理15.7 的推论可知G为哈密顿图. 服务员在G中找一条哈密顿回路C，按C中相邻关系安排座位即可.,练习 3,由本题想到的：哈密顿回图的实质是能将图中所有的顶点排在同一个圈中.,37,4. 距离(公里) 如图所示. 他如何走行程最短？,练习 4,最短的路为ABCDA，距离为36公里，其余两条各为多少？,38,