四章连续系统域分析

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1、第四章第四章 连续系统频域分析连续系统频域分析引言引言10)cos()(nnntnAAtftjnnneF周期信号周期信号:非周期信号非周期信号:Ftf1)处理时间变量处理时间变量 t处理频率变量处理频率变量2)求解微分方程求解微分方程求解代数方程求解代数方程3)y(t)的时间函数的时间函数4)主要应用主要应用y(t)的频率结构的频率结构,系统功能系统功能分析系统的频率特性分析系统的频率特性4-1 周期信号通过线性系统周期信号通过线性系统对于周期信号对于周期信号f(t)=f(t+nT)，当其满足狄氏条件时，可展成：，当其满足狄氏条件时，可展成：10)cos()(nnntnAAtftjnnneF一

2、、基本信号一、基本信号：tjetf)(tjethty)()(tjejH)(H(j)为为h(t)的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。的傅立叶变换，也称为系统频率特性或系统函数。可见，可见，ej t通过线性系统后响应随时间变化服从通过线性系统后响应随时间变化服从ej t，H(j)相当加权函数。相当加权函数。)(tydehtj)()(dehejtj)(3正正弦弦量量。激激励励与与响响应应为为同同频频率率的的二、正二、正弦弦信号信号：tAtfcos)()(tytjtjejHe)(2costjtjeeAtA)()(2)(tjtjejHejHAty)(cos)(tjHA)()(2)()(tjjtj

3、jeejHeejHA)()(jHjH)()()(2)()()(tjtjeejHAty正正弦弦量量。激激励励与与响响应应为为同同频频率率的的三、任意周期信号：三、任意周期信号：二、正弦信号二、正弦信号：tAtfcos)()(tytje2costjtjeeAtA)()(2)(tjtjejHejHAty)(cos)(tjHA10)cos()(nnntnAAtf)(cos)(10nnnntnBBty)()()()(jHjHth)0(00HAB()nnBA H jntjejH)(5号号。激激励励与与响响应应均均为为周周期期信信三、任意周期信号：三、任意周期信号：)(tytjtjejHe)(tAcos)(

4、cos)(tjHA10)cos()(nnntnAAtf)(cos)(10nnnntnBBty)()()()(jHjHth)0(00HAB 其中：其中：)(jnHABnn1)cos(nnntnA)(cos1nnnntnB10)cos()(nnntnAAtf对于周期信号对于周期信号)()(jHth)()(jFtf)(*)()(thtfty)()()(jHjFjYntjnneFnTtftf)()()(2)(nFjFnn)()(2)(nFjnHjYnn周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号周期信号作用于线性系统，其响应也为周期信号;周期激励信号的频谱为冲激序列周期激励信号的频谱为冲激序列，其响应信

5、号的，其响应信号的频谱也为冲激序列。频谱也为冲激序列。7(a)(b)【解】【解】jjH11)(njntenntu)2sin(1)(n为奇数为奇数)tttttu7cos725cos523cos32cos2)(即即：)69.785cos(08.0)56.713cos(21.0)45cos(2)(ttttijjH11)(4521311)3(jjH56.71101511)5(jjH69.78261)(cos)(10nnnntnBBty10)cos()(nnntnAAtf)0(00HAB 其中：其中：)(jnHABnn8jjH11)(njntenntu)2sin(1)(n为奇数为奇数)()()(jUjH

6、jInnnnjU)(2)2sin(1)(nnjnn)(211)2sin(1nnjnnn)(211)2sin(1(n为奇数为奇数)9频率特性频率特性(a)(b)【解】【解】22)5(4)(nnjF2252)(nntjetftttf10cos45cos42)(即即：tjtjeety552)(1)0(jH21)5(jH)()()(jHjFjY2(5)4()2(5)0)10(jHtty5cos22)(t 5cos22方法方法1：方法方法2：一、系统函数一、系统函数4-2 非周期信号通过线性系统非周期信号通过线性系统系统函数定义系统函数定义：)(tf)(tydtethjHtj)()()1)()()(jF

