第二章测量误差的规律性及其表述

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1、第二章 测量误差的规律性及其表述测量误差按其性质可分为随机误差(偶然误差)、系统误差和粗大误差。粗大误差是偶然出现的过大的误差，含有粗大误差的数据是不正常的，应该舍弃。正常的测量数据只含随机误差与系统误差。本章以概率论为基础，分别讨论随机误差和系统误差的特征规律及其表述方法。本章内容是数据处理和不确定度估计的基础。2.1 随机误差统计规律的表述随机误差(偶然误差)为随机变量。我们以概率论与数理统计的理论与方法为基础，研究它的统计规律性(即其分布特征)。随机误差统计规律的完整描述用分布函数或分布密度，而对其局部特征的表征，则采用相应的特征参数(数字特征)。 一、随机误差的分布函数和分布密度 测量

2、数据中总是包含一定的随机误差。因此，诸测量结果的数值大小各不相同，且不遵从确定的规律性。某个具体测量值的出现完全是随机的(或称为偶然的)，在没有完成测量之前，不能预先确定这一测量结果的数值。掌握了随机误差的上述特点后，就不难对它的存在作出判别。例如，打靶时弹着点偏离靶心的一段距离是射击误差(如图2-1)。十分明显，弹着点呈分散状态，各次射击误差的大小和方向各不相同，不具有确定的规律性。在未完成射击之前，任何人都无法预言其弹着点的准确位置，即射击误差表现出明显的随机性，这是射击中随机因素作用的结果。在用仪器对某量进行多次测量时，我们会发现测得的结果各不相同，它们分布在某一范围内。测量之前，我们无

3、法预先给出它的准确数值，因而测量数据具有随机性，这是测量过程中随机因素造成的。上述事实表明，随机误差不具有确定的规律性，即随机误差不能用确定的解析式或其他方法预计它的数值。但随机误差却遵从统计规律，这是不同于确定性规律的另一类规律。这一统计规律支配着所有的测量结果，但就单个测量结果而言，还难以看出它遵从的统计规律。只有给出多次测量结果，这一统计规律才能显示出来，并且测量结果越多，表现出的统计规律越明显，这种多次测量就是统计实验。例如(图2-1)打靶的例子中，进行一次射击时，不能从弹着点的位置看出射击误差的统计规律，但当进行多次射击后，可由弹着点的分散状况判断出射击误差的分布规律，而且射击次数越

4、多这一规律表现得越明显。 随机变量的统计规律已在概率论中作了详细论述。作为随机变量，随机误差的统计规律可由分布函数F()或分布密度f()给出完整的表述。按分布函数定义，随机变量x的分布函数为式中，是作为随机变量的随机误差取值小于的概率。若随机误差取值在数轴上，表示随机误差落在点左面的概率（如图22）。当点右移(即增大)时这一概率增大；当点移向无穷远处时这一概率为1，即反之，当点向左移（即减小）时，这一概率减小；当点左移至无穷远处时，这一概率为0，即可见，分布函数是非负函数（即其取值为正数或零），也是非降函数（随的增大分布函数不会减小）。利用分布函数可以给出随机误差落入任意区间上的概率，这对随机

5、误差分布的理论分析与实际计算十分有用。例21 求误差取值在下列区间的概率（1）（2）解：（1）（2）按分布密度的定义，随机误差的分布密度是分布函数F()的导数(设F()连续) (22)而分布函数为分布密度的积分 (23) 由于分布函数F()是非降函数，因此分布密度函数是非负的，即 因为，所以分布密度从到的积分等于1，即 (2-4)这一积分是整个分布密度曲线下的面积，代表测量误差全部取值的概率。而在任意区间a，b内的概率则为(25)这一概率是区间a，b上分布密度曲线下的面积。 分布函数或分布密度给出了随机误差占取值的概率分布，这是对随机误差统计特征的完整描述，是十分有用的。 二、随机误差的表征参

6、数 在一般的测量数据处理中，并不需要给出随机误差详细的概率分布，无须给出随机误差的分布密度或分布函数。通常只须给出一个或几个特征参数即可对随机误差的影响作出评定。 根据概率论，作为随机变量，随机误差的数字特征给出了它的基本特征。在一般的数据处理中，随机误差的数字特征主要使用数学期望和方差 (或用标准差)。 实际应用中还常使用其他一些参数。 1数学期望 按数学期望的定义，随机误差的数学期望为(26)式中，为的分布密度函数。 数学期望是误差的分布中心，它反映了的平均特征，或者说数学期望是所有可能取值的平均值(当然这只是一种抽象，实际上不可能找出的所有可能的取值)。 数学期望有如下重要性质： (1)

7、常数C的数学期望为E (C)=C； (2)随机误差乘以常数C，则有 (3)随机误差之和的数学期望为 (4)相互独立的随机误差与之积的数学期望为 2方差和标准差 按定义，随机误差的方差为(27)通常，随机误差的数学期望0，因而有(2-8)实用上更常使用标准差(或均方差)。按照定义，标准差应为方差的正平方根，即 (2-9) 应注意，标准差没有负值。 显然，标准差与方差具有相同的作用，其意义是十分明显的。方差或标准差可作为测量精度的评定参数。 由于的量纲与被测量的量纲相同，因此标准差是更常使用的参数。 3.协方差(相关矩)和相关系数 随机误差x与y的协方差定义为 (2-10) 随机误差x与y的相关系

