排列组合二项式定理

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1、排列、组合、二项式定理考纲导读1掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题2理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题3理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用 问题4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.知识网络排列组合二项式定理二项式定理排列概念排列数公式两个计数原理通项公式二项式系数性质应用应用高考导航排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题 和解决问题的能力及分类讨论思想.它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部 分，是

2、进一步学习概率论的基础知识.由于这部分内容概念性强，抽象性强，思维方法新颖， 同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因 此学生要学好本节有一定的难度.解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌 握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题.二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，高考重点考查展开式及通项，难度 与课本内容相当.另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题， 在高考中也时有出现.第1 课时两个计数原理1.基础计数理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m种不同的方法，在

3、第二类办法中有m种不同的方法，在第n类办法中有m种12n不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.2. 分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有 m种不同的方法，做第二步有m种不同的方法， ，做n步有m种不同的方法，那么完12n成这件事共有N=种不同的方法.3解题方法：枚举法、插空法、隔板法例典型高三题1)、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1) 从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2) 从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3) 从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4) 从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组

4、，共有多少种方法？解：(1) 48 + 50 + 52 = 150 种 (2) 48X50X52 = 124800 种(3) c4(4) a4150 150变式训练 1：在直角坐标 xoy 平面上，平行直线 x=n，( n=0，1，2，3，4，5)，y=n， (n=0, 1, 2, 3, 4, 5),组成的图形中，矩形共有()A、 25个B、 36个C、 100个D、 225个解：在垂直于x轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y轴的6条直线中任意取2条，这样 的4 条直线相交便得到一个矩形,所以根据分步记数原理知道：得到的矩形共有C2 - C2二15 x 15二225个，故选D。66例2.(1)

5、 将5封信投入6个信箱,有多少种不同的投法？ 设I =1,2,3,4,5,6, A与B都是I的子集，AGB=1,3,5，则称(A,B )为理想配，所有 理想配共有多少种？(3) 随着电讯事业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来7位电话号码升为8位电话 号码，问升位后可多装多少门电话机？(电话号码首位不为0)解：(1) 65 (2) 27(3)电话号码首位不为 0： 9X 107 9X 106 = 8.1 X 107变式训练2：一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。 请问：(1)6个小扇形分别着上6种颜色有多少种不同的着色方法？从这6种颜色中任选5种着色，但相

6、邻两个扇形不能着相同的颜色，则有 多少种不同的着色方法?解：(1)6个小扇形分别着上6种不同的颜色，共有A6 = 720种着色方法.66个扇形从6种颜色中任选5种着色共有C2C5A5种不同的方法;其中相邻两个扇形是同 665一种颜色的着色方法共有6C5A5 ；因此满足条件的着色方法共有65C2C5 A5 6C5 A5 二 6480 种着色方法.66565例 3. 如图 A， B， C， D 为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来， 则不同的建桥方案有( )DAA、8 种B、12 种 C、16 种D、20 种bC解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有C 1 =4种方法

7、；4第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：ABCD, DCBA,这样的两个排列对应一A4种建桥方法，因此有24二12种方法；根据分类计数原理知道共有4+12=16 种方法变式训练3：某公司招聘进8 名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员 不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的 分配方案解：用分步计数原理.先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2X(3 + 3) X3 = 36 种.例 4. 如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向

8、结点B传递信息，信息 可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是( )，完成这件事有 4 类办法：D、19第一类：12 5 3第二类：12 *6 4第三类：12 6 7第四类；：12 8 6 可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是3；第二类单位时间传递的最大信息量是4； 第三类单位时间传递的最大信息量是6；第四类单位时间传递的最大信息量是6。所以由分 类记数原理知道共有： 3+4+6+6=19，故选 D变式训练4 ： 7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少 种？解：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有1 个球”。于是，我们采用“隔