7、jYjH（1）h(t)的傅立叶变换；的傅立叶变换；（2）描述系统频率特性。）描述系统频率特性。)(*)()(thtfty)()(jFtf)()(jHth)()()(jHjFjY系统函数计算：系统函数计算：)()()()2jFjYjHjppHjH)()()3激激励励相相量量响响应应相相量量)()4jH11)()()(tytytyfx)(*)()(thtftyfdejYtytjf)(21)(练习：练习：求系统函数求系统函数H(j)。)()()(jHjFjY二、系统响应：二、系统响应：yx(t)系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值；系统零输入响应，取决于系统自然频率和初始值；yf(t)系统零状

8、态响应，取决于系统函数和激励。系统零状态响应，取决于系统函数和激励。)()(2tUetht21)(jjH)()1()(2tUetht211)()(jjjH三、系统频率特性：三、系统频率特性：)()()(jejHjH)()()(jFjYjH:)()()(jFjYjH:)(系统幅频特性：响应与激励信号幅度比系统幅频特性：响应与激励信号幅度比系统相频特性：响应与激励信号相位差系统相频特性：响应与激励信号相位差12)()()(22tUetUtut解：解：)()()(2jHjUjU例例1：求图示电路的单位阶跃响应。求图示电路的单位阶跃响应。jjUtU1)()()(a)(b)(a)22)(jjH211)(

9、jj(b)2)(jjjH)()()(2jHjUjU21j21)(jjj)()(22tUetuth(t)=(e-2t-e-3t)U(t),f(t)=e-tU(t),求系统零状态响应求系统零状态响应 y(t)。解：解：jjjH3121)(jjF11)()()()(jFjHjYjjj32/12112/1)()2121()(32tUeeetyttt).(),(10)(titUetuts求求jjH22/1)(jjUs110)(解：解：jjjI2515)()()55()(2tUeetitt14例例4：图示系统，激励图示系统，激励f(t)和系统的频率特性如图所示，求零状态响应和系统的频率特性如图所示，求零状

10、态响应 y(t)。)()()(jHjFjY解：解：tjnnneFtf)(22T21oFnjFn2)(2)(nFjFnn)2()(2)2(jj)3(31)2(21)()()(jjjjFtjtjejejty22221)(tt2sin1115图示系统，图示系统，求零状态响应求零状态响应 y(t)。已知：。已知：解：解：)()()(jXjHjYttS1000cos)()(41jHx(t),22sin)(tttf)1000()1000(4144GGtttty1000cossin21)()1000()1000()(jS)2()(SatG)(2)2(GtSa)()()(tstftx)(*)(21)(jSjF

11、jX21)1000()1000(*)(422G)(21)(44GjF，则令)1000()1000()(412G1）时域：）时域：4-3 信号通过线性系统不失真条件信号通过线性系统不失真条件)(tf)(ty)(*)()(thtfty)()(0ttAfty不失真)()(0ttAth2）频域：）频域：0)(tjAejH0)(tjAejF0)(t)()()(jHjFjY一、信号失真一、信号失真线性失真：幅度失真、相位失真线性失真：幅度失真、相位失真非线性失真：非线性失真：产生新的频率成分产生新的频率成分AjH)(全通幅频特性全通幅频特性线性相移特性线性相移特性二、无失真传输条件二、无失真传输条件17例

12、例1：图示电路，图示电路，f(t)=GT(t-T/2)，求响应，求响应y(t)。RCjjH11)(2)2()(TjeTTSajF解：解：)()()(jHjFjYRCjeTTSaTj11)2)(2)()()(TtUtUtf)()1()()1()(TtUetUetyRCTtRCt 图示系统，若要求不失真传输，求图图示系统，若要求不失真传输，求图(1)中中R1和和R2；例例2:解解:)(jFj1j)(jYjRjY1)(jRjY1)(2)(jF)(1)1()(21221221RRjRRjRRjH01)(RjH无失真无失真 RRR21RRj)1()1(arctan)(22212arctanR012)(R

13、jH;0)(j;0)(j1RcctjekjH00 0t C 为截止频率，称为理想低通滤波器通频带。为截止频率，称为理想低通滤波器通频带。在在0 C 的低频段内，传输信号无失真。（有时延）的低频段内，传输信号无失真。（有时延）4-4 理想低通滤波器理想低通滤波器cckjH0dejHthtj)(21)(k20dejHthtj)(21)(ccdeetjtj 0121 0021110ttjttjCCeejtt 00sinttttccc 0ttSacc )t(t 0ttSathcc 或或octjeGjH)(2)()()(2时移性octjocceGttSa)()2()(已知SatG)()(2)(2)t2(