8、数则为(211) 协方差或相关系数反映误差之间的线性相关关系，这一相关关系影响到误差间的抵偿性，这一情形将在第五章详细说明。 4实用中的其他一些参数 作为数据精度的评定参数，实用中更广泛地使用极限误差(或误差限)，即扩展不确定度(见第五章)(2-12) 式中，k为置信系数。k值相应于一定的置信概率P。置信概率P为误差落入区间(-ks，+ks)的概率，若超出该区间的概率为，则有P=l-。 此外，平均误差与或然误差在实践上也有应用。 平均误差为测量误差绝对值的平均值，其期望值为(2-13)实践上取(214) 或然误差规定为满足下式的值(215)2.2 正态分布随机误差的统计规律及其表述通常随机误差

9、服从或近似服从正态分布，因此，正态分布规律构成了误差理论的基本内容之一。这里，对正态分布误差的讨论仍需使用分布密度(或分布函数)与数字特征，并有更具体的结果。 一、正态分布的统计直方图和经验分布曲线 对某一量X进行多次重复测量(每次测量用的仪器、方法、测量者、测量环境等所有的测量条件都不改变)，由于随机误差因素的作用，各次测量结果都不相同，这些结果按一定的规律分布。为给出这一分布规律，现作出其统计直方图。在直角坐标中，由横坐标给出测量结果，将测量结果的取值范围等分为适当数量(m)的区间，每一区间间隔为x。设测量次数为n计数测量结果落入每一区间的数目。以x为底，以为高在坐标图中第i区间作矩形，所

10、得矩形的面积即为测量结果在该区间上的频率(即相应概率的近似)。依此类推在各区间上作出这样的矩形，所有矩形的总合就称为统计直方图，如图23所示。显而易见，直方图的面积总和应为1。图23连接各矩形上边中点而得一曲线，这是通过统计实验得到的分布密度曲线，这一曲线称为经验分布曲线。经验分布曲线给出了测量结果的概率分布，其相应的纵坐标为概率密度。其某区段的面积即代表了相应的概率。增加测量次数n可使各组频率趋于稳定，而增加区间数目、减小区间间隔，则可使直方图变得精细，相应的经验曲线则变得圆滑。即测量次数n越多，分组间距x越小，所得经验分布曲线就越可靠。 将坐标原点位置移至X处(即相当于进行了坐标变换，横坐

11、标由x转换为)，则相应横坐标应为，经验分布曲线则为的分布曲线，这就是随机误差的正态经验分布曲线(图2-4)。分析考查这一分布曲线可知，这一误差分布有如下特点：(1)对称性：分布曲线关于纵坐标对称，表明该随机误差正值与负值出现的机会均等，这就是误差分布的对称性。(2)单峰性：分布曲线中间高、两端渐低而接近于横轴，表明误差以较大的可能性分布于0附近，即绝对值小的误差出现的可能性大，而绝对值大的误差出现的可能性小。(3)有界性：测量的实际误差总是有一界限而不会无限大，因而经验分布曲线总有一实际范围，这就是误差的有界性。由误差的对称性和有界性可知，这类误差在叠加时有正负抵消的作用。这就是随机误差的抵偿

12、性，这一性质是极为重要的。利用这一性质建立的数据处理法则可有效地减小随机误差的影响。 一般地说，不论随机误差服从何种分布，只要其数学期望 则该随机误差就有这一抵偿性。由于随机误差有抵偿性，因而当时，有即当测量次数足够大时，该随机误差的算术平均值趋于零(注意并不趋于0)。 二、正态分布随机误差的分布函数和分布密度 由测量误差的上述三个特性，利用最大似然原理可推得这一误差的分布密度为(216)式中e自然对数的底，e2.7183；圆周率， 3.14159；误差占的均方差或称标准差，对同一分布的随机误差，为一常数。 误差的分布密度函数的曲线如图25所示。图中横坐标为值，纵坐标为相应的分布密度(即概率密

13、度)的数值。这一曲线与前述的经验分布曲线是一致的。这是一条指数曲线，曲线两端向无穷远处延伸，并逼近横坐标轴。这是与经验分布曲线不同的。按定义，误差的分布函数为 (217) F()曲线如图26所示。 具有上述分布特征的随机误差为服从正态分布的误差。 由概率论的理论可知，正态分布的随机变量的和仍为正态分布的随机变量。因此，若存在有限个正态分布的随机误差，其相应的标准差分别为，则它们的和也为随机误差，且仍服从正态分布。和的数学期望为和的方差为(当相互独立时)但在和式中若有部分误差不服从正态分布，则这一误差和就不服从正态分布。这是应当特别注意的。不过当和式中的误差项数量增加，而又“均匀地”小，由概率论

