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1、第八讲 线性微分方程(2),高等教育电子音像出版社,宁波大学 陶祥兴等 编,本节内容提要,一、准备工作. 二、指数矩阵的定义和性质. 三、基解矩阵的计算公式. 四、拉氏变换及应用.,一、准备工作.,在前面一讲中，除了基解矩阵，我们已经得到了线性微分方程组的通解表达式，对一般的齐线性微分方程组，我们还无法求基解矩阵，但对常数，齐线性微分方程组，我们可以求出它们的基解矩阵. 我们将考虑形式为：,的方程组，其中,常数矩阵.,为,为了下面的需要，我们要定义矩阵函数的范数，收敛，一致收敛等.,1.范数,对于,容易知道有下面的关系式：,矩阵,维向量,和,我们定义它们的范数为,2.收敛 向量序列,，,称为收
2、敛的，,如果对每个,数列,矩阵序列的收敛类似.,收敛，,向量函数序列,，其中,称为在区间,上收敛（一致收敛），如果对,每个,函数列,是收敛的,向量函数积数,（一致收敛的）.,称为在区间,敛的（一致收敛的），如果其部分和是收敛的(一致收敛的）.,上收,而,，则,在,内一致收敛.,或,则,内一致收敛.,与标量函数的情况类似，向量或矩阵形式的函数 也有优级数定理，也就是说，如果,二、指数矩阵的定义及性质,现在我们可以考虑方程组,首先我们来定义指数矩阵,，其中,是常系数的矩阵.,有定义.,若,是,阶的常数矩阵，指数矩阵定义为：,其中,为单位矩阵，规定,.由优级数定理,知对任意的常数矩阵,，级数都是收敛
3、的，因此,指数矩阵,如果,证明：,这里用到了,有下列性质,可交换，即,，则,及二项展开公式.,另一方面,这里用到了绝对收敛级数的乘法公式及 比较这两个结果可知结论成立.,对任何矩阵,证明：显然,，,存在，且,与,可以交换，因此,如果,证明：,是非奇异的矩阵，则,定理9: 矩阵,证明:,是方程,的基解矩阵,且,.,例1.如果,则,是一对角矩阵,证明：,事实上，这个方程组相当于,例2,解：,显然,个方程,，试求,与,可以交换（因为,）.,注意到:,三、基解矩阵的计算公式,方程,我们希望得到型如,这个方程（,的基解矩阵为,那么,如果计算,呢？我们需要一些代数知识,的解.其中常数,和向量,待定，则,为
4、未知量）有非零解的条件是,我们引进下面的定义,假设,这样，当,是,的常数矩阵，使得关于,代数方程,的线性,具有非零解的常数,称为,的一个特征值，对应的,称为对应于,的特征向量.,次多项式,称为,的特征,多项式，,次代数方程,称为,的特征方程.,为,的特征值，,为对应的特征向量，,的一个解.,就是方程,显然,如果,有,个特征值.如果,是,的单根，则称,简单特征根.如果,是,的,重根，则称为,重特征根.,的特征值都是单根，由代数学知识知道，这些单根对应的特征向量是线性无关的，因此这,个解实际上就构成了基解矩阵，而当这些特征根不全是单根时，基解矩阵相对复杂很多.,例1 求,解:,的基解矩阵.,的所有
5、特征向量为,的所有特征向量为,该基解矩阵是元素为复值的基解矩阵,我们可 以求出它的 .设,利用上述公式得,假设 是,矩阵，,是,的不同的,特征值，重数分别为,，整个空间,且,对每个 ，,的全体,的解构成,个,维的子空间,现在我们来讨论当,计算方法.,是任意,矩阵时的,例2 求初值问题 并求 .,解:,综上所述，对任意 ，如果我们能够计算 ，就能够知道 了，对 ，作分解 ，其中 ，则,例3 考察方程组,解：,首先考虑,试求,容易解得,其次考虑,解得,则,，其中,是任意常数.,，其中,是任意常数.,对,，设,其中,因此,分别令,得到,注意到,的表达式前面有,，我们有,下面的定理,计算 得另外两种方
