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1、第一节: 列写系统微分方程式的一般方法,第二节: 非线性数学模型的线性化,第三节: 传递函数,第四节: 框图和系统的传递函数,第五节: 信号流图和梅逊公式的应用,控制系统的数学模型,控制系统的数学模型,数学模型,系统的数学模型就是描述系统输入、输出变量以及内部其它变量之间关系的数学表达式。,实际存在的系统的动态性能都可以通过数学模型来描述（例如微分方程、传递函数等。）,建立合理的控制系统数学模型是控制系统分析中最重要的内容，与系统性能密切相关。,控制系统的数学模型,建立系统数学模型的方法有解析法和实验法两种。,解析法:根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理、化学等定律，列写出每一个元件的输入
2、-输出的关系式，然后消去中间变量，从而求得系统输出与输入的数学表达式。,实验法：即根据对系统的观察，通过测量所得到的输入、输出数据，推断出系统的数学模型。,列写系统微分方程式的一般方法,研究一个自动控制系统单是分析系统的作用原理及其大致的运动过程是不够的、必须同时进行数量上的分析，才能做到深入的研究并将其有效地应用到实际工程中去。,用解析法推演系统数学模型的前提是对系统的作用原理和系统中各元件的物理属性有着深入的了解。,列写系统微分方程式的一般方法,2）确定系统的输入与输出量，消去其中多余的中间变量，从而求得系统输出与输入间的微分方程式。,1）根据基本的物理、化学等定律，列写出系统中的输入与输
3、出的微分方程式。,用解析法建立系统数学微分方程式的一般步骤是：,例2-1 图2-1为一R-L-C电路，其输入电压为Ur，输出电压为Uc。 试写出Ur与Uc之间的微分方程式。,图2-1 R-L-C电路,一、电气网络系统,一、电气网络系统,解 根据电路理论中的基尔霍夫定律，写出下列方程式,消去中间变量，则得,（2-1）,图2-1 R-L-C电路,例2-2 已知R-C网络如图2-2所示，试写出该网络输入与输出间的微分方程。,图2-2 R-C滤波网络,解 对于图2-2所示的电路，由基尔霍夫定律写出下列方程组,消去中间变量 ， ，得,（2-2）,由式2-2可知，该电路的数学模型是一个二阶常系数非齐次微分
4、方程。,二、机械位移系统,例2-3 设弹簧-质量-阻尼器系统，如图2-3所示。试求外力与质量块位移之间的微分方程式。,二、机械位移系统,式中，f为阻尼系数；k为弹簧的弹性系数。,（2-3）,经变换得：,根据牛顿第二定律，该系统在外力的作用下，当抵消了弹簧拉力和阻尼器的阻力后，使质量块(质量为m)产生加速度，于是得,拉氏变换,存在，则我们称F（s）是f（t）的拉氏变换。其中，s为复变函数，F（s）一般为复变函数。,设f(t)是变量t的函数，如果积分：,拉氏变换,1、求单位阶跃函数f(t)的拉氏变换。,拉氏变换,2、求 拉氏变换。,拉氏变换,3、求f(t)=t的拉氏变换。,拉氏变换,4、求 拉氏变
5、换。,拉氏变换,5、求 拉氏变换。,拉氏变换,微分的拉氏变换,拉氏变换,令f(0)=0,则得,拉氏变换,积分的拉氏变换,求导得,两边作拉氏变换,设初始条件为零,拉氏变换,拉氏变换,例子,待定系数法,拉氏变换,例子,代入特殊值,x=3 得 B=6,x=2 得 A=-5,第三节 传递函数,微分方程式的阶次一高，求解就有难度，且计算的工作量也大。,对于控制系统的分析，不仅要了解它在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系。对于后者的要求，显然用微分方程式去描述是难于实现的。,问题的提出,在控制工程中，一般并不需要精确地求出系统微分方程式的解，作出它的输出响应曲线，而是希望