14、的中心极限定理可知，的分布将趋近于正态分布。 因此，若有n项随机误差 (它们总有有限的数学期望和方差)，则无论这些随机误差服从何种分布，当n很大时，其和为随机误差，并近似服从正态分布。实践上，当各随机误差较为“均匀”，即它们的方差相差不太大时，n大致在10左右，这些误差的和乱就能较好地接近正态分布。 三、正态分布随机误差概率的计算 由分布密度的定义可知，正态分布随机误差取值在ab区间内的概率应为相应区间上密度函数的积分(2-18)这一概率等于相应区段密度曲线下的面积，如图27所示实践上，给定区间的概率计算是常会遇到的，但上面的积分的直接计算是困难的。实用中都是利用数表给出上面的积分，为此须将上

15、面的积分进行变换。作变量则有引入函数则（219）函数称为概率积分(或称拉普拉斯函数)，其值可按t值查概率积分表获得(见附录一)。 由，查概率积分表可得及值，按式(219)立即可求得概率值。而误差取值在a，b之外的概率则为 实践上常遇到对称区间上的概率计算，由式(219)，对称区间-,上的概率为(220) 而分布概率的总和应为1，即密度曲线下的全部面积为1，有 利用概率积分表计算误差的分布概率，解决了上述积分运算的困难，给出了简便实用的概率计算手段。 例2-2 分别求出正态分布随机误差出现于、2、3范围内的概率、和(图28)。 解 将误差限，2，3分别代人式(2-20)，得由分别查概率积分表得P

16、1=2(1)=20.34130.6826P2=2(2)=20.477250.9545P3=2(3)=20.498650.9973例2-3 某一正态分布的随机误差的标准差为0.002mm，求误差值落在0.005mm以外的概率。解 误差落入-0.005，0.005范围内的概率为而落在0.005mm以外的概率则为=1-P=1-0.9876=0.0124 例2.4 某一随机误差服从正态分布，其标准差为0.06N，给定的概率为0.9，试确定的值。 解 由式(220)可得 由概率积分表可查得所以N=0.10N 四、正态分布随机误差的表征参数 对于正态分布的随机误差，其数学期望为0，即(221) 这表明正态

17、分布随机误差的均值为0(测量次数足够多时)，这正是前面所述随机误差抵偿性的反映。由分布曲线(图25)的对称性也可推得上述结论。 由于正态分布随机误差的数学期望为0，因而对任一正态分布随机误差的数学期望无须再作说明。正态分布随机误差的方差为作变量代换代入上式，则有经部分积分得括号内的第一部分为0，第二部分是欧拉波阿松积分，等于。故(2-22)可见，正态分布随机误差的方差等于其分布密度函数中的参数的平方。 由正态分布的分布密度函数式(216)可知，只要确定了值，则分布密度函数即已确定，可见参数的重要性。显然，参数即为标准差。 以后无论服从何种分布，其方差都用符号表示。 由图2-9可见，标准差大，相

18、应的分布曲线低而宽，表明误差取值分散程度大，对测量结果的影响就大。标准差小，则情形正相反。由例2-2结果可知，正态分布的随机误差取值超出3，的概率仅为0.27%，因而一般将3视为这一误差的实际界限。即认为实际的误差不会超出其极限误差3，实践上，t也可取其他值，如取t2，相应的置信概率P=95.45%。般t应取约定值，否则应作出说明。平均误差期望值为 （223）图 29或然误差的期望为（224）在分布曲线图2-10上，为曲线的拐点，为曲线半边面积之重心横坐标，则为将曲线半边面积等分为左右两半的坐标线相应的横坐标。 五、误差分布的正态性检验 测量误差(或测量数据)的分析、检验、不确定度的估计与合成

19、等都与误差的分布形式密切相关。在实际问题中，正态分布的形式是十分广泛的，许多分析方法与分析结果都是在正态分布的前提下建立与获得的，测量误差(或测量数据)是否服从正态分布是研究这类问题的前提。分布正态性的检验是测量数据处理中可能遇到的基本问题之一。分布正态性的检验方法有二类：类是通用的检验方法，适用于检验各种分布，如检验法等。另一类检验方法是专门用于检验正态分布的方法，这类方法利用了正态分布的特点，因而更为有效。如正态概率纸检验法；偏态、峰态检验法；W检验法等。其中正态概率低检验法简便实用，是实践中经常使用的方法，下面简略地介绍这一方法。正态概率纸是一种具有特殊分度的专用坐标纸，其坐标构造按标准

20、正态分布设计，但适用于任何正态分布的检验(因一般正态变量与标准正态图211变量具有简单的线性关系)。正态概率纸的横坐标表示被检验的数据值x，分度是均匀的；纵坐标为相应的概率值，分度是不均匀的，但相应的横坐标是等距变化的，见图211。因此，正态分布的数据的坐标点在正态概率纸上成一直线分布，据此可检验某组数据是否服从正态分布。 检验方法如下： (1)将待检验的n个数据按大小重新排列，得顺序数列； (2)计算相应的概率，可按下式计算(225)式中 n给出数据的数目； i数据按大小排列的序号，i 1，2，n。 (3)以为坐标，将各点逐一描于正态概率纸上； (4)按所得各坐标点进行判别，若各点分布于一直

21、线附近，则表明该组数据服从正态分布，否则认为数据分布偏离正态； (5)若该组数据经检验服从正态分布，则可由所得坐标图上的直线查得均值及子样标准差s：P=0.5相应的x值即为均值的估计值，而P=0.159相应的x值为 则标准差的估计值为(226) 例2-5 现有一组测量数据共20个，按其大小顺序排列为：8.412，8.423，8.424，8.429，8.430，8.437，8.438，8.441，8.442，8.444，8.445，8.448，8.452，8.453，8.454，8.458，8.463，8.466，8.467，8.477，试用正态概率纸检验这组数据分布的正态性。 解 按式(225