9、板法”来解决。在7个小球中的每两个之间分别有6个空，我们从6 个空中任意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部 分至少有1个球。即有C 3 =20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以6共有 20 种放球放法。注；(1)本题若采取“分类讨论”的方法来解决，则显得很麻烦；大家可以试一试。(2) 隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用.两个原理的区别在于，前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次 仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成.第2 课时排 列基础过关1. 一般地说，从n个不同元

10、素中，任取m(mWn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列”.因此当元 素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列.2. 从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个为不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Am表示.排列数公式Am=.nn这里mWn,其中等式的右边 个连续的自然数相乘，最大的是，最小的是.3. n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，全排列数用An表n示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做

11、n的阶乘，用表示.4. 解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法 枚举法、对称法、隔板法.5. 排列问题常用框图来处理.典型例题例1、(1)元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送 出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？(2) 同一排 6张编号1， 2， 3， 4， 5， 6的电影票分给4 人，每人至少1 张，至多2张，且 这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？(3) (06湖南理14)某工程队有6 项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后 才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行

12、.那 么安排这 6 项工程的不同排法有多少种数？解：(1)分类：9种(2) 假设五个连续空位为一个整元素a,单独一个空位为一个元素b另4人为四个元素 c、c、c、c .问题化为a,b,c ,c ,c ,c的排列，条件是a,b不相邻，共有a4. a2 =48种;1234123445(3) 将丙，丁看作一个元素，设想5个位置，只要其余2 项工程选择好位置，剩下3 个位 置按甲、乙(两丁)中唯一的，故有A2 =20种5变式训练1：有2 个红球、 3 个黄球、 4个白球，同色球不加以区分, 将这9个球排成一列 有种不同的方法.解：9个球排成一列有 A 9种排法,再除去2 红、 3 黄、 4白的顺序即可

13、,9A9故共有排法AXA=1260 种。答案:1260234例2. 5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数(1) 甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种.(2) 甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种.(3) 甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻)的排法有 种.丙在甲乙之间(不要求一定相邻)的排法有种.(4) 甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种.(5) 5名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种.(6) 女生互不相邻的排法有种，男女相间的排法有种.(7) 甲与乙、丙都不相邻的排法有种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法

14、有种.(8) 甲乙丙三人至少有1人在两端的排法有 种.(9) 甲乙之间有且只有4人的排法有种.解：(1)8! , 8X8! (2) 2X8! ,6X7! (3)丄 X9! , A6 XI, A6 X2X199(4) A2 X7!8!+7X7X7!7(5) 2X5!X4!(6) 5!X A4, 5!X4!X26(7) 9!2X 8!X 2+ 2X 7! , 3X 6!X A2 X27(8) 9! A3 X6!7(9) 捆绑法2 X P4 X 4 ! 也可用枚举法2 X 4 X 7 !7 变式训练2：从包含甲的若干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每 名同学只能参加一种竞赛，且任

15、 2 名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛， 则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？解：5例3. 在 4000到 7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数 解：分两类 类5在千位上：1X5X A2 =2808 类 4或6 在千位上： 2X4X A2=4488 故有280+448=728个变式训练3 ： 3张卡片的正反面上分别有数字0和1，3和4，5和6，当把它们拼在一起组 成三位数字的时可得到多少个不同的三位数(6 可做9 用) 解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有5 X 4 X 2 = 40个这40个三位数中含数 字6的有2X3X2 + 1X4X2 = 20

16、个，故6可做9用时，可得三位数40+20 = 60个 例4. (1) 从6名短跑运动员中选4人参加4 X 1 00米接力赛，问其中不跑第一棒的安排方 法有多少种？(2) 一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？ 解：(1)先安排第四棒，再安排其他三棒的人选，故有5X A3 =300种 60对.5(2) 假设五个连续空位为一个元素A，B为单独一个空位元素，另4个为元素q, C2, C3，C间题转化为A，B，C1，C，C，C排列，条件A，B不相邻，有a4 a2 =480种.423445变式训练4：某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果

