乒乓球赛制问题

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1、数学建模竞赛论文（指导老师：詹棠森）题目 乒乓球新旧赛制对比分析组号：第六组姓名金坤鹏建立模型讨论乒乓球新旧赛制摘要自从乒乓球这个项目进入奥运会以来，这个项目的冠军几乎毫不犹豫的被中 国夺走，中国在乒乓球上的地位很高。但是，乒乓球老是被中国夺走，这样子很 不利于世界体育的发展。正是因为这个原因，国际乒联协会就不断地更改规则， 以求乒乓球体育的发展。本文中我们通过建立概率模型来针对11分制和21分制的做定量的分析，首 先对问题进行分析，再建立模型，最后利用matlab软件进行求解，对问题1和 问题2我们分别能得到不同的图形，通过图形我们可以得知他们之间的不同与优 缺点，11分制的实行使得比赛的偶

2、然性增加，对于新队员来说他们将信心大增， 在比赛中他们将殊死对抗，全力以赴，使得比赛更加精彩，更加激烈，而对于老 队员来说他们不再像以前那样十拿九稳了，时间的缩短和分制的减少，使得多他 们来说每一个球都是关键，否则他们将可能被淘汰。从图中我们知道11分制的 实行更加有利于比赛选手的发挥。关键字：概率模型，偶然性，mat lab软件一问题重述与分析重述：自2001年10月1日起，国际乒联改用11分制等新规则。中国乒乓球老 将王家声认为，规则改变的实践效果的检验标准是三个有利于：要有利于运动的 推广，有利于形成对抗激烈，场面精彩的比赛，有利于它的市场开发和赞助商利、八_U益o11分制的实行，使比赛

3、增加偶然性增加，让一些二三流选手也有机会战胜 一流选手。“但这个偶然性应有个度”王家声说：“如果这个偶然性大到世界顶尖 高手也纷纷被无名小卒淘汰，三四流选进决赛，那它就不是好规则了。”乒乓球 11分制利弊如何，是否会象羽毛球7分制一样实行不久就取消呢？1. 试对11分制的5盘3胜与21分制的3盘2胜制作定量的比较分析2. 试对11分制的7盘4胜和21分制的5盘3胜制作定量的比较分析3. 综合评价及建议分析：根据题意我们知道，在不同的赛制，不同等级的比赛选手在比赛中的胜率 是不一样的，我们首先通过对乒乓球新旧赛制的比较，建立一个概率模型，通过 对概率模型求解，我们可以得到等级选手比赛时，相对的不

4、同胜出的概率，最后 求出他们的取胜曲线，通过图形的比较，我们可以看出赛制的优缺点从而做出定 量的分析。其次我们建立一个层次分析模型，通过各项指标的不同权重来对新旧 比赛做出对比分析，再通过建立综合分析来评价其优缺点及推广，在进行综合的 评析及给出合理的建议。o模型二模型假设1. 不考虑选手在比赛过程中途突然离开，并且选手都能正常发挥水平。2不考虑，主队或客队的场地影响。3选手实力相当时，比赛就越精彩。4不考虑发球权的影响，谁发都是一样的；5体力问题，由于选手们均是长期接受严格的训练，长期参赛的，所以，一般来 说，双方的体力消耗都是同等下降的，故可看作等同的，忽略不作考虑； 三符号说明1：表示队

5、员一，1：表示队员二；M1表示队员一胜的球数，M2表示队员二胜的球数；P表示队员一每一球获胜的概率；P11表示队员一在11分制的规则下且m2=10，m1=m2+2时的概率； P1表示队员一在11分制的规则下赢一局的概率。(P1=P11+P12)P13表示队员一在11分制三局二胜的赛制下赢得比赛的概率； P14表示队员一在11分制七局五胜的赛制下赢得比赛的概率； P21表示队员一在21分制的规则下且m2=20，m1=m2+2时的概率； P2表示队员一在21分制的规则下赢一局的概率。(P2=P21+P22);P23表示队员一在21分制三局二胜的赛制下赢得比赛的概率； P24表示队员一在21分制七局

