全国版2017版高考数学一轮复习第六章不等式推理与证明6.6数学归纳法课件理

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1、第六节 数学归纳法,【知识梳理】 数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤 进行: (1)(归纳奠基)证明当n取_(n0N*)时命题 成立.,第一个值n0,(2)(归纳递推)假设当n=k(kn0,kN*)时命题成立, 证明当_时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对_ _都成立,上述证明方法叫做数学归纳法.,n=k+1,从n0开始的所,有正整数n,【特别提醒】 1.数学归纳法证题时,误把第一个值n0认为是1,如证明多边形内角和定理(n-2)时,初始值n0=3.,2.数学归纳法证题的关键是第二步,证题时应注意: (1)必须利用归纳假设作基础. (2)证明中可利用

2、综合法、分析法、反证法等方法. (3)解题时要搞清从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了哪些项.,【小题快练】 链接教材练一练 1.(选修2-2P99习题B组T1改编)在应用数学归纳法证 明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验n等 于() A.1B.2C.3D.4,【解析】选C.三角形是边数最少的凸多边形,故第一步应检验n=3.,2.(选修2-2P96习题2.3A组T1(3)改编)用数学归纳法证明“1+2+22+2n-1=2n-1(nN*)”的过程中,第二步n=k时等式成立,则当n=k+1时,应得到() A.1+2+22+2k-2+2k-1=2k+1-1 B.1+2+22+2k+

3、2k+1=2k-1+2k+1 C.1+2+22+2k-1+2k+1=2k+1-1 D.1+2+22+2k-1+2k=2k+1-1,【解析】选D.由条件知,左边从20,21到2n-1都是连续的,因此当n=k+1时,左边应为1+2+22+2k-1+2k,而右边应为2k+1-1.,感悟专题试一试 3.(2016延安模拟)利用数学归纳法证明不等式 f(n)(n2,nN*)的过程,由n=k到n=k+1时,左边增加了() A.1项B.k项C.2k-1项D.2k项,【解析】选D. 共增加了2k项.,4.(2016武汉模拟)用数学归纳法证明不等式 (nN*且n1)时,第一步: 不等式的左边是_.,【解析】用数

4、学归纳法证明不等式 (nN*且n1)时, 第一步:不等式的左边是 答案:,考向一利用数学归纳法证明等式 【典例1】(2016宜春模拟)求证 (nN*). 【解题导引】根据数学归纳法证明等式的步骤进行证明.,【规范解答】(1)当n=1时,左边= 右边= 左边=右边.,(2)假设n=k时等式成立， 即 则当n=k+1时，,即当n=k+1时，等式也成立. 综合(1)(2)可知，对一切nN*，等式成立.,【规律方法】数学归纳法证明等式的思路和注意点 (1)思路:用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.,(2)注意点:由n=k时等式成立,推出

5、n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程. 易错提醒:数学归纳法强调步骤“程式化”,要充分利用归纳假设,否则就不是数学归纳法.,【变式训练】设f(n)= (nN*). 求证:f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)-1(n2,nN*). 【证明】(1)当n=2时,左边=f(1)=1, 右边= 左边=右边,等式成立.,(2)假设n=k(k2,kN*)时,结论成立, 即f(1)+f(2)+f(k-1)=kf(k)-1, 那么,当n=k+1时, f(1)+f(2)+f(k-1)+f(k) =kf(k)-1+f(k)=

6、(k+1)f(k)-k =(k+1)f(k+1)-(k+1)=(k+1)f(k+1)-1,所以当n=k+1时结论仍然成立. 综合(1)(2)可知,对一切n2,nN*,等式成立.,【加固训练】 1.用数学归纳法证明:对任意的nN*, 【证明】(1)当n=1时,左边= 右边= 左边=右边,等式成立.,(2)假设当n=k(kN*且k1)时等式成立, 即有 则当n=k+1时,所以当n=k+1时,等式也成立, 由(1)(2)可知,对一切nN*等式都成立.,2.用数学归纳法证明1+a+a2+an-1= (a1,nN*). 【证明】(1)当n=1时,左边=1,右边= =1,等式成立.,(2)假设当n=k(k

7、N*)时,等式成立, 即1+a+a2+ak-1= 那么n=k+1时,左边=1+a+a2+ak-1+ak= +ak 所以等式也成立. 由(1)(2)可知,对任意nN*等式均成立.,考向二利用数学归纳法证明不等式 【典例2】已知数列an,an0,a1=0, an+12+an+1-1=an2.求证:当nN*时,anan+1. 【解题导引】按照数学归纳法的步骤进行证明.,【规范解答】(1)当n=1时,因为a2是方程a22+a2-1=0的 正根,所以a2= ,即a1a2成立.,(2)假设当n=k(kN*,k1)时,0ak0, 又ak+1ak0,所以ak+2+ak+1+10, 所以ak+1ak+2,即当n

