线性代数期末复习资料.ppt

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1、线性代数Linear Algebra,任课教师:邓辉文, Linear Algebra 同济大学数学系(第五版) 高等数学、线性代数、概率与数理统计 高等教育出版社, 2007,前言,一.代数最早就是求解方程或方程组. 线性代数需要解决的第一个问题就是求解线性方程组. 代数就是在所考虑的对象之间规定一些运算后得到的一种数学结构.,运算,运算,运算,运算,二. 线性代数的研究对象是线性空间, 包括其上的线性变换 线性代数涉及的运算主要是称为加减和数乘的线性运算，这些线性运算须满足一定的性质进而构成线性空间.,线性运算,线性运算,线性运算,线性运算,Linear Space,从广义的角度看，线性代

2、数研究的是“线性问题”. 直观地讲，对所考虑的变量是一次的问题就是线性问题. 即使是大量出现的非线性问题有时也会转换成线性问题进行处理，如高等数学中的微分等.,三. 矩阵和向量是重要的代数工具. 在一定的意义上，它们以及其上的一些运算本身就构成线性空间. 线性代数的主要内容分别是线性方程组、矩阵代数、向量空间、以及与线性变换密切相关的方阵的特征值和二次型这种线性空间之间特殊的双线性函数等(See below).,以线性方程组为主线、以矩阵和向量为工具.,线性方程组,矩阵,行列式,向量,特征值 特征向量,二次型,代数,几何,四. 线性代数的特点是内容较抽象、概念和定理较多，前后联系紧密，环环相扣

3、，相互渗透. 五. 为何学习线性代数. 线性化是重要的数学方法，在高等数学特别是优化问题的讨论中会用到. 在计算机程序设计语言特别是MATLAB中，矩阵是最基本的数据结构.,在高等数学、微分方程、离散数学、算法分析与设计、计算机图形图像处理等课程中矩阵、向量、线性变换是经常要用的知识. 随着计算机的普及，线性代数在理论和实际应用中的重要性更加突出，这使得诸如计算机专业、电子信息专业、自动控制专业以及经济管理专业等对线性代数内容从深度和广度方面都提出了更高的要求.,六. 学习线性代数要达到的目的. 通过线性代数的学习，一方面可以进一步培养抽象思维能力和严密的逻辑推理能力，为进一步学习和研究打下坚

4、实的基础，另一方面为立志报考研究生的同学提供必要的线性代数理论知识、解题技巧和方法.,七.线性代数的主要内容 Chapter 1 线性方程组 Chapter 2 矩阵代数 Chapter 3 向量空间 Chapter 4 特征值与特征向量 Chapter 5 二次型,八. MATLAB程序设计语言 MATLAB: matrix laboratory. MATLAB(1)强大的数值计算和(2)符号计算功能、(3)卓越的数据可视化能力和(4)适用于各行各业的不同的工具箱. 基本教学工具. 是攻读学位的理工科, 甚至文科大学生、硕士生和博士生必须掌握的基本技能.,本书介绍了使用MATLAB求解线性代

5、数问题的一些常见命令，希望能引起大家学习兴趣，较早进入MATLAB世界. 九. 每章都有精选习题，有些选自历年的研究生入学考试线性代数题目.,线性代数参考书,魏战线,工程数学线性代数(第2版)，辽宁大学出版社,2000 (全国高等教育自学考试教材) (有同步辅导/同步训练配套教材),第1章 线性方程组,线性方程组是线性代数的基本内容,是贯穿线性代数的一条主线. (线性代数最早的重点内容就是求解线性方程组.) 学习线性方程组的重要性. 线性方程组,1.1 线性方程组与矩阵的有关概念,1.1.1 线性方程组的有关概念,对所考虑的未知量来说，和式中每项次数最高是一次的方程称为线性方程(linear

6、equation)，否则称为非线性方程(nonlinear equation). 对于未知量x, y, z: ,在高等数学中，对于未知函数y(x)以及未知函数y(x)的导数来说，最高是一次的微分方程称为线性微分方程.,每个方程均是线性方程的方程组称为线性方程组(system of linear equations). n元线性方程组的一般形式为 m n线性方程组. aij系数与bi常数.,m和n是任意正整数，其关系可能为下列三种情况之一: m = n (恰定线性方程组: properly determined equations). m n (超定线性方程组: overdetermined e

7、quations). m n (欠定线性方程组: underdetermined equations). 对于n元线性方程组，应该讨论: (1)解的存在性性. (2)求出其所有解，包括讨论解的个数.,1.1.2 矩阵的有关概念 1、矩阵 在讨论n元线性方程组的有关问题时，矩阵是一个很方便的工具. 3阶幻方: 4阶幻方?,5阶幻方?,矩阵就是由一些数，也可以是一些表示数的符号，按一定顺序排成若干行和若干列的一个表格. Definition1.1 m n矩阵(matrix of size m n). 圆括符( )或方括符 将其括起来，但不能使用 或| |等符号.,黑体及斜体(英文或希腊、大写或小写