6、五胜的赛制下赢得比赛的概率；N表示队员一赢一局二个人所胜的球数之和；四模型的建立我们不妨先建立一个两个选手对战的模型，且作出以下规定：1. 根据两选手的技术水平，给定他们每一球胜出的概率。2假设这种概率是恒定不变的，也就是说不考虑其他因素的影响。现有两选手一和二对战，我们现在只拿出一个选手出来作考虑，比如选手一, 因为比赛双方是相对的，确定了的选手一胜率，选手二也随之确定(等于1 减去选手一的胜率)(1)首先计算11分制一局的队员一赢球的概率，我们可以分成二类。一种为 m2=10 且 m1=m2+2；因此：P = C 11Pn + 工 C10 P11(1 P )”2111110+m1 2m =

7、(1, 2,)92P =艺 Cm2P m2+2(1p )m 2122 m + 2m 10且为正整数;2我们就能得出队员一胜一局的总概率为:P 二 P + P1 11 12其次我们再计算在11分制的情况下，三局二胜的概率和七局五胜的概率； 三局二胜的概率为：P = C 3 P 3 + C 2 P 3 G P )+ C 2 P 3 (1 - P 1331311411七局五胜的概率为：P = C 4 P 4 + C 3 P 4 ( P )+ C 3 P 4 ( P ) + C 3 P 4 ( P 1441411511611(2)同理我们再计算21分制一局的队员一赢球的概率，把队员一赢一局分二类。 一

8、为 m2=20 且 m1=m2+2；P = C21P21 + 艺C20P21 (1 -P)m2m=(1, 2, 921 2120+m21 2m -20且为正整数;22202 m2 + 2P =艺 C m2 P m2 + 2 (1 P )m2我们就能得出队员一胜一局的总概率为:p 二 p + p2 21 22我们再计算在21分制的情况下，三局二胜的概率和七局五胜的概率; 三局二胜的概率为：P = C 3 P 3 + C 2 P 3 (1 P )+ C 2 P 3 ( P )2332322422七局五胜的概率为：P = C 4 P 4 + C 3 P 4 G P )+ C 3 P 4 G P )

9、+ C 3 P 4 ( P 2442422522622五模型的求解本文通过用mat lab软件编程，求解可得：1.对11分制的5盘3胜与21分制的3盘2胜制作定量的比较分析如图1：纵坐标表示赢的总概率，横坐标表示每球的胜率如图2：通过以上两图可知：11分制的五局三胜明显比21分制的三局两胜概率大，通过 分制的减少使得比赛更加的精彩，相应的赢得一局的总概率也增大，当选手水平 相差不大时，比赛的偶然性也就增大了，一流的选手可能被二三流选手淘汰，使 得选手们的信心增加，比赛过程也将更加精彩，选手都是殊死对抗，全力以赴。 同时由图可知赢得每一球的概率也就相应的减少了，对于老队员赢的的概率也就 减少了，

10、而对新队员赢得的概率也就增加了，也就说明了比赛偶然性的增加。通 过两种分制的总概率相除得到一个比率系数，通过比率系数的图像我们可以得知 当每个球胜率的概率增加时相应的比率也就随之减少，当胜率达到0.7时，比率 系数也就趋近于1，也就是说当一选手每球胜率的概率能达到0.7时，说明在这 一局中该选手一定能赢。2. 对11分制的7盘4胜和21分制的5盘3胜制作定量的比较分析如图3：纵坐标表示赢的总概率，横坐标表示每球的胜率如图4:通过以上两图；我们能得出与图一和图二相同的结论。六模型的评价优点：1.该模型应用概率统计法来分别计算出11分制和21分制在不同情况下的 概率，我们通过数据和图像来定量的反应

11、不同比赛机制下的情况，使结 果更具有说服力。2该模型得出了不同选手相对胜率不同时，双方不同的最终胜率。为最终 的评价提供了较好的条件。缺点：1.该模型忽略了选手由于心理因素所造成的在关键球时对比赛结果的影 响。2. 没考虑选手进入状态的时间，有些选手进入状态快，而有些选手进入状 态慢，而11分制的改进使得比赛的时间缩短了，选手进入的状态慢也 能对比赛结果产生影响。3. 还有在比赛过程中发球权的改变，由于不同选手对发球取胜的概率不一 样，从而忽略了最终发球权对比赛结果所产生的影响。七综合评析与建议综合评析：由该模型可知，11分制的实行使得比赛的偶然性增加了，比赛的选 手之间的竞争也变得更加激烈了

