八年级数学上册 14.2 乘法公式课件 （新版）新人教版

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1、14.2乘法公式,第十四章整式的乘法与因式分解,八年级数学上 新课标 人,考查角度1应用平方差公式进行简便计算,例1,应用乘法公式进行简便运算,解析(1)30.8=30+0.8,29.2=30-0.8.(2)103=100+3, 97=100-3.所以(1)(2)经过变形后可用平方差公式计算.,计算. (1)30.829.2;(2)10397.,解:(1)30.829.2=(30+0.8)(30-0.8) =302-0.82=900-0.64=899.36.,(2)10397=(100+3)(100-3) =1002-32=10000-9=9991.,1.计算. (1)59.860.2; (2

2、)9982-1002998.,解:(1)原式=(60-0.2)(60+0.2) =602-0.22=3600-0.04=3599.96.,解:(2)原式=9982-(1000+2)(1000-2) =9982-(10002-22)=9982-10002+4 =(998+1000)(998-1000)+4 =1998(-2)+4=-3996+4=-3992.,计算. (1)5022; (2)992; (4)1000.12.,考查角度2应用完全平方公式进行简便计算,解析先将题目变形,使之能运用完全平方公式求解.,解:(1)5022=(500+2)2 =5002+25002+22 =250000+2

3、000+4 =252004.,【解题归纳】运用平方差、完全平方公式可使一些计算简便,对于一些形式上不符合公式的,可进行适当的转化,使之符合公式的形式.,例2,(2)992=(100-1)2 =1002-21001+12 =10000-200+1 =9801.,(4)1000.12=(1000+0.1)2 =1000000+200+0.01 =1000200.01.,2.计算. (1)99.82; (2)1032;,解:(1)99.82=(100-0.2)2 =1002-21000.2+0.22 =10000-40+0.04 =9960.04.,(2)1032=(100+3)2 =1002+21

4、003+32 =10000+600+9 =10609.,例3,乘法公式与不等式的综合应用,解析先利用平方差公式与单项式乘多项式法则去括号,再分别解两个不等式求解.,由得x2-9-x2+2x1,2x10,x5. 由得52-(2x)26.25. 不等式组的解集为x6.25.,利用乘法公式化简求值,例4,解析根据多项式乘法公式,对每一项先进行化简,再合并同类项,最后再代入求代数式的值.,【解题归纳】本题主要用到两个乘法公式,分别为平方差公式: (a+b)(a-b)=a2-b2;完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2.,已知a=-2014,b=2013,c=-2012,求a2+b2+c2+ab

5、+bc-ac的值,灵活运用乘法公式求代数式的值,例5,解析将a2+b2+c2+ab+bc-ac转化成关于a+b,b+c和a-c的代数式,然后依据a,b,c之间的关系求值.,【解题归纳】对于a2+2ab+b2类型的代数式,在应用时可以考虑逆用完全平方公式,以简化问题.,5.求代数式x2+y2+2x-6y+21的最小值,并求出此时的x,y的 值.,解:原式=(x2+2x+1)+(y2-6y+9)+11 =(x+1)2+(y-3)2+11. (x+1)20,(y-3)20, 当x=-1,y=3时原式有最小值,为11.,与乘法公式有关的几何拼图问题,利用右图可以证明等式a2+2ab+b2=(a+b)2

6、. (1)图中大正方形的面积可以表示为 ,又可以表示为 .从而证明a2+2ab+b2=(a+b)2.,例6,解析利用面积相等证明公式的等量关系,从而证明公式的几何属性.,a2+2ab+b2,(2)请画出一个图形来计算(a+b+c)2. (在图上标注必要的字母),(a+b)2,解:(2)如图所示. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.,6.如图(1)所示,从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形,再沿着线段AB剪开,把剪成的两张纸拼成如图(2)所示的等腰梯形. (1)设图(1)中阴影部分面积为S1,图(2)中阴影部分面积为S2,请直接用含a,b的代数式表示S1和

7、S2; (2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.,与乘法公式有关的阅读理解题,阅读下面的计算过程: (2+1)(22+1)(24+1)=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1) =(22-1)(22+1)(24+1)=(24-1)(24+1)=28-1. 根据上面的计算方法,请计算:,例7,解析,7.(2015娄底期末)先仔细阅读材料,再尝试解决问题. 完全平方公式x22xy+y2=(xy)2及(xy)2的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用,比如探求多项式2x2+12x-4的最大(小)值时,我们可以这样处理: 解:原式=2(x2+6x-2)=2(x2+6x+9-9-2)=2(x+3

8、)2-11=2(x+3)2-22. 因为无论x取什么数,都有(x+3)2的值为非负数,所以(x+3)2的最小值为0,此时x=-3,进而2(x+3)2-22的最小值是20-22=-22, 所以当x=-3时,原多项式的最小值是-22. 解决问题:请根据上面的解题思路,探求多项式3x2-6x+12的最小值是多少,并写出对应的x的取值.,解:原式=3(x2-2x+4)=3(x2-2x+1-1+4)=3(x-1)2+9, 无论x取什么数,都有(x-1)2的值为非负数, (x-1)2的最小值为0,此时x=1, 3(x-1)2+9的最小值为30+9=9, 则当x=1时,原多项式的最小值是9.,有关乘法公式的

9、规律探究题,观察下面各式的规律: 12+(12)2+22=(12+1)2;22+(23)2+32=(23+1)2; 32+(34)2+42=(34+1)2; 写出第n行的式子,并说明你的结论.,例8,解析本题考查观察归纳的能力.仔细观察各式的结构特征,不难发现式子的左侧是连续两整数及它们乘积的平方和,右侧是它们的乘积与1的和的平方.,解:第n个式子: n 2+n(n +1)2+(n +1)2=n(n +1)+12. 说明如下: n 2+n(n +1)2+(n +1)2= n 2+(n 2+ n)2+(n +1)2 =(n2+n)2+n2+n2+2n+1=(n2+n)2+2(n2+n)+1 =(

10、n2+n+1)2.而右边=(n2+n+1)2, 所以左边=右边,等式成立.,8.设a1=32-12,a2=52-32,an=(2n+1)2-(2n-1)2(n为正整数). (1)探究an是否为8的倍数,并用文字语言叙述你所获得的结论; (2)若一个数的算术平方根是一个自然数,则称这个数是“完全平方数”,试找出a1,a2,an这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数,并指出当n满足什么条件时,an为完全平方数.(不必说明理由),解:(1)an=(2n+1)2-(2n-1)2=4n2+4n+1-4n2+4n-1=8n. n为正整数,an是8的倍数. 这个结论用文字语言叙述为:两个连续正奇数的平方差是8的倍数.,(2)这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数为16,64, 144,256.当n为一个完全平方数的2倍时,an为完全平方数.,