8、)字母或带下标A, B, C, A1, A2, A3,a, b, c, p1, p2, p3, , , , 1, 2, 3等表示矩阵. 第i行元素,第j列元素. (i, j)位置元素aij是用双下标表示的，第一个下标表示该元素所在的行，第二个下标表示该元素所在的列，这种表示方法本身就有一定的创意.,系数矩阵(coefficient matrix): 增广矩阵(augmented matrix): 最早出现的矩阵!,例1.3 系数矩阵和增广矩阵分别为,在写线性方程组的系数矩阵和增广矩阵时，一方面要按一定顺序，如x1, x2, x3或x, y, z得出未知量的系数，另一方面，若有缺位，如例1.3中

9、的第1个方程没有x3 ，就认为x3的系数为0. 有m行n列的矩阵A，就是“m n矩阵”，读作“m行n列矩阵A”. 在m n中，行数m写在的前面，而列数n写在的后面. 复矩阵(complex matrix)与实矩阵(real matrix).,行矩阵: 列矩阵: 方阵(Square): n n矩阵又称为n阶矩阵(matrix of order n)或n阶方阵(square matrix of order n). n阶方阵A也可以表示为或. 由一个数a构成的1阶方阵(a)就是元素a本身，即(a) = a.,主对角线(principal diagonal)，简称为A的对角线(diagonal). 次

10、对角线(secondary diagonal).,例1.4,2、转置矩阵 转置是另外一种排列方式: 概念? 转置实际上是矩阵的一种运算-转置运算?.,3、几种特殊矩阵 (1) 单位矩阵,(2) 对角矩阵 单位阵是对角阵. 对角线元素相同的n阶对角阵称为数量矩阵(scalar matrix)，其一般形式为,(3) 零矩阵 元素全为0的m n矩阵称为零矩阵(zero matrix)，记为O或Om n.,(4) 上(下)三角阵 对角线以下元素全为0的方阵称为上三角阵(uppertriangular matrix):,对角线以上元素全为0的方阵称为下三角阵(lower triangular matri

11、x):,4、矩阵相等 A = B: 矩阵A和矩阵B对应的元素分别相等. Remark 只有同型的两个矩阵才可能相等. 例1.5, A = 1，2，3；4，5，6；7，8，9 A B=A 在MATLAB中有很多产生特殊矩阵的命令，如元素全为1的矩阵ones(m, n)、元素全为0的矩阵zeros(m, n)和0，1上均匀分布的随机矩阵rand(m, n)等.,1.2 线性方程组解的存在性,1.2.1线性方程组的解 1个解(a solution)?,(1)非齐次线性方程组,(2)齐次线性方程组 线性方程组有零解该线性方程组是齐次的. 于是,齐次线性方程组有(零)解! 注意 齐次线性方程组可能有非零

12、解.,1.2.2 线性方程组的同解变换与矩阵的初等行变换,线性方程组的同解变换: (1) 交换第i个方程和第j个方程的位置. (2) 第i个方程两边同时乘以不为0的数k. (3) 第i个方程两边乘以同一个数k后，分别加在第j个方程的两边. 采用同解变换得到的线性方程组与原线性方程组是同解的，即它们的解完全相同.,(I)交换第1个方程和第2个方程的位置.,(II)第3个方程两边同时乘以不为0的数1/3.,(III)第1个方程两边乘以同一个数-2后，分别加在第2个方程.,定义1.4 矩阵的初等行变换(row elementary operations of a matrix)有以下3种： (1)

13、换行 交换第i行和第j行的位置，记为ri rj. (2) 倍乘 将第i行乘以不为0的数k，记为kri. (3) 倍加 将第i行乘以一个数k加在第j行，记为kri+ rj.,1.2.3 高斯消元法、行阶梯形矩阵与矩阵的秩 1.消元(elimination)?,“换行”和“倍乘”是为了方便消元. C. F. Gauss提出该方法,后来称为Gauss消元法, 可直接称为消元法. 但中国人大约在公元前250年就会一些简单的消元. 在矩阵中这样做,也称为Gauss消元法或消元法. 前面采用的是“向下消元”,并可以继续下去:,2.行阶梯阵(row echelon matrix) 梯阵(echelon ma

14、trix)，可以在该矩阵里面画一条阶梯线，满足 (1) 线的下方元素全为0； (2) 每个台阶只有一行，台阶数即为非零行的行数； (3) 阶梯线的竖线后面的第一个元素非零，该元素称为该非零行的首非零元素即首元.,下列几个矩阵均不是行阶梯形矩阵:,3.矩阵的秩 矩阵的秩是矩阵理论中最重要的概念之一, F.G. Frobenius(1917)借助于行列式引入的. Def 1.5 在矩阵A的行阶梯形矩阵中，其非零行的行数称为矩阵的秩(rank of the matrix A)，记为R(A)(或r(A). R(B) = 3 R(A) = ? (不看最后一列即可!),定理 1.1 设线性方程组的系数矩阵