17、第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则 不同的传递方案共有种.(用数字作答).解：96小结归纳1. 解排列应用问题首先必须认真分析题意.看能否把问题归结为排队(即排列)问题，较 简单的排列问题常用框图或树型来处理(注意也有个别问题不能用框图来处理 如不相邻问 题等)2. 解有约束条件的排列问题的几种策略.a. 特殊元素，特殊位置优先定位(也有个别例外情况，见例1)b. 相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理c. 正难则反，等价转换3. 解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排 列问题的各种方法.4. 由于排列问题的结果一

18、般数目较大.不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要 防止重复和遗漏.为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同.第3 课时 组 合基础过关1. 一般地说，从n个不同元素中，任取m(mWn)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中 取出 m 个元素的一个组合2. 排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是 前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个 元素的组合数，用符号Cm表示.n组合数公式Cm =n在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续m个自

19、然数之积，最大的数为n,最小 的数是(n - m + 1),分母是m!，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式Cm =，n 它的分子是n!，分母是m!与(n - m)!的积.3. 组合数性质：Cm = Cn-mnn Cm = Cm + Cm-1nn -1 n -1 Cm = Cm-1n m n -1 Cm = Cm-1 + Cm-1 + Cm-1 + Cm-1 (m W n)nn - 1n - 2n - 3n - m Cm = CmC 0 + Cm-1C1+. + C 1Cm-1 + C 0 Cmn r n-rrn-rr n - rr n - r典型例题例1.某培训班有学生15名，其中正副班

20、长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动.(1) 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.(2) 如果班长和副班长有且只有1 人在内有多少种派法.(3) 如果班长和副班长都不在内有多少种派法.(4) 如果班长和副班长至少有1 人在内，有多少种派法.解；(1) C2 C3 =286(2) C1 C4 =1430(3) C5 =128721321313(4) C5 C5=17161513变式训练1：从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生 又有女生，则不同的选法有( )A. 140B. 120C. 35D. 34解：D例2. 从4名男生和3名女生中选出 3人,分别从事三

21、项不同的工作,若这3人中至少有1名 女生,则选派方案共有()A、108 种B、186 种C.216 种D、270 种解：没有女生的选法有C3,至少有1名女生的选法有C3 - C3 = 31种，474所以选派方案总共有：31X A3 =186种。故选B.3变式训练2：从5位男教师和4位女教师中选出 3位教师派到3个班担任班主任(每班一位 班主任)，要求这3位班主任中男女教师都要有，则不同的选派方案共有 ( )A. 210种B. 420种C. 630 种D. 840 种解：B例3. (1) 把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于 其编号数，则不同的分法有多少种？

22、(2) 以平行六面体ABCDA1B1C1D21的任意三个点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角 形，则这两个三角形不共面情况有多少种？(3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式 来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两 端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？解：(1)先在编号为1， 2， 3的阅览室中依次放入0， 1， 2本书，再用隔板法分配剩下的书有C2 =15种，(2)平行六面体中能构成三角形个数c3 =56为任取两个有c2种情况，6 8 56其中共面的有12 C2，因而不共面的有C2 12

23、C2种(3) C5 = C2 = 28456488变式训练3：马路上有编号为1， 2， 3， 4.10的十盏路灯，为节约用电，又不影响照 明可以把其中的三盏关掉，但不能关掉相邻的两盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的 关灯方法种数有种.解： 20 用插排法，把七盏亮灯排成一排，七盏亮灯之间有6个间隔，再将三盏不亮的灯插入其中的3个间隔，一种插法对应一种关灯的方法，故有C： = 20种关灯方法.6 例4. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，(1) 在其中取4个共面的点，共有多少种不同的取法？(2) 在其中取4个不共面的点，共有多少种不同的取法.解：(1)四个点共面的取法可分三类.第一类：再同