22、)计算各测量值相应的概率，对第一个数据，相应的概率对第二个数据，相应的概率对第20个数据，相应的概率将所得数据列入表21中。表218.4128.4238.4248.4298.4308.4378.4388.4418.4428.4444.769.5214.2919.0523.8128.5733.3338.1042.8647.628.4458.4488.4528.4538.4548.4588.4638.4668.4678.47752.3857.4161.9066.6771.4376.1980.9585.7190.4895.42以成组数据为坐标在正态概率纸上标出坐标点，如图212所示。由图可见，各坐标

23、点分布近似于一直线，故可认为所检验的这组数据服从正态分布。 由该直线纵坐标P=50对应的横坐标值查得该组数据的均值为=8.445。该直线纵坐标P=15.9对应的横坐标为，故该组数据的标准差2.3 测量中非正态分布的随机误差大多数的测量误差因素具有正态分布的特征，但在测量实践中确实存在非正态分布的随机误差因素。测量结果的非正态分布的误差因素所占比重虽然不大，但仍是常会遇到的，因而也应引起注意。下面列举几种非正态分布的随机误差。 一、均匀分布的随机误差 均匀分布的随机误差是一种重要的非正态分布的误差。这类误差均匀地分布在某一区域内，即在该区域内概率密度处处相等，在该区域外概率密度为0。其分布曲线为

24、一相应于该区域的平行于横坐标轴的直线段，如图2-13所示。设有均匀分布的随机误差，其分布区域为aa (a为正数)，则的分布密度应为 (227)其分布函数为 (228)均匀分布的随机误差的数学期望为 (229)即均值为0。因此，均匀分布的随机误差也具有前述的正态分布随机误差的抵偿性。 均匀分布的随机误差的方差为（230）标准差为(231)由测量仪器传动件的间隙、摩擦力等造成一定的灵敏阈，由此引入的测量误差服从均匀分布；数字显示仪器的量化误差使显示结果产生末位一个数字的误差，这一误差服从均匀分布；正态分布的误差在经较大截尾后也可近似看作均匀分布的误差。二、反正弦分布的随机误差反正弦分布的随机误差也

25、是常会遇见的。若随机变量服从均匀分布则随机变量服从反正弦分布（232）为导出分布密度公式（232），先求分布函数如图214所示，概率故有（233）图 214而分布密度则为反正弦分布误差的数学期望为（234）而方差为（235）标准差则为（236）式中a为误差的最大值。现以偏心误差为例说明这一分布。设有一圆分度盘（图215），其几何中心与其旋转中心有一偏心量e，则由度盘刻度指示角度时误差为由于各刻度用于指示读数的机会相同，因此的取值服从均匀分布可见，偏心引起的变盘示值误差服从反正弦分布。其分布密度为标准差为三、其他非正态分布的随机误差除上述二种非正态分布的随机误差以外，测量实践中还可能遇到其他的非

26、正态分布的随机误差。例如截尾正态分布，如图216所示。正态分布的随机误差被限定在某有限区域(，)内，即服从截尾正态分布。如加工出某种零件，其尺寸(或尺寸误差)服从正态分布，按给定的公差要求验收这批工件，将超差()的工件报废。验收合格的这些工件尺寸(或尺寸误差)就服从截尾正态分布。设其正态母体分布密度为则截尾正态分布的分布密度为（237）这一分布的方差显然已不是，而应，为 （238）又如，二个均匀分布误差的和服从三角形分布，如图217所示。此外还可见到歪曲了的正态分布等，图218(a)称偏态的，用偏态系数表征其偏离正态的程度。图218(b)、(c)的情形用峰态系数表征其偏离正态的程度。2.4 系

27、统误差的特征及其表述通常，测量结果中除随机误差外，还包含一定的系统误差，有时甚至系统误差占据主要地位，因此应对系统误差给以足够的重视。对系统误差的研究有待进一步发展和完善，这已引起人们的普遍重视。本节只讨论有关系统误差的一般特征，测量中具体的系统误差则应结合测量的实际问题来研究。一、系统误差的特征系统误差具有确定的规律性，这是与随机误差的根本区别。这一确定的规律性给我们研究系统误差带来某种便利。不过，系统误差虽然具有确定的规律性，却因测量内容的不同而千差万别，特别是有些系统误差的具体规律是并未掌握的。因而不能像随机误差那样给出一个规则化的处理方法。这又给掌握和处理系统误差带来了困难。1系统误差

28、遵从确定的规律性在逐次测量的一系列测量结果中，系统误差表现出具有确定的规律性，在相同的条件下，这一规律可重复地表现出来。在只含系统误差的多次重复的测量数据中，没有随机数据那样的离散特点，这就使系统误差不具有随机误差那样的抵偿性。这是系统误差与随机误差的本质差别。 应特别指出，所说系统误差的规律性是有确定的前提条件的，研究系统误差的规律性应首先注意到这一前提条件。 例如，用带有圆分度盘的仪器进行测量，当分度盘中心相对指针转动中心有偏心e时，各条刻线相对指针转动中心来说，所指示的读数值就有系统误差。当有如图219所示的关系时，这一误差与角有如下关系 这一关系式表明，按顺时针或逆时针顺次考察各刻度位

