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1、特殊平行四边形矩形【学习目标】1理解并掌握矩形的性质、判定定理，并应用定理来解决问题；2在合作交流中体验定理的证明过程，融合解题的技巧。【学习过程】一、自主探究及巩固：探究1 矩形的性质定理：除了具有与平行四边形一样的性质之外，矩形所具有的性质是：矩形的_都是直角；矩形的对角线_。第1题DABCE【自我巩固与积累1】1如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DEAC交BC的延长线于E，则图中与ABC全等的三角形共有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个【感悟】矩形具备平行四边形的所有性质，所以容易得到线平行和线段相等，同时，它包含四个直角，因此更应从直角三角形去思考。2如图，在矩形ABC
2、D中，对角线AC、BD交于点O，若AOB=60，AB=4，则AC=_。【感悟】由于矩形中包含直角三角形，所以考察点多有关特殊角的相关计算上，出现“60”角，容易构造“等边三角形”和“含30角”的直角三角形，所以对相关数量关系要熟练掌握。3如图，矩形的对角线交于点O，过点O的直线交AD、BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为_【感悟】矩形是中心对称图形，对角线交点(对角线的中点)就是对称中心，所以可利用旋转的方法将分散的部分转化为整体，进而根据相关知识使问题得以解决。4如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EFED.求证：AE平分BAD.【感悟
3、】善于将已知条件体现在所给图形中是证明几何问题必须具备的好习惯，可以让我们更直观的发现图中相关线段、角之间的等量关系，从而构造出三角形全等所需要的条件。5如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD=6，求AF的长。【感悟】折叠是轴对称的一种形式，关键是确定对应关系，找到相等的角和线段，而在矩形的折叠中，一定要确定相应的直角，以便于利用特殊直角三角形（含30角）的数量关系或者利用勾股定理建立线段之间的数量关系，从而解决问题。探究2 矩形的判定定理：有_是直角的四边形是矩形；有一个角是直角的_是矩形；对角线_的平行四边形是矩形。【自我巩固
4、与积累2】6如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )AAB=CD BAD=BC CAB=BC DAC=BD7如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为E。试判断四边形ADCE的形状，并加以证明。【感悟】通过该题的证明，进一步作推断可以发现，此时AN与BC是平行的，因此，如果出现“夹在两平行线间的两条线段都与平行线垂直”的条件，即可断定构成矩形，这在梯形问题和实际问题中经常出现。探究3 直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于_。任意作一个直角三角形ABC，C=90，D为AB中点，证明：CD
5、=AB【感悟】有关中点的结论：线段垂直平分线；等腰三角形三线合一；三角形中位线；直角三角形斜边上的中线。在解决问题时，应根据题目特征，灵活应用。特别是直角三角形斜边中线性质，应学会“寻找或构造”出直角三角形。【例】如图，BD，CE分别是ABC的边AC和AB上的高，G、F分别是BC、DE的中点，试说明FGDE【思路分析】虽然条件有给出两个中点，但并没有在同一三角形中出现，不应考虑中位线，又条件中出现了两条高线，因此可考虑应用斜边中线的性质解决问题。8在RtABC中，ACB=90，AB=10，D为AB的中点，则CD=_cm。FBADCEG第9题9已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作
6、EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG求证：EG=CG；【3.2.1矩形 过关检测】 姓名_ 评价_图11如图1所示，已知ABCD，下列条件：AC=BD，AB=AD，1=2，ABBC中，能说明ABCD是矩形的有（填写番号）。2.如图2，在矩形ABCD中，AD =4，DC =3，将ADC按逆时针方向绕点A旋转到AEF（点A、B、E在同一直线上），连结CF，则CF = .【感悟】旋转问题的两个关键：对应关系；旋转角3如图3，矩形ABCD中，AB8cm，BC4cm，E是DC的CDEFBA图3中点，BFBC，则四边形DBFE的面积为 4如图4所示，把一长方形纸片沿MN折叠后，点D，
7、C分别落在D，C 的位置若AMD 36，则NFD 等于（A）144 （B）126 （C）108 （D）72ABCDDCNMF图4【感悟】折叠问题的关键是确定对应的线段与角5如图5，已知矩形纸片，点E是AB的中点，点是上的一点，现沿直线将纸片折叠，使点落在约片上的点处，连接，则与相等的角的个数为( )图5A.4 B. 3 C.2 D.16. 如图6，矩形纸片ABCD中，AB4，AD3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，记与点A重合点为A，则ABG的面积与该矩形的面积比为 ( )ABCDABCDGA图67如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EFEC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长第7题图BCAEDF第8题图8如图，在等边ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边ADE（1）求CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形
(北师版)九年级上册第三章导学案3.2.1矩形