14、对称性GGSa)2()(2)t(2C2CCC令GSa1 1、h(t)h(t)与与(t)(t)比较，严重失真；比较，严重失真；2 2、h(t)h(t)为抽样函数，峰值为为抽样函数，峰值为3 3、滤波器限制输入信号高频成分；、滤波器限制输入信号高频成分；4、t0时，时，h(t)0 非因果系统非因果系统理想低通滤波器是物理不可实现理想低通滤波器是物理不可实现k kc c5、物理可实现的滤波器，其幅频特为物理可实现的滤波器，其幅频特为djH21)(lnPaley-Wiener 准则准则 （佩利（佩利-维钠准则）维钠准则）22 jj1F0)(1)(2tjeGjcCCdeejjYFtgtjtj01)(21

15、)()(1dejoccttj)(12121 0121ttSitgC jjjHFYoctjeGjH)(2dttttcoo0)()(sin121dtttxSix0sin)(02ttSikktgC0)(ttSakthccdtSaktgtcc0)(dxxSakttc)()(0dxxSakkttc)(2)(00)(0txcdxdc1)(0tttc记作记作:Si(t)tdx0ixsinx=(t)S2上升时间：输出由最小值到最上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，记作大值所经历的时间，记作 BtCr12 ccfB23阶跃响应上升时间与系统带宽阶跃响应上升时间与系统带宽成反比。成反比。单位阶跃响应讨论：

16、单位阶跃响应讨论：)()()(tUtUtf)()(1)(00ttSittSityCC Crt21时，才有如图示，时，才有如图示，近似矩形脉冲的响应。近似矩形脉冲的响应。如果如果 过窄过窄或或C 过小，则响应波形上升与下过小，则响应波形上升与下降时间连在一起完全失去了激励降时间连在一起完全失去了激励信号的脉冲形象。信号的脉冲形象。264-5 抽样定理抽样定理一、抽样一、抽样(采样、采样、sample)：利用抽样序列利用抽样序列s(t)从连续信号从连续信号f(t)中中“抽取抽取”一系列离散样本值的过程。一系列离散样本值的过程。信号数字处理原理：信号数字处理原理：周期周期序列序列需解决的问题需解决的

17、问题：)()()(tstftfs)(*)(21)(jSjFjFs27jSjFjFs*21)()(1nsSnjFT)()(ssnjS)()(jFtf )()()()()(ssTsnTtnTfttftf f(t)：有限带宽信号有限带宽信号)()()(sTnTttts28 1)当当 s 2 m时，时，Fs(j )是是F(j )在在不同不同 s倍数上的重复与再现，幅值为原值倍数上的重复与再现，幅值为原值的的1/Ts。2)当当 s m时时,F(j )=0 2)抽样间隔抽样间隔msfT21 msff2 或或:抽样频率抽样频率ms2msff2minms2min奈奎斯特抽样间隔奈奎斯特抽样间隔msfT21ma

18、x 奈奎斯特抽样频率奈奎斯特抽样频率五、时域抽样定理五、时域抽样定理mscm1、实现连续信号离散化，、实现连续信号离散化，为信号的数字处理奠定基础；为信号的数字处理奠定基础；2、实现信号的时分复用，、实现信号的时分复用，为多路信号传输提供理论基为多路信号传输提供理论基础。础。在同一时间里传送不同信号，在同一时间里传送不同信号，PCM电话中采用时分复用方式。电话中采用时分复用方式。六、抽样定理意义六、抽样定理意义33例：例：图图(a)示系统，其示系统，其H1(j )和和f1(t)如图如图(b)、(c)所示。所示。解：解：)()()11tSatfmm)()(21mGjFmsfT21)2mmsT)(