8、=k+1时,anan+1也成立. 综上,可知anan+1对任何nN*都成立.,【母题变式】 1.在本例中把题设条件中的“an0”改为“当n2时,ana2成立.,(2)假设当n=k(kN*,k1)时,ak+10, 又ak+2+ak+1+1-1+(-1)+1=-1, 所以ak+2-ak+10,所以ak+2ak+1,即当n=k+1时,命题成立. 由(1)(2)可知,对任意nN*时,an+1an.,2.本例条件改为已知数列an中,a1=a(a2),对一切 nN*,an0,an+1= 试证明an2. 【证明】当n=1时,a1=a2,故命题an2成立; 假设n=k(k1且kN*)时命题成立,即ak2, 那

9、么, 所以ak+12,即n=k+1时命题也成立. 综上所述,命题an2对一切正整数都成立.,【规律方法】应用数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 (1)适用范围:当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. (2)关键:用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明.,【变式训练】(2014安徽高考改编)设整数p1. 证明:当x-1且x0时,(1+x)p1+px. 【证明】当p=2时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,原不等式成立.,假设当p=k(k2,k

10、N*)时,不等式(1+x)k1+kx成立. 则当p=k+1时,(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx) =1+(k+1)x+kx21+(k+1)x. 所以当p=k+1时,原不等式也成立. 综合可得,当x-1且x0时,对一切整数p1,不等式 (1+x)p1+px均成立.,【加固训练】 1.等比数列an的前n项和为Sn,已知对任意的nN*,点 (n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1,b,r均为常数)的图 象上. (1)求r的值. (2)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(nN*),证明:对任意的 nN*,不等式 成立.,【解析】(1)由题意,Sn=bn+r, 当

11、n2时,Sn-1=bn-1+r. 所以an=Sn-Sn-1=bn-1(b-1), 由于b0且b1, 所以n2时,an是以b为公比的等比数列, 又a1=b+r,a2=b(b-1),故 =b,即 解得r=-1.,(2)由(1)知an=2n-1,因此bn=2n(nN*),所证不等式为 当n=1时,左边= ,右边= ,左边右边,所以结论成 立.,假设n=k(k1,kN*)时结论成立,即 则当n=k+1时, 要证当n=k+1时结论成立, 只需证 即证,由均值不等式 成立, 故 成立, 所以,当n=k+1时,结论成立. 由可知nN*时,不等式 成立.,2.设nN*,n1,求证: 【证明】(用数学归纳法证明

12、) (1)当n=2时,不等式左边= =右边.,(2)假设n=k(k1,kN*)时,不等式成立, 即 那么当n=k+1时, 有 所以当n=k+1时,不等式也成立.,由(1)(2)可知对任何nN*,n1, 均成立.,3.若不等式 对一切正整数n都成立,求正整数a的最大值,并证明结论. 【解析】当n=1时, 即 所以a26. 而a是正整数,所以取a=25,下面用数学归纳法证明,(1)当n=1时,已证得不等式成立. (2)假设当n=k(kN*)时,不等式成立, 即 则当n=k+1时,有,因为 所以当n=k+1时不等式也成立.,由(1)(2)知,对一切正整数n, 都有 所以a的最大值等于25.,4.已知

13、f(n)= g(n)= nN*. (1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小. (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.,【解析】(1)当n=1时,f(1)=1,g(1)=1, 所以f(1)=g(1); 当n=2时,f(2)= ,g(2)= , 所以f(2)g(2); 当n=3时,f(3)= ,g(3)= , 所以f(3)g(3).,(2)由(1)猜想f(n)g(n),下面用数学归纳法给出证明. 当n=1,2,3时,不等式显然成立, 假设当n=k(k3)时不等式成立, 即 那么,当n=k+1时, f(k+1)=f(k)+,因为 所以f(k+1) =g(k+1). 由可

14、知,对一切nN*,都有f(n)g(n)成立.,考向三归纳、猜想、证明 【考情快递】,【考题例析】 命题方向1:与函数有关的证明题 【典例3】(2015景德镇模拟)已知函数f(x)= x3-x, 数列an满足条件:a11,an+1f(an+1),试比较 与1的大小,并说明理由.,【解题导引】首先求导,利用函数的单调性猜想an的取 值范围,然后用归纳法进行证明,进而求得 的取值 范围,最后问题得以解决.,【规范解答】因为f(x)=x2-1,且an+1f(an+1), 所以an+1(an+1)2-1, 因为函数g(x)=(x+1)2-1在1,+)上单调递增. 于是由a11,得a2(a1+1)2-12