24、一个面上取，共有4C4个面；第二类： 6在一条棱上取三点，再在它所对的棱上取中点，共有6个面；第三类：在六条棱的六个中点 中取，取两对对棱的4个中点，共有C2 =3个面.故有69种.3 用间接法.共C4 -69 = 141个面.10变式训练4：在1，2，3100这100个数中任选不同的两个数，求满足下列条件时各有多少种不同的取法.(1) 其和是 3 的倍数(2) 其差是3 的倍数(大数减小数).(3) 相加，共有多少个不同的和.(4) 相乘，使其积为 7 的倍数.解：(1) 1650(2) 1617(3) 197(4) 1295小结归纳1. 解有关组合应用问题时，首先要判断这个问题是不是组合问

25、题.区别组合问题和排列问 题的唯一标准是“顺序”.需要考虑顺序的是排列问题不需要考虑顺序的的才是组合问题.2. 要注意准确理解“有且仅有” “至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语 的确切含义.3. 组合问题的一般可抽象为“选派”模型来处理.另外有的问题也可用框图结合对应思想 来处理。4. 避免重复和遗漏.第4 课时 排列组合综合题基础过关1解排列组合题中常用的方法有直接法、间接法、两个原理、元素位置分析法、捆绑法、 插空法、 枚举法、隔板法、对称法；常用的数学思想主要有分类讨论、思想转化、化归思 想、对应思想.2解排列组合综合题一般要遵循以下的两个原则（1）按元素性质进行分类（2）

26、按事情发生的 过程进行分步.3处理排列组合综合性问题时一般方法是先取（选）后排，但有时也可以边取（选）边排. 4对于有多个约束条件的问题，先应该深入分析每个约束条件，再综合考虑如何分类或分 步，但对于综合性较强的问题则需要交叉使用两个原理来解决问题典型例题例1.五个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：（1）甲必须在排头；（2）甲必须在排头，并且乙在排尾；（3）甲、乙必须在两端；（4）甲不在排头，并且乙不在排尾；（5）甲、乙不在两端；（6）甲在乙前；（7）甲在乙前，并且乙在丙前；（8）甲、乙相邻；（9）甲、乙相邻，但是与丙不相邻；（10）甲、乙、丙不全相邻解析：（I）特殊元素是甲，特殊位置

27、是排头；首先排“排头”有A1种，再排其它4个位置1有A4种，所以共有：A1 X A4 =24种4 1 4（2）甲必须在排头，并且乙在排尾的排法种数：A1X A1X A3 =6种113（3）首先排两端有A2种，再排中间有A2种，23所以甲、乙必须在两端排法种数为：A2 X A2=12种23（4）甲不在排头，并且乙不在排尾排法种数为：A5-2 A4 + A3 =78种543（5）因为两端位置符合条件的排法有A2种，中间位置符合条件的排法有A3种，33所以甲、乙不在两端排法种数为A2 X A3 =36种33（6）因为甲、乙共有2!种顺序，所以甲在乙前排法种数为：A5宁2! =60种5（7）因为甲、乙

28、、丙共有3!种顺序，所以甲在乙前，并且乙在丙前排法种数为：A5 -4-3! =20种5（8）把甲、乙看成一个人来排有A4种，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻排法4种数为A 4 X A2 =48种42(9) 首先排甲、乙、丙外的两个有A2，从而产生3个空，把甲、乙看成一个人与丙插入2这3个空中的两个有A2，而甲、乙也存在顺序变化，所以甲、乙相邻，但是与丙不相邻排3法种数为A2 X A2 X A2 =24种332(10) 因为甲、乙、丙相邻有A3 X A3，33所以甲、乙、丙不全相邻排法种数为A 5 A3 X A3 =84种533变式训练1：某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两

29、级，若规定从二楼到 三楼用8步走完，则不同的上楼方法有( )A. 45 种B. 36 种C28 种D25 种解：C. 8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级.一步走两级记为a， 一步走一 级记为b所求转化为2个a和6个b排成一排，有多少种排法.故上楼的方法有C2 =28 种；或用插排法.例2.(1) 某校从8 名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教(每地1 人)，其中甲和 乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？(2) 5名乒乓选手的球队中，有2 名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1 、 2、 3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1