6、法,1.利用Jordan标准型计算 .,由高等代数知,任何矩阵 都和一个Jordan标准型 相似.即存在非退化矩阵 使得,为Jordan块.,为 阶Jordan块.,为 的特征根.,而,2.美国数学月刊（1966）73卷第1期给出的一种方法,其中,为Cauchy问题,的解. 为 的特征值,且不必相异.,我们用该法求例3的 .,首先对特征值任意排序: ,并求解Cauchy问题,常系数线性方程解的渐近行为.,前面我们具体的计算了解的表达式正如下面的定性理论所说的那样，有时不一定或者求不出解，我们有下面的渐近行为：,定理1:给定常系数线性微分方程,.若.,若,若,则:,的所有特征值的实部是负的,则方
7、程任一,均有,解,的所有特征值的实部非负,且实部为零的,特征值为简单特征值,则方程任一解,在右半,区间,保持有界.,的特征值至少有一个具有正实部,则方程,至少有一解,使得,.,简证:据常系数线性微分方程组解的公式，任一解 有形式,为多项式,且,考虑 的任一分量,取它的一特征向量 .,则 为 的解,且,非齐常系数线性方程的常数变易公式,求上式满足初始条件 的特解 ,取 则由常数变易公式得,例4 求解Cauchy问题,解:由例1知,据(*)得,三、Laplace变换法及应用,我们前面用拉氏变换解常系数高阶线性微分方程，其实也可以解方程组.为此要把拉氏变换推广到向量值的情形，定义,考虑,其中,为,常
8、数矩阵，,上的连续,为,维向量函数.,我们有定理:如果存在常数,的解,及,使得,对充分大的,成立，,则初值问题,及其导数,满足（*）类似的不等式，从而相应的Laplace变换存在.,证明:存在充分大的 使得,推论:若对数值函数 ,存在常数 和 使得不等式,的解 及其直到 阶导数均存在Laplace变换.,对所有充分大的 成立,则 阶常系数线性方程初,值问题,例1 利用Laplace变换求解初值问题,解:写成分量形式,取Laplace逆变换并查Laplace变换表得,例2 利用Laplace变换求解初值问题,解:写成分量形式,并求其基解矩阵.,查表得,查表得:,基解矩阵为,例3 利用Laplac
9、e变换求解初值问题,解:写成分量形式,查表得,利用Laplace变换求 的基解矩阵,考虑满足初值条件 的解,解:由公式 得,例4 求 的一个基解矩阵,令,基解矩阵为,2.设 是方程组 的定义于区间 上且满足初始条件 的解，则 是积分方程 的定义于 的连续解。,第八讲练习,一、填空题,1.如果 是 矩阵， 是 维列向量，则 时，方程组 满足初始条件 的解在 上存在惟一。,3.若 是常系数线性方程组 的基解矩阵， 则 。,4.若矩阵A具有n个线性无关的特征向量 ， 它们对应的特征值分别是 ，那么矩阵 是常系数线性方程组 的一个基 解矩阵。,5.在用皮卡逐步逼近法求方程组 ， 的近似解时，若取 ，则 。,6.若 和 都是 的基解矩阵，则 与 具有关系：。,7.若矩阵 具有 个线性无关的特征向量 它们对应的特征值分别是 那么矩阵 是常系数线性方程组 的一个 基解矩阵。,8.假设 分别是矩阵 的 重不 同特征值，且 则 的满足初始条件 的解 为： 。,二、计算题,1.试用逐步逼近法求方程组,满足初始条件 第三次近似解。,2.求 的通解.,3.若 ，试求 。,4. 求方程组,的基解矩阵.,5.求解矩阵 的特征值和特征向量.,6.试求方程组 ，其中 的基解矩 阵，并求满足初始条件 的解 .,
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