29、置时(逐次增大，或逐次减小)，示值误差随按正弦规律变化。这一变化规律在重复的顺次考察时可重复地表现出来，并且在任固定位置上有确定的误差值。 这里所说的偏心误差按正弦规律变化是有确定的前提条件的。这一条件就是“按顺时针或逆时针顺次考察”，否则测量误差将不具有这一正弦规律性：例如，当重复使用同一刻度(或固定的二条刻线间距)进行测量时，由度盘偏心带入测量结果的测量误差是固定不变的系统误差。而当随机地逐次取用任一刻度进行测量时，度盘偏心引入测量结果的误差则不具有确定的规律性。 可见，在讨论误差的规律性时，前提条件具有关键性的意义。系统误差所表现出的规律性，是在确定的测量条件下，系统误差因素所具有的确定

30、规律性的反映。因此，掌握误差因素对认识误差规律性来说至关重要。 掌握了系统误差的规律性，就可以为控制和消除系统误差提供依据。例如，在上述度盘偏心误差的例子中，根据误差与转角的正弦关系可采取相隔180二次重复测量取平均值的方法消除这一误差。当各刻度位置经检定确定了其误差值，则可利用修正的方法减小其影响。 2系统误差规律的多样性和复杂性 系统误差虽然具有确定的规律性，但具体的测量问题千差万别，使这一规律表现出多样性和复杂性，因此对系统误差的研究有更困难的一面。 在系列测量数据中，按其表现的规律特征，系统误差分为恒定的系统误差和按某种规律变化的系统误差。 (1)恒定的系统误差 多次测量时，条件完全不

31、变，或条件改变并不影响测量结果，因而各次测量的结果中该项误差恒定不变。 例如，量块、线纹尺、砝码、温度计等标准器具给出量值的误差在测量过程中恒定不变，带入测量结果的是一恒定的系统误差。又如测量仪器调整偏差、恒定的测力变形、恒定的温度偏差等都会使测量结果引入恒定不变的系统误差。 恒定系统误差在各测量结果中保持常值，因而恒定系统误差不会使诸测量结果间出现差异。它的存在不能由诸测量的结果本身作出判断，也不能借助算术平均值原理等方法减小其影响。 例如，使用电子秤对某一质量进行五次测量，得102.5g、102.3g、102.6g、102.5g、102.4g，则算术平均值为102.46g。若电子秤有+2g

32、的系统误差，则最后结果应为100.46g。但仅由测得结果不能判断这一误差的存在，在取上述结果的算术平均值时，这一误差没有相互抵消的作用，因而不能减弱其影响，这是与随机误差不同的。 多次重复测量数据中的系统误差常表现为这种恒定的形式，因而恒定系统误差是最常见的一种系统误差。 (2)按线性规律变化的系统误差 这类系统误差在多次测量中，其值随条件的改变按线性关系变化。例如，线纹刻尺安装歪斜时，各刻度的累积误差成线性关系变化(图220)。电学测量仪放大比的调整误差，光学仪器放大率误差，温度偏差等也会引起与被测量成线性关系变化的测量误差。有时，机构紧固装置的松动等也可能引起误差的逐次累积，形似线性误差。

33、此时应注意作出判断，及时清除。这类系统误差可通过测量数据的逐次变化现出来。(3)周期变化的系统误差周期性系统误差在逐次测量中随条件的改变作周期性变化。最常见的是按正弦关系变化的周期误差。例如，带有刻度盘的仪器中，刻度盘安装偏心引起的示值误差；齿轮周节累积误差，基节偏差带给仪器的传动误差；电源滤波不好，造成仪器示值随电压周波变化的误差等等，都属周期性误差。周期误差在一个周期内正负变化一次，其幅值是该项误差的最大值。周期误差易于在系列测量结果中显现出来，采用定的方法(如半周期法)可减小或消除这一误差。有时这一周期误差是由若干不同周期的误差综合而成的，可通过谐波分析法将各种成分分解出来。(4)按复杂

34、规律变化的系统误差在若干系统误差因素的作用下，逐次测量结果的误差作复杂的有一定变化趋势的改变。这一变化难以用某一简单的规律描述。3对系统误差规律的认识系统误差的规律性不仅多种多样，而且在很多场合下其具体数值和取值的规律性并未被掌握，这就使系统误差的处理更为困难和复杂。按照对其掌握的程度，系统误差分为确定的系统误差和不确定的系统误差。(1)确定的系统误差确定的系统误差是指其取值的变化规律及其具体数值都是已知的误差。可通过修正的方法消除这类系统误差的影响。因而最后给出结果中应不再包含这类误差。一般来说，能确知误差的具体数值的情形并不很多。(2)不确定的系统误差不确定的(未知的、未定的)系统误差是指