30、、 2号中至少有1 名新队 员的排法有多少种？解：(1)分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有C2a4 + a4 = 600种5 46(2)分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有C2C1CIC2 + CIC2A3 = 48种2 3 2 22 3 3变式训练2：某班新年联欢会原定的六个节目已安排成节目单，开演前又增加了三个新节目， 如果将这三个节目插入原来的节目单中，那么不同的插法种数是()A. 504B. 210C. 336D. 120解：A3 =504故选A例 3. 已知直线 ax+by+c=0 中的系数 a， b， c 是从集合-3， -2， -1， 0， 1， 2， 3中取出的

31、 三个不同的元素，且该直线的倾斜角为锐角，请问这样的直线有多少条？解：首先把决定“直线条数”的特征性质，转化为对“a, b，c”的情况讨论。 设直线的倾斜角为d,并且a为锐角。b则tana =0,不妨设ab,那么bV0a当cM0时,则a有3种取法,b有3种取法,c有4种取法，并且其中任意两条直线不重合，所 以这样的直线有3X3X4=36条当c=0时，a有3种取法,b有3种取法，其中直线:3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0重合，所以这样 的直线有3 X 3-2=7条故符合条件的直线有7+36=43 条变式训练 3：将5 名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分 配

32、一人，则不同的分配方案共有种.解：C 3 x 3 x A 2 + C i x 3 x C 2 x C 2 = 15052542例 4. 从集合 1， 2， 3 ，20中任选 3 个不同的数，使这 3 个数成等差数列，这样的等 差数列可以有多少个？解：a, b, ce n* a, b, c成等差数列o a + c = 2ba,c要么同为奇数，要么同为偶数， 故满足题设的等差数列共有A20 +A20二180(个)变式训练4：某赛季足球比赛中的计分规则是：胜一场得3 分,平一场得1 分,负一场得 0 分,一球 队打完 15 场,积 33 分,若不考虑顺序,该队胜负平的情况共有多少种？解:设该队胜负平

33、的情况是:胜x场，负y场，则平15 (x + y)场，依题意有：；3x + y = 33 n xx + y 15 三9。故有3种情况，即胜、负、平的场数是：9，0，6； 10，2，3； 11，4，0.小结归纳1排列组合应用题的背景丰富无特定的模式和规律可循，背景陌生时，必须认真审题，把 握问题的本质特征，并善于把问题转化为排列组合的常规模式进而求解.2. 排列组合应用题题形多变，但首先要弄清是有序还是无序，这是一个核心问题.3. 对于用直接法解较难的问题时，则采用间接法解.第5课时二项式定理基础过关1. (a+b)n=(nUN)，这个公式称做二项式定理，右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式

34、，其中的系数叫做二项式系数.式中的叫做二项展开式的通项，用丁 +表示，即通项公式T + =是表示展开式的第r+1项.r+lr+l2. 二项式定理中，二项式系数的性质有： 在二项式展开式中，与首末两项“等距离”的两项二项式系数相等，即：C0 = Cn , C1 = Cn-1, C2 = Cn-2, C = C-r .nn nnnnnn 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数， 中间两项的二项式系数相等并且最大，即当n是偶数时，n+1是奇数，展开式共有n+1项， 中间一项，即：第项的二项式系数最大，为；当n是奇数时，n+1是偶数，展开式共有n+1项，中间两项，

35、即第项及每项，它们的二项式系数最大，为. 二项式系数的和等于，即 二项展开式中，偶数项系数和等于奇数项的系数和二即 展开式中相邻两项的二项式系数的比是：Ck+1: Ck =(n - k ): (k +1)nn3. 二项式定理主要有以下应用 近似计算 解决有关整除或求余数问题 用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式(其做法称为“赋值法”)注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题 杨辉三角形典型例题例1. (1) (06湖南理11)若(ax1)5的展开式中X3的系数是一80,则实数a的值是. (3) 解(06湖北文8)在(、匚+丄)24的展开式中，x的幕指数是整数的有. 3* X(1+

