一次函数的分段函数

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1、一次函数的分段函数作者：湖南省重点中学隆回一中 邹启文 邮编：422200E-mail：zouqiwen 电话：13187172668或0739-6933738按照新课程标准的要求，分段函数在教材中尽管未给出严格的概念，但这种题型已有初步渗透，湘教版八年级数学教材P46页A组第8题和B组第6题，及60页C组2题与3就是例子。于是各种教学参考与辅导资料便有炒作的势头，其题型五花八门，各具姿态，可谓百花齐放了。然而编者们还是心怕读者（学生）的认识水平与接受能力有限，所以在目前教材和资料中尚没对其做出具体的分析和说明，这样反而使学生在函数学习中弄得云里雾里，对函数概念的理解变得模糊起来，我们来讨论一

2、次函数中的分段函数问题，以供同学们参考。一、一次函数的分段函数定义例1：（湘教版八年级第46页习题中的A组第8题）某旅游景点的门票一张110元，如果一次买10张以上，则可以打8折，用X表示旅游团的人数，用y表示购买门票的费。（1） 用公式（函数解析式）法表示购买门票的费用y元与人数x之间的函数关系。（2） 画出这个函数的图像。（3） 求出旅游团人数为9人、30人时门票费为多少？分析：，本题必须从自变量X的两个取值范围来考虑函数变化情况，这两段中，一是0X9中的整数段，一是X10的整数段。解：y （1）由题意可得Y关于X的函数解析式为： Y= D（20，1760） 2000 1500 （2）对于

3、0X9 X是整数段，其函数表达式为110XB（9，990） 1000 取X=0时 Y=0 得点A（0，0）C（10，880） 500 当X=9时 Y=990 得点B（9，990）1020 在线段AB之间均匀地取10个点X 。9A（0，0） 便得函数在0X9 X是整数段的图像。 如图1 对于X10的整数段，其函数表达式为80%110X，取X=10时 Y=880 得点C（10，880），当X=20时 Y=1760 得点D（20，1760） 在线段CD之间均匀地取10个点，且在线段CD的延长线上均匀地取点，便得函数在 0X9 X是整数段的图像。如图一（3）当X=9时，Y=1109=990 当X=30

4、时 Y=80%11030=2640对于一次函数的初学者而言，要理解这一问题确是一个难点，因为他们只认为一次函数是一条直线，直线只能向他相反的两个方向无限延长。然而，在这一实际问题中，首先，一次函数（0X9 X是整数）段上的图像不是线段而是线段上的一些点，且不可以延长，其次，当X10时直线被折断，变为一条射线，其图像不但端点位置发生了变化，而且射线的倾斜程度也发生了改变，这一条射线上还是一些间隔均匀的点。因此，对于学生来说，从量的改变到形的变化，实在显得十分抽象，难于理解。定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3k1,k,2k3b1,b2,b3且a1a2a3函数Y与自变量X之间存在k1x+b1

5、xa1y = k2x+b2 a1xa2 的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。K3x+b3 a2xa3 应该指出:(一), 函数解析式这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1, k2x+b2 是函数Y的几种不同的表达式.。所以上例中Y= 这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和11080%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。(二),由于k1,k2,k3b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例函数和常数函数。(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能

6、在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。例2：某城市出租车收费标准如下，3千米以内（含3千米）收8元，超过3千米的部分每千米收费1.4元。求出应收车费Y（元）与出租车行驶路程X千米之间的函数关系式。解： X的变化范围可分两个阶段即0X3和X3,且在0X3内的函数值恒为8，而在X3范围内的函数值可由8+1.4（X-3）求出。 8 0X3于是所求的函数解析数式为:Y= 8+1.4(X-3) X3二、根据分段函数作图像 在作分段函数图像时,一般先求出每一段图像的端点坐标，然后在坐标系中描出点,分段连线即可,对于具有特殊意义的图

7、像,还需根据其意义的具体要求确定图像。例题1中的图像作法就是一个典型的例子。下面我们再看这一方法的步骤。 3X-5 0X3 Y例3：试作y= 4 3X5 的图像 14-2X X5 B（3,4）C（5,4）对于0X3段， 取X=0时Y= -5得到点A（0，-5） D(8,0) 3 5 8 X取X=3时Y=4得到点B（3，4）连结AB 对于3X5段，取X=5时Y=4得到点C（5，4）连结BC A(0,5)对于X5段， 图二取X=8时Y=0得到点D（8，0）连结并延长CD即得原分段函数图像。 要作有些函数的图像,必须先将原函数化简成分段函数后才能完成。我们以下面例题予以说明例4：作Y=|X-3|+|

8、X+1|+|X+3|的图像 解：（找0点） X-3=0 X+1=0 X+3=0 得 X=3 X=-1 X=-3 Y (分区域)如是在X轴上可以分四个区域它们分别是 (4,13) X-3 -3 X-1 -1X3 X3如图三 （-3，8） （3，10） （-1，6） 6-3 -1 图三 (化简函数)当-3 X-1时 Y=3-X-X-1+X+3=-X+5 -3 -1 0 3 4 X 当X-3 时Y=3-X-1-X-X-3=-3X-1 当-1X3时 Y=3-X+X+1+X+3=X+7 图四 当X3时 Y=X-3+X+1+X+3=3X+1(作图) -3X-1 X-3于是用端点法即得分段函数 -X+5 -

9、3X-1 的图像,如图四 X+7 -1X3 3X+1 X3三、根据题意判断分段函数的图像例5：(如图五)某产品的生产流水线每小时可以生产100件产品，生产前没有产品积压，生产3小时后，安排1人装箱,若每小时装产品150件，未装箱的产品数量（Y）是生产时间X的函数，那么，这个函数的大致图像只能是（ ）。 Y Y Y B Y A A A A B B B CO X O X O X O X（A） （B） （C） （D） 图五解：根据题意，当0X3时，函数表达式为100X，当X3对函数表达式为100X-150（X-3），化简后得到450-50X，于是可得分段函数为100X 0X3450-50X X3 显然AO段为正比例函数，且Y随X的增大而增大，OB段为一次函数，且Y随X的增大而减小，所以只有A是题目的答案。