35、具体数值(甚至其规律性)并未确切掌握的系统误差。这类误差广泛地存在于测量的各个环节中，是测量所含误差的基本成分之一。二、不确定的系统误差的特征和评定方法不确定的系统误差在某一确定的条件下考察时具有确定的规律性，表现出系统误差的特征，在多次重复测量的数据间这类误差(同一项误差)不具有随机误差那样的抵偿性，这是它与随机误差之间的根本差别。不过虽然这类系统误差也具有确定的规律性，但并不确知，因此无法通过修正法消除，也无法以其具体数值来评定它对测量结果的影响，这又与确定的(已知的)系统误差不同。在将其置于某一总体中考察时，可把这一系统误差看作是总体的一次具体的抽样结果(即总体分布中的一个个体)，因而可

36、用该总体的分布特征(分布函数或分布参数)去描述这类系统误差。这样，不确定的系统误差又与随机误差有相通之处。其分布与误差因素的变化有关，也与测量条件的变化有关，由测量的具体问题所决定。描述其分布的基本参数之一是方差(或标准差)。同样，方差(或标准差)也反映了这类误差可能取值的分散程度，是对测量结果可靠性的表征。与随机误差的情形一样，也引入不确定度这概念来表述这类误差的分布特征。这一不确定度可用方差或标准差表述，也可用标准差乘以某一系数来表述(即扩展不确定度)。多个这样的误差共同作用时，相互间表现出具有一定的抵偿性，这也与随机误差的情形一致。现以长度计量的基准器具量块为例为说明不确定的系统误差的特

37、征及其评定方法。在长度计量中，基准器具量块是以其中心长度传递尺寸的，即量块的中心长度是测量中的标准尺寸。测量过程中，量块的尺寸误差将直接传递到测量结果中。量块在加工完成以后就获得了一个确定的尺寸 (图221)。此时，中心长度的实际值l与其公称值(名义值)L0有一差值，这就是量块中心长度误差(或称偏差)。对于具体的某一量块，这一误差已确定不变了。显然，在使用这一量块进行测量时，由此引入的误差是一个恒定不变的系统误差。在多次重复测量结果中，这一误差没有抵偿性。但在未经检定的情况下使用该量块时，这一误差值是未知的，属于不确定的系统误差，它不能通过修正的方法消除而存留于测量结果中。因此需要对它作出估计

38、。量块尺寸误差由诸加工误差因素造成。若量块加工误差服从正态分布，其加工标准差为，则加工出的一批量块尺寸误差将会呈现正态分布的状况，而一具体的量块尺寸误差只不过是这一正态分布误差中的一个具体取值，其值在3范围之内。使用时，我们认为这些量块都有同等的机会被使用，使用哪一块或哪几块具有随机性。在这个意义上，量块尺寸带给测量方法的误差具有随机性。可以认为这误差与加工误差具有同一分布，并与加工误差具有相同的标准差(方差)和极限误差。为减小量块加工误差的影响，量块经计量部门检定，给出量块尺寸L，它与公称尺寸L0之差为，这就是确定的系统误差，可通过修正法将其从测量结果中消除。但由于检定方法有一定误差，经检定

39、给出的量块尺寸L并不绝对准确（）。即经过修正后的量块中心长度仍有误差。这一误差是由检定过程中诸误差因素造成的，这就是检定误差，它与加工误差具有同样的特征。通常，可认为检定方法的误差服从正态分布，设其标准差为，该检定方法随机地给所检量块一个误差具体值。因此对于某量块，一旦检定完成而给出修正值，则检定方法带来的误差占便已确定。以后无论怎样使用这一量块，只要在测量结果中加入了该修正值，就会引入这一误差，其值固定不变，为一恒定的系统误差。在多次重复测量中，相互间不具有抵偿性。因而在取算术平均值时不能减小其影响。但量块检定误差占的具体数值并不确知，它是经修正后残留在测量结果中的误差。既不能修正，也无法用

40、具体数值作出评定，因此又不同于已知的系统误差。这一误差可看作是服从正态分布的检定误差的一个随机取值。对于不同的量块，这种随机出现的检定误差就会表现出正态分布的状况(这一状况在大量的量块中表现尤为明显)。使用修正值时，某一量块的检定误差就将按这一正态分布出现，并且具有与检定方法误差相同的标准差和相同的误差限3。由此可见，量块的加工误差和检定误差都是不确定的系统误差，测量过程使用的是同一块量块，表现为恒定不变的系统误差。但考察它对测量结果的影响时，应按其分布规律作出评定。这是未知的系统误差较为普遍的一种情形，一般来说，量具、仪器、设备等在加工、装配、调整、检定等环节中，随机因素使其获得一实际的恒定

41、误差而具有确定性，这是前次实验的随机因素对本次实验的影响，它通过量具、仪器等以固定的形式表现出来。但在随机地考察这些器具时，其误差值又表现出随机性，并具有与前次实验随机因素相同的分布和相同的标准差。因此多次重复测量结果中同一项这类误差间没有抵偿性。但不同的这类误差相叠加时却表现出如随机误差那样的抵偿性，这是不确定的系统误差二重性的具体表现。仍以量块中心长度误差为例。如图222所示，为获得某一尺寸l，使用三块量块构成的量块组。设各量块的中心长度的公称尺寸分别为。，实际尺寸分别其相应的中心长度误差分别为，则三块量块研合在一起的组合尺寸为 组合尺寸的误差应为 当按级使用时(即不加修正值，直接按公称尺