36、x) + (1+x) 2+(1+x) 3+ (l+x)6 展开式中 X2 项的系数为.(1)2(2) 5 项 (3) 35.项.,则A、9B、10C、9D、10解：根据左边X10的系数为1,易知a=1，左边X9的系数为o,右边X9的系数为10a + a C9 = a +10=0 .a = -109101099例2.已知f(x) = (1+x)m+(1+x)n,其中m、nUN展开式中x的一次项系数为11,问m、n为 何值时，含x3项的系数取得最小值？最小值是多少？故选 D。10变式训练 1：若多项式X2 + X10 = a + a (X+1) + a (X+1)9 + a (X+1)101由题意

37、 C1 + C1 = 11n m + n = 11，则含 X3 项的系数为 C 3 + C 3 = - n(n - 1)(n - 2) +m nm n 61 m(m - 1)(m - 2)6=丄(27n2 -297n + 990) = (n-呂2 + 231，当n=5或6时X3系数取得最小值为306 2 2 8变式训练2分已知2-存的展开式中第三项与第五项的系数之比为-，其中i 2 =-1，则展开式中常数项是()A、 45iB、45iC、 45D、 45解析：第三项，第五项的系数分别为C2(-i)2, C4(-i)4nn依据题意有：C2 (-i)23nC4(j)4 = 14，整理得 n 2 一

38、 5n 一 50 = 0即解方程(n10)(n+5) =0则只有n=10适合题意.由T = Cr X20-2r - X- 2 (-i)r,n +110r当 20 一 2r 一 = 0 时，有 r=&厶故常数项为C8 (-)8 = C2 =45 故选D10 10例 3. 若(1-2x)2004=a +ax+ax2 +.+a x2004,xeR,求(a +a )+(a +a )+(a +a )0122004010202004解：对于式子：(1 2x)2004 二 a + a x + a x2 +ax2004, x e R,0122004令x=0,便得到：a =10令 x=l,得到 a + a +

39、a +a =10122004又原式：( a + a )+( a + a )+( a + a )010202004=2004a + (a + a +a) 2003a + (a + a + a +a )012200400122004.原式：(a + a ) + ( a + a ) +( a + a ) =2004010202004注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系.变式训练 3:若 Cx + *3）= a0 + 牛x + a2x2 + a3x3，则（a“ + a） - （a + a 卫的值是（）01230213A -1B1C0D2解：A例4.已知二项式G-x -2 ）n

40、,（nUN* ）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的x 2比是 10： 1 ,1）求展开式中各项的系数和2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项 解：（1）丁第5项的系数与第3项的系数的比是10： 1,解得 n=8C4 - (-2)4 _10 cqtn令 x=1 得到展开式中各项的系数和为（1-2）8=1（2）展开式中第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值分别为 r-1 2 n - r ,r 2 r ,r+1 2 r+1 ,8 8 8C r -1 2 n - r W C r 2 r 并且 C r +1 2若第 r+1 项的系数绝对值最大,则必须满足：r+1 W Cr - 2r，解

41、得 5WrW6；8 8 8 811 所以系数最大的项为T =1792-；二项式系数最大的项为T =1120一7x115x 6变式训练4：已知（二+ 1 ）n的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:3, 3x 2求展开式中不含x的项.求（X1） （X1）2+（X1）3（X1）4+（X1）5 的展开式中 X2 项的系数.解：(1 + 丄)n = 1 + C1 丄 + C 2 丄 +nn n n n2=2F Cn -1 = 1 + C1 丄n n nn n(1 + 丄)n = 1 + C1 - + C 2 nn n n n21n(n 1)+ + Cn = 1 +1 +n n 222+ n(