12、，二三流选手有可能打败一流选手进入决赛，从 而使得一流选手不再像以前那样的十拿九稳了，每一个球队他们来说都是关键， 从而使得选手的心理压力也就变得更大了，但这些我们都是可以克服的，由于比 赛时间的缩短和偶然性的增加，也就有利于比赛形成对抗激烈，场面精彩的比赛。 通过11分制和21分制的比较，我们可以得知由于分制的减少使得每一个球的胜 率的概率也就减少了，这就对一些老队员来说，不再像以前那样容易取胜了，新 队员也不再像以前一样必败无疑了，他们在比赛中都全力以赴，时间的缩短使得 比赛的每分每秒都是精彩的场面，每一局都可能有自己意想不到的结果，使比赛 增加了悬念性，时间的减少也将避免观众由于观看比赛

13、时间过长而产生疲倦和乏 味，从而吸引更多的观众，也将带动身边的朋友一起观看比赛，看多了，自己也 会在现实生活中投入到这种活动中去，也带动身边的朋友投入，与此同时它也能 减缓我们在中作中的压力和有助于眼睛注意力更加的集中，我们的身体也得到了 一个良好的锻练，这也就有利于运动的推广了。同时由于投入的人数的增加，有 利于乒乓球的市场开发，相应的市场销量也就随之增加，也就将有更多的商家加 入到该行业中来，竞争也就会越来越大，产品的质量也就有了良好的保障，同时 咱赞助商的投入也就得到了更大的回报，其企业的知名度也将上升，也就有利于 市场开发和赞助商的利益了。但是利弊是相对的，有利必有弊，由于时间的缩短，

14、使得各级别的选手心理压力 增大，不利于其水平的正常发挥，有可能一流选手大多被淘汰了，进入的都是二 三流选手，不利于比赛的公平性，那么这规则就不好了，同时由于偶然性的增加， 使得选手们就会抱着侥幸的心理去参加比赛，而忘记了进入决赛的主要是技术因 素。建议：选手们应该加强锻炼技术，同时去适应新的比赛制度，决定胜负关键的还 是在于技术，也应该加强由于心理因素所造成负面影响，只有这样我们才能利于 不败之地。参考文献1盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计J.浙江大学：2000.82曾凡辉,王路德,邢文华.运动员科学选材M .北京：人民体育出版社，1992.3叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材M.湖南教

15、育出版社，20034于庆川，乒乓球规则的演变对乒乓球技术发展的影响J，北京体育大学学报：2000.9模型二:二模型假设1. 不考虑选手在比赛过程中途突然离开，并且选手都能正常发挥水平。2不考虑，主队或客队的场地影响。3选手实力相当时，比赛就越精彩。三符号说明B , B表示在对应于A所以考虑的准则；ij=l,2,3,4i ja表示元素B与B相对于准则A的重要性比例标度；jij九 i表示对应的判别矩阵的最大特征根；i=1,2,3,4maxW表示对应于九i的特征向量；imaxCI表示相对应的一致性指标；jRI表示相对应的平均随机一致性指标；jCR 表示相对应的一致性比例。-j四模型的建立我们运用层次

16、分析法建模，对于该模型我们大体上按下面四个步骤进行：1、我们先分析系统中各因素间的关系，建立系统的递阶层次结构；2、对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构造 两两比较函数的判断矩阵；3由于判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行判断矩阵的一致 性检验；4计算各层元素对于系统目标的总排序权重，并进行最后的排序。（1）建立递阶层次结构示意图如下：最高层：这一层由评判标准即各种乒乓球比赛赛制的效益决定，在本题中它是设 定的预定目标或理想结果，因此也称目标层；中间层：这一层次包括了为实现目标所涉及的中间环节，它由四个方面组成(有 利于运动的推广，有利于形成对抗激烈，

17、场面精彩的比赛，有利于它的市场的开 发和赞助商的利益，有利于形成公平的竞争，偶然性不能过高)，包括所需要考 虑的准则，因此也称为准则层；最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施，在本模型中为：11 分制的5盘3胜制比赛，21分制的3盘2胜的比赛，11分制的7盘4胜的比赛，21分 制的5盘3胜的比赛，此层称为方案层。(2) 构造两两比较的判断矩阵在建立了递阶层次以后，此模型的上下层元素间的隶属关系就被确定了。AHP通过两两比较的方法得出权重。针对准则A，二个元素B和B哪一个更重要。表i j一说明了 19比例标度的含义。标度含义1表示两兀素相比，具有相同重要性。3表示两元素相比，前者比后