42、寸使用)，误差直接反映到测量结果中。 而为服从某分布的具体值(即属于某总体的个体)，随意地考察它们(在任意的三盒量块中取出三块量块，或在一盒量块中任取三块不同尺寸的量块进行研合)，在其分布范围内随机地取值，其大小，正负是随机的，求和时就具有正负相互抵消的作用，这种作用与随机误差的抵偿作用是相同的。同样，测量的若干项不确定的系统误差，例如仪表的示值误差，标准器具的检定误差温度偏差等，在作用于测量结果进行叠加时，相互间也表现出这样的抵偿性。2.5 系统误差的检验方法与随机误差相比，系统误差的存在不易直接由测量数据作出判断。因而研究检验系统误差存在与否的方法具有重要意义。一、通过实验对比检验系统误差

43、通过实验对系统误差的存在在作出检验，这是十分有效的方法。为了验证某一测量仪器或某一测量方法(或所得的测量结果)是否存在系统误差，应用高一级精度的仪器或测量方法(其测量误差相对来说很小)给出标准量进行对比检验。这一方法在计量工作中称为“检定”。例如用一等标准器检定二等标准器，用二等标准器检定三等标准器等等，通过检定不仅能发现测量中是否存在系统误差，而且能准确地确定其具体数值，为消除这一误差创造了条件。因此，这是很实用的方法，获得了广泛的应用。有时，因测量精度高或被测参数复杂，难以找到高级精度的测量仪器或测量方法提供的标准量(相对真值)。此时，可用同等精度的其他仪器或测量方法给出的测量结果作对比，

44、若发现两者之间有明显的差别，则表明二者问有系统偏差，应怀疑测量结果含有系统误差，这就是对比实验。当已知误差因素与测量误差之间的关系时，可通过测量实验得出原始误差，再按它与测量误差间的函数关系求得相应的测量误差。或反之，将测量误差进行分解(如利用谐波分析法)，以确定误差分量。例如，已知温度偏离标准温度t时对测量结果的影响为则可通过测量得到t，再根据上面的关系式计算出相应的测量误差l，由此判断测量的该项系统误差的大小。二、通过理论分析判断系统误差对测量器具、测量原理、方法及数据处理等方面的具体分析，能找出测量中的各系统误差因素。这对测量精度的分析是十分有用的(有关精度分析的例子请参阅第三、四、五、

45、六各章)。有时可根据测量的具体内容找出系统误差所遵从的函数关系，由此计算出测量的系统误差的具体数值，可利用修正法消除这一误差。通过理论分析来发现系统误差的方法简便可靠，是测量实践中普遍使用的方法，分析的方法与实验的方法相互补充，构成了精度分析的基本内容。 例2.6 某电路输出电压表达式为已知电阻的温度系数为若温度变化t，分析引起的输出电压的变化。 解 当温度变化变化t, 为则输出电压为而输出电压的误差为例2.7 图223所示为按正弦原理测量小角度的原理示意图。设正弦臂长l，当测得位移s后，被测角即可按下式求得即为简化测量工作，当被测角很小时，可采用下面的线性关系代替这一非线性关系显然，这一替代

46、会带来角度的测量误差，其值为该误差为系统误差，它随被测角的增大而增大，并可由误差式计算出各测量位置上的误差值，必要时可通过修正消除其影响。 三、对测量数据的直接判断 通过观察系列测量结果的数值变化趋势，可发现随测量次序变化的系统误差。例如，系列测量结果随测量次序成线性关系变化(图224)，表明含有线性误差；测量结果随测量次序呈周期性变化(图225)。表明含有周期性误差。 在对比两组测量结果(或两台仪器的示值)时，可直接地看出它们的差异，从而判断出二者间的系统偏差。 这一方法较为粗略，但却简单易行，在现场测量中，对分析判断系统误差因素十分有效。图 224图 225四、用统计方法进行检验 按随机误

47、差的统计规律作出某种统计法则，看测量数据系列是否与之相符，若不相符合则说明该测量数列包含系统误差。这类方法很多，适应性各有差异。由于较少涉及测量本身具体内容，仅针对测量数据即可作出判断，因而便于掌握和使用。 不过这类方法有很大的局限性： (1)这类方法只能用于检验在系列测量数据中变化的系统误差或检验两组数列的系统差异，对于同一测量系列中的恒定系统误差，所有这些方法都是无效的； (2)给出的判断不是十分可靠的，在不同的情况下，对不同类型的系统误差判别的效果不同，用不同的这类方法判断同一组数据所得结果可能是不同的； (3)必须给出系列测量数据才能作出判断，对单个数据不能作出判断，数据的数目较少时判

48、断可靠性差； (4)与前面二类方法相比，这类方法只能对系统误差的存在与否作出判断，不能给出系统误差的具体数值。 在上述意义上，各种统计检验方法都远不是完美的，其应用是有限的，特别是在计量行业中应用较少。因而本书对这类方法只就其中的部分内容作概要的介绍，详尽的内容请参阅有关文献。 (1)残差校核法 对等精度系列测量数据按式（见式44)求残差。 将残差分为前后数目相等的二部分：和分别求和并作比较，若(239)显著不为零，则应怀疑测量系列中存在系统误差。这一方法适于判别线性变化的系统误差。 (2)阿贝赫梅特判别法 对等精度的系列测量数据，求得相应残差，作统计量若(240)则判定该组数据含有系统误差。