42、n _ 1)(n _ 2) 2 1n / -nn2+1 1IT+3T+1+ 2 n _12 n _13111 2 + + + - n T 2 2 2小结归纳1. 注意(a+b)n及(ab)n展开式中，通项公式分别为Tr+1 = Cyn_rbr及Tr+】=(-1 )rCy_rbr这里 0 r n且展开式都有n+1项，在使用时要注意两个公式的区别，求二项式的展开式中的指 定项，要扣住通项公式来解决问题.2. 二项式的展开式中二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及 项数有关，与二项式无关，后者与二项式，二项式的指数及项数均有关.3. 应用二项式定理计算一个数的乘方的近似值时，应

43、根据题设中对精确度的要求，决定展 开式中各项的取舍.4. 求余数或证明整除问题，被除数是幂指数问题时，解决问题的关键是将底数转化为除数 的倍数加1 或减 1.通过练习要仔细地去体会其中的变形技巧.排列组合二项式定理章节测试题一、选择题：1.的展开式中X2的系数为（A105C 23填入3x3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面）D. 48 种B5D12.将 1，2一种填法，则不同的填写方法共有（6 种B . 12 种C . 24 种是A.3.A-4B. -3C. 3D. 4（1X）4（1 +YX）4的展开式中x的系数是（）4设（1+ x）8二ao +罕+管某班级要从4名男士、 2名女生中

44、选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生， 那么不同的选派方案种数为（ ）A.14B.24C.28D.48 从5名男生和5名女生中选3人组队参加某集体项目的比赛，其中至少有一名女生入选的 组队方案数为（ ）,则ao，a8中奇数的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排 若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 （）A.C2 A686B.C2 A283C. C2 A286D. C2 A285A.100B.110C.120D.1808. 某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的

45、项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是（）A. 15B. 45 C. 60D. 7519. （1+ x ）1o（1+ ）10展开式中的常数项为（）XA. 1B. （C1 ）2C. C1D. C1010 20 2010.4张卡片上分别写有数字1， 2， 3， 4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（A.B.C.)D.11. 一生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安 排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人，第四道工序只能从 甲、丙两工人中安排1 人，则不同的安排方案共有（ ）A.

46、 24 种 B. 36种C. 48 种 D. 72 种 12.在（x一1）（x一2）（x一3）（x一4）（x一5）的展开式中，含x4的项的系数是（(A)-15(B)85(C)-120(D)274113. 若(X+)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中X4项的系数为()2x(A)6 (B)7 (C)8 (D)9二、填空题：14. 从 10 名男同学， 6 名女同学中选 3 名参加体能测试，则选到的3 名同学中既有男同学又有女同学的不同选法共有种(用数字作答)( 115. x 2 + 的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 .(用数字作答)I x3丿116. (x+ ) 9展开式中x2的系数

47、 .(用数字作答)x117. 记(2x + )n的展开式中第m项的系数为b，若b = 2b，则n =.xm34( 118. (1+ x3) x + 展开式中的常数项为.Ix2丿19. (1-2)7的展开式中的系数为.(用数字作答)XX 220. 某地奥运火炬接力传递路线共分6 段，传递活动分别由6 名火炬手完成如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传 递方案共有种.(用数字作答).21. (1 + 2x)3 (1 - X展开式中x的系数为。22. 从甲、乙等 10 名同学中挑选 4 名参加某校公益活动，要求甲、乙中至少有 1 人参加，则不同的

48、挑选方法共有种。(2 Y23. x + 的二项展开式中x3的系数为 (用数字作答).Ix丿24. 有 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1， 2， 3， 4 的蓝色卡片，从这8 张卡片中取出 4 张卡片排成一行如果取出的4 张卡片所标的数字之和等于10， 则不同的排法共有种(用数字作答).25用1, 2, 3, 4, 5, 6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不 同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是(用数字作答)三、解答题26由 0, 1, 2, 3, 4, 5 这六个数字。(1) 能组成多少个无重复数字的四位数？(2) 能组成多少个无重复数字的四位偶数？(3) 能组成多少个无重复数字且被25 个整除的四位数？(4) 组成无重复数字的四位数中比4032 大的数有多少个？27已知（ x12 x）n的展开式中前三项的系数成等差数列.1）求 n 的值；2）求展开式中系数最大的项