15、和增广矩阵分别为A和B，则该线性方程组有解的充要条件是R(A) = R(B). 第一，若线性方程组有解，则R(A) = R(B). 因为R(A) R(B)，意味着在B的行阶梯形矩阵的最后非零行里会出现0, 0, , 0, d，其中d 0. 于是对应的同解线性方程组会出现0 = d的情况，显然原线性方程组无解.,第二，若R(A) = R(B)，则线性方程组有解. 这是由于在B的行阶梯形矩阵对应的线性方程组里，不会出现0 = d 0的情况，因而至少可得出原线性方程组的一个解. 例如，线性方程组(1.6)有解,在R(A) = R(B)时，其秩记为r. 对于齐次线性方程组，显然有R(A) = R(B)

16、，根据定理1.1容易知道，任意齐次线性方程组有解. 当然，由于齐次线性方程组均有零解，可推出R(A) = R(B). 注意 齐次线性方程组可能有非零解.,例1.6 判断下列线性方程组是否有解，说明理由. Hint,4.矩阵的初等列变换 完全类似于矩阵的初等行变换, 最后介绍与求解线性方程组没有直接联系的矩阵的初等列变换: (1) 换列 交换第i列和第j列的位置，记为ci cj. (2) 倍乘 将第i列乘以不为0的数k，记为kci (k 0). (3) 倍加 将第i列乘以一个数k加在第j列，记为kci+cj.,矩阵的初等列变换在处理其他问题时有其独特作用. 等价矩阵: A B? (1)自反性:

17、A A (2)对称性: 若A B, 则B A (3)传递性: 若A B且B C, 则A C 由于强调等价的传递性，而不是对称性，使用“”表示矩阵间的等价关系是合理的.,矩阵的初等变换: 初等行变换 在有解时, 再求出所有解(通解). 1.3.1 将增广矩阵化为行阶梯形矩阵 例1.7 求解下列线性方程组,Solution R(A) = R(B) = 3,1.3.2 将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵 一个矩阵的行最简形矩阵(reduced row echelon form of a matrix), 必须满足以下3个条件: (1) 是该矩阵的行阶梯形矩阵. (2) 行阶梯形矩阵非零行的首元为1. (

18、3) 1所在列的其他元素全为0. 行最简形矩阵=约化行梯阵=简化行梯阵.,“向上消元”?,一般来说,将非零行的首非零元素对应的未知量x1、x2和x3作为先导未知量(leading unknown), 而其余未知量x4是自由未知量(free unknown). 显然, 主导未知量的个数就是矩阵的秩R(A) = R(B) = r = 3, 进而自由未知量的个数为 n r = 4 3 = 1.,令x4 = k(其中k为任意常数) 将行阶梯形矩阵化为行最简形矩阵的目的: 方便求解.,定理1.2 若n元线性方程组有解, 其系数矩阵和增广矩阵分别为A和B，则 (1) 当R(A) = R(B) = r =

19、n时, 该线性方程组有唯一解. (2) 当R(A) = R(B) = r n时, 该线性方程组存在n r个自由未知量, 进而有无限多个解. 注意 当R(A) R(B)时, 该线性方程组无解.,下面举一个求解齐次线性方程组的例子. 例1.8 用高斯消元法求解齐次线性方程组,Solution,其对应的同解齐次线性方程组为,这时取x3和x4为自由未知量，令x3= k1， x4= k2，得原方程组的所有解为 其中k1, k2为任意常数.,上面介绍的是使用高斯消元法求解线性方程组的一般步骤，可以自己总结一下. 但可以灵活运用，例如在例1.8中，若取x2和x3为自由未知量，则将A的行梯形矩阵化为,其对应的

20、同解齐次线性方程组为,取x2和x3为自由未知量，令x2= k1， x3= k2，得原方程组的所有解为 其中k1, k2为任意常数.,含有参数的线性方程组解的讨论考查大家综合运用知识能力，具有一定的难度，见下例，其他例子参见第3章的第3.5节. 例1.9(2008) 设线性方程组 与线性方程x1+ 2x2+ x3= a -1有公共解，求a的值及所有公共解.,Solution 根据已知条件知，下列线性方程组有解 因此,有R(A) = R(B). 使用矩阵的初等行变换将增广矩阵B尽可能地往行阶梯形化:,由R(A) = R(B), 知a = 1或a = 2. 当a = 1时,其对应的同解齐次线性方程组为 取x3为自由未知量，令x3= k，得原方程组的所有解为 其中k为任意常数.,对于一般的线性方程组，已经解决了 (1)解的存在性问题. (2)求出其所有解的问题. 还需要研究的是线性方程组的解之间的关系问题，如上例中线性方程组(1.24)的两种解形式(1.25)和(1.26)本质上是相同的，在第3章将借助于向量理论讨论线性方程组的结构解问题. 作业 P29 4(1), 6(1), 7(1), 8*,当a = 2时,其对应的同解齐次线性方程组为 原方程组的解为,