49、这一判别方法能有效地反映周期性系统误差。 s为子样标准差，用贝塞尔公式计算(见52节式59) (3)残差总和判别法 对于等精度系列测量数据，设相应的残差分别为，若有(241)则怀疑测量数据有系统误差。式中，n为测量数据的数目。 (4)标准差比较法 对等精度的一组测量结果，求得各自的残差，用不同的公式计算其标准差，通过比较可发现存在的系统误差。用贝塞尔公式计算 用别捷尔斯公式计算若（242）则怀疑测量中存在系统误差。（5）数据比较法设对某一量A独立测得两组数据计算其平均值计算其标准差若（243）2.6 各类误差间的关系 如上所述，测量误差按其特征规律分为系统误差、随机误差和粗大误差。为减小误差的

50、影响所采取的种种措施，为获得尽可能精确的结果所使用的种种数据处理方法以及误差计算与评定方法等多与误差的性质有关。因此，测量的实践要求对不同性质的测量误差作出确切的区分。但对测量误差的区分并不是绝对的，它们之间没有绝对的分界线，随着考察条件的变化，误差的性质也会发生变化。 例如，正态分布的随机误差是由许多微小的未加控制的因素综合作用的结果，若能对其某项因素加以控制，则可使其消减或转化为系统误差。而系统误差也可在定条件下使其随机化。以前面述及的度盘偏心误差为例，在固定地使用度盘的同一刻度进行测量时，带人测量结果的误差是恒定不变的系统误差。若按顺时针或逆时针顺次考察各刻度时，其示值误差是按正弦规律变

51、化的系统误差。但在逐次测量时，随机地选择任刻度进行测量(每次测量都是随意地，不附带任何选择条件地取用任刻度位置进行测量)，则由此引入测量结果的误差应为随机误差。 又如，环境温度对测量结果的影响，条件不同产生的误差性质亦会有所不同，不能概归结为系统误差或是随机误差。当环境温度相对标准温度有一固定偏差，则引起的测量误差常是恒定的系统误差；当温度渐次升高，引起仪器示值漂移，造成变化的系统误差；当温度随机波动时，则会引起测量结果的随机变化。 考察某一具体的标准器的量值，其误差为确定值，对测量结果的影响应按恒定系统误差处理；但若考察出厂的成批产品时，这种标准器的量值误差具有随机分布的特征，需要用统计规律

52、去描述。 对于数值未知的系统误差，在固定的条件下，其取值在多次重复测量结果中恒定不变而无抵偿性，因此属于系统误差。但在条件适当改变时，这类误差又表现出随机误差的分布特征，因而也用表征随机误差的特征参数去表征它。而不同因素的这类误差综合作用时，相互间也表现出随机误差那样的抵偿性，因而在考虑精度参数的合成时，又应按随机误差的特征去处理。 同样，在概念上粗大误差与随机误差及系统误差有明确的差别，但实际上，这一界限并不十分清晰。在系列测量结果中，粗大误差与另二误差的差别只表现为数值大小的差别。由于正态分布的随机误差分布的“无限性”，有时很难区分粗大误差与正常的服从正态分布的大误差。特别是在误差值处于测

53、量的误差界限附近时更是如此。此时应采用某一判定准则加以区别，而这些判定准则的选择使用也具有某种随意性。首先，这些判定准则是按一定的概率对粗大误差作出区分鉴别的，因此这一区分具有某种不确定的含意。其次，判定方法及显著性水平的选择也具有人为的主观因素，选择不同的判别方法、按着不同的显著性水平，判别的结果可能是不同的。 某一误差因素，在某种条件下可造成粗大误差，从而歪曲测量结果，应舍弃不用。但在另外的条件下，同一误差因素引起的误差却在正常范围之内。例如，查点房间内的人数时，若漏点了人数(或多计了人数)时，获得的数字应认为是错误的，含有粗大误差。但在人口普查中，计数误差被认为是不可避免的，而且遵从某种

54、分布规律。 由上述可见，误差性质的转化在误差的分析与处理过程中具有重要意义，而相应的条件则是这种转化的前提。因此，在讨论误差的性质和对误差进行分类时绝不能脱离相应的前提条件。 最后应指出，任何一个测量结果总是包含随机误差和系统误差的，个别的数据还包含粗大误差，不会只含随机误差或系统误差。但在一个具体的测量结果中，它们集中地反映在一个具体的数据中，而无法在数量上作出区分。只有在多次测量的系列数据中，不同性质的误差才显露出来。图21所示的射击时弹着点的例子可以形象地说明这一情形。只进行一次射击时，用这一射击结果说明射击水平是很不充分的，更无法区分出射击的系统误差、随机误差和粗大误差。只有通过大量的射击，才能确切地反映射击水平，并区分出系统误差、随机误差和粗大误差。由图21可知，射击的随机误差反映为弹着点的分散程度；系统误差则表现为弹着点分布中心对靶心的偏离程度；而远离正常弹着点分布区域的个别弹着点反映了粗大误差的作用。 这种多次实验就是统计实验，因此在对测量误差进行分析研究时，统计实验具有重要的意义。