15、2-1,进而a3(a2+1)2-124-123-1, 由此猜想:an2n-1.,下面用数学归纳法证明这个猜想: 当n=1时,a121-1=1,结论成立; 假设n=k(k1且kN*)时结论成立,即ak2k-1. 当n=k+1时,由g(x)=(x+1)2-1在区间1,+)上单调递增知ak+1(ak+1)2-122k-12k+1-1, 即n=k+1时,结论也成立.,由知,对任意nN*,都有an2n-1. 即1+an2n,所以 所以,命题方向2:与数列有关的证明题 【典例4】(2014广东高考)设数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且S3=15. (1)求a1,a2

16、,a3的值. (2)求数列an的通项公式.,【解题导引】(1)取n=1,n=2,结合S3=15列方程组求a1,a2,a3. (2)利用an=Sn-Sn-1(n2),先猜出an,再用数学归纳法给出证明.,【规范解答】(1)由已知得 解得a1=3,a2=5,a3=7.,(2)猜测an=2n+1. 由Sn=2nan+1-3n2-4n得 Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n2), 当n2时,an=Sn-Sn-1, 所以两式相减, 整理得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,又a2=5,a1=3,满足式子, 建立了an与an+1的递推关系(nN*); 因为当n=1时,a

17、1=3,假设ak=2k+1成立,那么n=k+1时, 综上对于nN*,有an=2n+1, 所以数列an的通项公式为an=2n+1.,【技法感悟】 1.“归纳猜想证明”的一般步骤 (1)计算(根据条件,计算若干项). (2)归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想,猜想出一般结论). (3)证明(用数学归纳法证明).,2.与“归纳猜想证明”相关的常用题型的处理策略 (1)与函数有关的证明题:由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想,充分利用函数的有关性质及数学归纳法证明.,(2)与数列有关的证明题:利用已知条件,当直接证明遇阻时,可考虑应用数学归纳法并结合数列的概念、判定及性质进行证明.,【题组通关】

18、1.(2016上饶模拟)已知等差数列an的公差d大于0, 且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两根,数列bn的前n项和 为Tn且Tn=1- bn. (1)求数列an,bn的通项公式. (2)设数列an的前n项和为Sn,试比较 与Sn+1的大小, 并说明理由.,【解析】(1)由已知得 又因为an的公差大于0, 所以a5a2,所以a2=3,a5=9, 所以d= =2,a1=1, 因为Tn=1- bn,b1= , 当n2时,Tn-1=1- bn-1,因为bn=Tn-Tn-1= 化简,得bn= bn-1, 所以bn是首项为 ,公比为 的等比数列, 即 所以an=2n-1,bn= .,(2)因为

19、所以Sn+1=(n+1)2,以下比较 与Sn+1的大小: 当n=1时, S2=4,所以 S5,猜想:n4时, Sn+1. 下面用数学归纳法证明: 当n=4时,已证. 假设当n=k(kN*,k4)时, Sk+1, 即 (k+1)2,那么,n=k+1时,=3k2+6k+3=(k2+4k+4)+2k2+2k-1(k+1)+12=S(k+1)+1. 综合,当n4时, Sn+1.,2.(2014重庆高考)设a1=1,an+1= +b(nN*). (1)若b=1,求a2,a3及数列an的通项公式. (2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2nca2n+1对所有 nN*成立?证明你的结论.,【解析】(1)

20、方法一:a2=2,a3= +1.再由题设条件知 (an+1-1)2=(an-1)2+1. 从而(an-1)2是首项为0,公差为1的等差数列. 故(an-1)2=n-1, 即an= +1(nN*).,方法二:a2=2,a3= +1. 可写为 因此猜想 下面用数学归纳法证明上式: 当n=1时结论显然成立.,假设n=k时结论成立,即ak= .则 这就是说,当n=k+1时结论成立. 所以an= +1(nN*).,(2)设f(x)= -1,则an+1=f(an). 令c=f(c). 即c= 解得c= . 下面用数学归纳法证明命题a2nca2n+11. 当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(2)= -1, 所以a2 a31,结论成立.,假设n=k时结论成立,即a2kf(a2k+1)f(1)=a2,即 1ca2k+2a2.,再由f(x)在(-,1上为减函数得c=f(c)f(a2k+2)f(a2) =a31. 故ca2k+31,因此a2(k+1)ca2(k+1)+11.这就是说, 当n=k+1时结论成立. 综上,符合条件的c存在,其中一个值为c= .,