18、者稍重要。5表示两元素相比，前者比后者明显重要。7表示两元素相比，前者比后者强烈重要。9表示两元素相比，前者比后者极端重要。2,4,6，&表示上述相邻判断的中间值。倒数若元素i与元素j的重要性之比为a ，那么元素j与元素i重要性 ij1之比为s a(/所以我们通过两两比较得到判断矩阵：A=()j nxna是指元素B与B相对于准则A的重要性比例标度。 ijiia =1；我们称判断ii显然我们得知判断矩阵具有如下性质：(1)a 0(2)a =亠(3) jji aj矩阵A为正互反矩阵.(3)单一准则下元素相对排序权重计算，以及判断矩阵的一致性检验. 我们通过特征根的方法来确定相对权重.设W = S

19、,3 ,3 )1332332权重向量，当A为一致性矩阵时，有A =3討1331n.3 -3n3n3n阶判断矩阵的排序因而满足AW= nW ,3 3i而对于一般的判断矩阵有AW =九W，注意得到的对应的权重必须做归一化处理。max九 -n(3)致性检验 计算一致性指标C.I.C.I. = max -n -1在通过查下表二得出对应的一平均随机一直指标R.I.矩阵阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41矩阵阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59致性指标R.I.最后在计算一致性比例C.R.CR =脣当CR0

20、10时我们认为判断矩阵是可以接受的，否则应对判断矩阵做适当的修 正。为了讨论一致性需要计算矩阵最大特征根九，除特征根方法外，可用公式：max/) 工 a 3九上养=丄工十1maxnn1ii=1i(4)计算各层元素对目标层得总排序权重max设B层,B1，B2, B3, B4对上层A中因素的层次单排序一致性指标为CI随机一致性指标为RI ;则层次总排序的一致性比率为：ja CI + a CI + + a CICR = a RI1+a2RI2 + + amR厂1122mm当CR0.1时，认为层次总排序通过一致性检验，所以最后我们就可以根据最下层的层次总 排序做出最后的决策。五模型的求解通过专家分析评

21、得：偶然性地增加，二三流选手有可能打败一流选手进入决赛， 使得选手们在比赛中都更加有信心，更加全力以赴，使比赛竞争越加精彩，同时 一流选手落败的可能性也就变大了，不能像以前一样能够十拿九稳了。因为以前 在21分制中，即使他们在上半场中没有发挥好，在下半场调整心态，仍然有机 会反败为胜，而现在的11分制机会就会大大下降了，每一个球都是关键，不能 有丝毫松懈，否则就有可能落败下来，因此，双方就会殊死对抗，全力以赴，比 赛就会变得更加激烈，更加精彩，也就是说；“有利于形成对抗激烈，场面精彩 的比赛。”但是11分制5盘3胜中，虽然比赛对抗激烈，但这个制度是不符合情 理的这个偶然性大到了三四流选手进入了

22、决赛，而一流选手纷纷被淘汰了。同时 在11分制中，由于时间的缩短，减缓了观众由于观看比赛时间过长而产生疲倦、 乏味，时间的减少，使得每分每秒都是精彩的时刻，每局比赛都可能有自己意想 不到的结果，也就吸引了更多的观众去观看比赛，看多了，自己也会在现实生活 中投入到这种活动中去，也带动身边的朋友投入，与此同时它也能减缓我们在中 作中的压力和有助于眼睛注意力更加的集中，我们的身体也得到了一个良好的锻 炼，也就是说：“有利于运动的推广。”同时由于投入的人数的增加，有利于乒乓 球的市场开发，相应的市场销量也就随之增加，也就将有更多的商家加入到该行 业中来，竞争也就会越来越大，产品的质量也就有了良好的保障

23、，同时咱赞助商 的投入也就得到了更大的回报，其企业的知名度也将上升，也就是说：“有利于 市场开发和赞助商的利益。”但是利弊是相对的，有利必有弊，由于时间的缩短，使得各级别的选手心理压力 增大，不利于其水平的正常发挥，有可能一流选手大多被淘汰了，进入的都是二 三流选手，不利于比赛的公平性，那么这规则就不好了，同时由于偶然性的增加， 使得选手们就会抱着侥幸的心理去参加比赛，而忘记了进入决赛的主要是技术因 素，因此在权值设定时有利于比赛的公平，偶然性不至于过高，此权值不应过低， 否则不利于比赛。=4.0961max九 -nC.I. = max=0.0320n -1通过专家从上面角度的分析，评价及构造