6、用简单的方法了解系统是否稳定及其在动态过程中的主要特征，能判别某些参数的改变或校正装置的加入对系统性能的影响。,传递函数,传递函数的定义,对微分方程进行拉氏变换,传递函数,传递函数的定义,设描述线性定常系统的微分方程为,因为控制理论着重分析系统的结构、参数与系统的动态性能之间的关系，所以，为简化分析，设系统的初始条件为零。,传递函数,在零初始条件下，对上式取拉普拉斯变换得,分别提出U（s）R(s),传递函数,定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数，记为G(s).,令,传递函数,系统的特征方程,系统的阶数,系统的阶数是指特征方程
7、中S的最高阶次。,系统的极点,系统的极点是指特征方程的根。,系统的零点,系统的零点是指传递函数分子所构成的方程的根。,传递函数,熟悉求解传递函数的过程,总结一下传递函数的特点,目的,传递函数,传递函数,以Ur为输入，I为输出：,传递函数,经拉氏变换得到,传递函数,R-L-C电路,经拉氏变换得,传递函数,传递函数,传递函数,传递函数的两种性质,典型环节的传递函数,1）. 比例环节,式中 环节的放大系数，为一常数。,传递函数为：,典型环节的传递函数,典型环节的传递函数,2）惯性环节,惯性环节的传递函数:,求输入为r(t)=1时，惯性环节输出量的函数,典型环节的传递函数,求拉氏反变换得,典型环节的传
8、递函数,3）积分环节,传递函数为：,实例,4）微分环节,传递函数为：,实例,典型环节的传递函数,5）振荡环节,这种环节包括有两个储能元件，当输入量发生变化时，两种储能元件的能量相互交换。在阶跃函数作用下，其暂态响应可能作周期性的变化。今以RLC电路为例加以说明。,在零初始条件下取拉氏变换得传递函数为：,典型环节的传递函数,将传递函数转换为：,式中：,典型环节的传递函数,典型环节的传递函数,6）时滞环节,传递函数为：,传递函数,传递函数一般是在零初始条件下，由微分方程经拉氏变换后求得。但由于电阻、电容及电感组成的电气网络，可应用电路原理中复数阻抗的概念直接写出相应的传递函数。,无源网络电路（略）
9、,由于运算放大器的开环增益极大，输入阻抗也极大，所以把A点看成“虚地”，即 Ua0。同时 i=0及i1=if 。,于是有 ：,由上式可得运放器的传递函数为,有源网络,框图和系统的传递函数,绘制系统框图的一般步骤,1) 写出系统中每一个部件的运动方程。,2) 根据部件的运动方程，写出相应的传递函数。一个部件用一个方框单元表示，在方框中添入相应的传递函数。,3) 根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输入量置于系统框图的最左端，输出量置于最右端。,框图和系统的传递函数,框图和系统的传递函数,框图的等效变换,在控制工程中，任何复杂系统的框图主要由相应环节的方框经串联、并联和反馈三种基本
10、形式连接而成。,为了由系统的框图方便地写出它的闭环传递函数,通常需要对框图进行等效变换。,框图的等效变换必须遵守一个基本原则，即变换前后各变量间的传递函数保持不变。,框图的等效变换,1.串联连接,消去中间变量求得,框图的等效变换,2.并联连接,框图的等效变换,3.反馈连接,消去中间变量求得,表2-1 框图的等效变换法则,框图的等效变换,框图的等效变换,用框图的等效变换法则，求图2-27所示系统的传递函数,框图的等效变换,框图的等效变换,框图的等效变换,求图2-20b所示网络框图的传递函数,框图的等效变换,框图的等效变换,框图的等效变换,该网络的传递函数为,控制系统的传递函数,1.开环传递函数,系统反馈量B (s)与误差信号E(s)的比值，称为闭环系统的开环传递函数。即为,2.参考输入作用下的闭环传递函数,控制系统的传递函数,控制系统的传递函数,参考输入误差的传递函数为,控制系统的传递函数,3.扰动D(s)作用下的闭环传递函数,控制系统的传递函数,
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