19、)()3ssTnt jSjFjFs*21)(jHjFjF11)()(1nsSnjFT4）欲使）欲使y(t)=f(t)，H2(j )应有右图频率特性。应有右图频率特性。1)求求F1(j )的频谱图；的频谱图；2）求）求 T(t)中抽样间隔中抽样间隔Ts最大值；最大值；3）求求 s=2 m时时Fs(j )的频谱图；的频谱图；4）欲使）欲使y(t)=f(t)，求，求H2(j )的频率特性的频率特性。一个持续时间有限信号一个持续时间有限信号f(t)的频谱的频谱F(j )，可用均匀抽样，可用均匀抽样间隔间隔fs 1/2tm的抽样值的抽样值F(jn s)唯一确定。唯一确定。这样可得到这样可得到f(t)在时

20、域中重复形成周期信号在时域中重复形成周期信号fs(t)，不会产，不会产生混叠。生混叠。若从若从fs(t)恢复恢复f(t),可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出可用一个矩形脉冲作为选通信号，选出单个脉冲就可无失真地恢复原信号。单个脉冲就可无失真地恢复原信号。说明：说明：1)f(t)为为持续时间有限信号持续时间有限信号，即：，即：|t|tm时时,f(t)=0 2)抽样间隔抽样间隔mstf21七、频域抽样定理七、频域抽样定理mst4-6 调制与解调调制与解调一、调制一、调制:使一个信号的某些参数按使一个信号的某些参数按另一个信号的变化规律而变化的措施。另一个信号的变化规律而变化的措施。)(tftts0

21、cos)()(ty幅度调制系统幅度调制系统载波信号载波信号载波频率载波频率)()()(2100jF)()(21)(jSjFjYttftStfty0cos)()()()()()(2100jFjF)(二、解调：二、解调：将已调制的信号恢复成原信号的过程。将已调制的信号恢复成原信号的过程。tts0cos)()(jH)(ty)(tg)(txttftg02cos)()(ttftf02cos)(21)(21)(21)(jFjG2141)2()2(4100jFjFccjH02)()2(0mcm)()(tftx三、调幅信号作用于线性系统三、调幅信号作用于线性系统例：例：图图示系统中示系统中:)(jH)(ty)

22、(tf)100(11)(jjHtttf100cos)cos1()(,求求?)(ty解解:ttttf99cos21101cos21100cos)()4599cos(42)45101cos(42100cos)(tttty)(jH)(45-4501991011002/22/2tt100cos)45cos(221 本章要点：本章要点：1、信号通过系统的响应求解；信号通过系统的响应求解；2、频域系统函数频域系统函数H(j):定义、物理意义、求解方法、定义、物理意义、求解方法、系统频率特性系统频率特性；3、理想低通滤波器理想低通滤波器及其传输特性；及其传输特性；4、信号传输不失真条件：信号传输不失真条件：

23、时域条件、频域条件时域条件、频域条件。5、抽样信号与抽样定理抽样信号与抽样定理。6、调制与解调。调制与解调。时域与频域分析对比时域与频域分析对比1、对应关系、对应关系 时域时域 频域频域 分析变量分析变量 时间变量时间变量 频率变量频率变量 基本信号基本信号 (t)e j t 系统特性系统特性 h(t)H(j)激励分解激励分解dtftf)()()(dejFtftj)(21)(响应求解响应求解)(*)()(thtfty)()()(jHjFjYdthf)()(dejYtytj)(21)(2、特点：、特点：时域突出信号与系统的时间特性：直观简便，物理意时域突出信号与系统的时间特性：直观简便，物理意

24、义明确，便于实时处理义明确，便于实时处理；频域突出信号与系统的频率特性。频域突出信号与系统的频率特性。练习：练习：图图(a)(a)所示系统中，已知所示系统中，已知 1、画出画出f(t)f(t)、f f1 1(t)(t)、f f2 2(t)(t)、f f3 3(t)(t)的频谱函数图；的频谱函数图；2、若使若使f f1 1(t)(t)和和f f2 2(t)(t)的的 频谱不混叠，频谱不混叠，2、0应满足什么条件？应满足什么条件？3、若使若使f f5 5(t)=kf(t)(t)=kf(t)(k是常数是常数)，3 和和k应为多大？应为多大？),200(200)(2tStfaH1(j)、H2(j)图图 (b)(b)、(c)(c)所示，且已知所示，且已知 2 0，并可，并可无失真地恢复出无失真地恢复出f(t)f(t)。