24、相应的判断矩阵。AB1B2B3B4WB11351/40.2300B21/3121/60.0938B31/51/211/80.0551B446810.6212R.I.=0.89C.R. =0.03720.1R.I.B1C1C2C3C4W1C1121/240.2667C21/211/420.1333C324180.5333C41/41/21/810.0667九-nC.I.1=4.0000C.I.1= max =0.0000R.I.1=0.89C.R1=.=0.0000.0.1maxn 1R.I.B2C1C2C3C4W2C1131/240.2865C21/311/530.1248C335170.52

25、75C41/41/31/710.0612九-nC.I.2=4.0816 C.I.2= max =0.0816R.I.2=0.89C.R2=.=0.0917.0.1maxn 1R.I.B3C1C2C3C4W3C1121/220.2500C21/211/410.1250C324140.5000C41/211/410.1250九-nC.I.3=4.0000 C.I.3= max =0.0000R.I.3=0.89C.R3=.=0.0000.0.1maxn 1R.I.B4C1C2C3C4W4C1121/330.2323C21/211/420.1377C334150.5462C41/31/21/510.

26、0838九-nC .I.4=4.0511 C.I.4= max =0.0511R.I.4=0.89C.R4=.=0.0574.0.1maxn 1R.I.对总体的一致性检验有:aCI + a +a CICR = a RI1+a 2RI2 + + amRIm1122mm=(0.2300*0.0000+0.0938*0.0816+0.551*0.0000+0.6212*0.0511) /0.89=0.03940.10.26670.13330.5333、0.06670.2865 0.25000.1248 0.12500.5275 0.50000.0612 0.12500.2323Y 0.2300、0.

27、13770.54620.09380.05510.0838人0.6212 丿0.24630.13480.5990.0.0800丿W=（0.2463,0.1348,0.5990,0.0800）所以我们可以得知乒乓球的赛制我们最好选取11分制的7盘4胜其次依次为11分制的5盘3胜，21分制的3盘2胜，21分制的5盘3胜。六模型的评价采用层次分析法的优点：（1）系统性 层次分析法把所有的研究对象作为一个系统，按照分解，比较判断 综合的思维方式进行决策，成为继机理分析。统计分析之后发展起来的系统分析 的重要工具。（2）实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优 化技术无法着手的实际

28、问题，应用范围很广，同时，这种发法使得决策者与决策 分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。（3）简洁性计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌 握；采用层次分析法的局限性。第一该法中的比较，判别以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高 的问题。第二 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响 很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采用专家群体判断的办法是 克服这个缺点的一种途径。第三未考虑人对复杂事物判断的模糊性，过于刚性。七模型的改进1.改进的方法本文对判断矩阵进行改进，使其考虑人在分析和思想时的模糊性，改

29、进如下： 具体评分时对于判断矩阵A = C ）的元素a.，专家用三角模糊数标出两两指标 j nxnj间的相互关系，首先标出最有可能值m，表示对两指标相互关系的基本评价。接 着标出上下界a和b。下界表示专家认为可能的最低评分，上界表示可能的最高 评分，则指标i相对于指标j的权重：a + 4m + ba =. b方差为：华罗庚教授曾对类似公式做过说明，a是最高评分的可能性比较小，更多 的是最优可能值近似服从于正态分布。假定m的可能性2倍于a或b的可能性，应用加权平均法：在（a,m）间的平均值为（a +2m）/3,在Cm, b）间的平均值（2m+b）/3,则分布可以用（a +2m） /3和（2m+b

30、） /3各以（1/2）可能性出现的分布来 代表：a + 4m + bij1cy 226a + 4m + b 2m + b 22f b - a )2I 63 J:6丿而方差:a + 4m + b a + 2m )26-3 丿2两者有所不同，说明文本的改进方法考虑了对事物判断的模糊性，克服了层次 分析评价过于刚性的特点。3本文提出了层次分析的一种改进并将其推广到对定性指标的评价，最后用算 例作了说明。此改进方法考虑了对复杂事物判断的模糊性，而且计算方便为评价 问题提供了一种有效的方法。参考文献1 许树柏.层次分析法原理M .天津:天津大学出版社，1988.2 曾凡辉,王路德,邢文华.运动员科学选材M .北京:人民体育出版社，1992.3 叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材M.湖南教育出版社，20034 于庆川，乒乓球规则的演变对乒乓球技术发展的影响J,北京体育大学学报：2000.9