2021版高考数学一轮复习第十二章计数原理概率随机变量及其分布126条件概率与独立事件二项分布正态分布练习理北师大版

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1、12.6 条件概率与独立事件、二项分布、正态分布核心考点精准研析考点一条件概率、事件的独立性1.市场调查发现,大约的人喜欢在网上购买家用小电器,其余的人则喜欢在实体店购买家用小电器.经工商局抽样调查发现网上购买的家用小电器合格率约为,而实体店里的家用小电器的合格率约为.现工商局12315电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉,则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的可能性是 ()A. B.C.D.2.质检部门对某工厂甲车间生产的8个零件质量进行检测,零件质量(单位:克)分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.质检部门从中随机抽取4件进行检测,若至少2件合格,检测即可通过,若至少3 件

2、合格,检测即为良好,则甲车间在这次检测通过的条件下,获得检测良好的概率为()A.B.C.D.3.如果an不是等差数列,但若kN*,使得ak+ak+2=2ak+1,那么称an为“局部等差”数列.已知数列xn的项数为4,记事件A:集合,事件B:xn为“局部等差”数列,则条件概率P=()A.B.C.D.4.甲、乙两人玩投篮游戏,规则如下:两人轮流投篮,每人至多投2次,甲先投,若有人投中即停止投篮,结束游戏,已知甲每次投中的概率为,乙每次投中的概率为,求:乙投篮次数不超过1次的概率.【解析】1.选A.不合格小电器在网上购买的概率为=,不合格小电器在实体店购买的概率为=,所以这台被投诉的家用小电器是在网

3、上购买的可能性是=.2.选A.设事件A表示“2件合格,2件不合格”;事件B表示“3件合格,1件不合格”;事件C表示“4件全合格”,事件D表示“检测通过”,事件E表示“检测良好”,则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=+=.所以P(E)=.3.选C.由题意知,事件A共有=120个基本事件,事件B:“局部等差”数列,共有以下24个基本事件,(1)其中含1,2,3的局部等差的分别为1,2,3,5和5,1,2,3和4,1,2,3共3个, 含3,2,1的局部等差数列的同理也有3个,共6个.(2)含3,4,5的和含5,4,3的与上述(1)相同,也有6个.(3)含2,3,4的有5,2,3,4和2,3,4

4、,1共 2个,(4)含4,3,2的同理也有2个.(5)含1,3,5的有1,3,5,2和2,1,3,5和4,1,3,5和1,3,5,4共4个,(6)含5,3,1的也有4个.所以P(B|A)=.4.记“甲投篮投中”为事件A,“乙投篮投中”为事件B.“乙投篮次数不超过1次”包括三种情况:一种是甲第1次投篮投中,另一种是甲第1次投篮未投中而乙第1次投篮投中,再一种是甲、乙第1次投篮均未投中而甲第2次投篮投中,所求的概率是P=P(A+B+A)=P(A)+P(B)+P(A)=P(A)+P()P(B)+P()P()P(A)=+=.所以乙投篮次数不超过1次的概率为.1.条件概率的3种求法定义法先求P(A)和P

5、(AB),再由P(B|A)=求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件AB所包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=缩样法缩小样本空间的方法,就是去掉第一次抽到的情况,只研究剩下的情况,用古典概型求解,它能化繁为简2.相互独立事件同时发生的概率的两种求法(1)直接法:利用相互独立事件的概率乘法公式.(2)间接法:从对立事件入手计算.考点二n次独立重复试验、二项分布【典例】1.种植某种树苗,成活率为0.9.若种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率约为()A.0.33B.0.66C.0.5D.0.452.某气象站天气预报的准确率为80%,计算:(

6、结果保留到小数点后2位) (1)5次预报中恰有2次准确的概率;(2)5次预报中至少有2次准确的概率;(3)5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确的概率.【解题导思】序号联想解题1种5棵成活4棵联想到n次独立重复试验恰好发生k次的概率公式2(1)联想到用公式pk(2)由“至少2次”联想到对立事件“最多1次”,即0次,1次(3)转化为4次独立重复试验恰好发生1次的试验模型【解析】1.选A.根据n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率公式得到种植这种树苗5棵,则恰好成活4棵的概率为0.94(1-0.9)0.33.2.令X表示5次预报中预报准确的次数,则XB5,故其分布列为P(X=k)=k1

7、-5-k(k=0,1,2,3,4,5).(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X=2)=21-3=100.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-01-5-1-4=1-0.000 32-0.006 40.99.(3)“5次预报中恰有2次准确,且其中第3次预报准确”的概率为1-30.02.1.熟记概率公式 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为pk(1-p)n-k.2.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点(1)在每一次试验中,事件发生的概率相同.(2)各次试验中的事件是相互独立的.(3)在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发

8、生与不发生.1.位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是,质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是()A. B.C.D.【解析】选B.如图,由题可知,质点P必须向右移动2次,向上移动3次才能位于点(2,3),问题相当于5次重复试验向右恰好发生2次的概率.所求概率为P=23=5=.2.设随机变量B(2,p),B(4,p),若P(1)=,则P(1)=_.【解析】P (1)=1-P(2)=0.023,则P(-22)=()A.0.447 B.0.628 C.0.954D.0.9772.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了

9、该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(,22),且正态分布密度曲线如图所示.若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况,则这1 000名男生中属于正常情况的人数是A.997 B.954C.819D.683【解析】1.选C.因为随机变量服从标准正态分布N(0,2), 所以正态曲线关于直线x=0对称.又P(2)=0.023,所以P(-2)=0.023.所以P(-22)=1-20.023=0.954.2.选D.由题意,可知=60.5,=2,所以P(58.5X62.5)=P(-X+)=68.3%,从而属于正常情况

10、的人数是1 00068.3%=683.3 原则的应用【典例】1.在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点,则落在曲线C下方(曲线C为正态分布N(1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为 ()附:正态变量在区间(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内取值的概率分别是68.3%,95.4%,99.7%.A.4 985 B.8 190 C.9 970 D.24 5582.工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N4,问在一次正常的试验中,取1 000个零件时,不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个?【解析】1.选B.由题意P(0X3)=P(0X2)+P(2X5)=1-P(3X5)=1-

11、P(4-1X4+1)=1-P(-3X+3)1-99.7%=0.3%,所以1 0000.3%=3个,即不属于区间(3,5这个尺寸范围的零件大约有3个.正态分布与统计的交汇问题【典例】近年来“双十一”已成为中国电子商务行业的年度盛事,并且逐渐影响到国际电子商务行业.某商家为了准备2021年“双十一”的广告策略,随机调查了1 000名客户在2020年“双十一” 前后10天内网购所花时间T(单位:时),并将调查结果绘制成如图所示的频率分布直方图.由频率分布直方图可以认为,这10天网购所花的时间T近似服从N(,2),其中用样本平均值代替,2=0.24.(1)计算,并利用该正态分布求P(1.51T2.49

12、).(2)利用由样本统计获得的正态分布估计整体,将这10天网购所花时间在(2,2.98)小时内的人定义为目标客户,对目标客户发送广告提醒.现若随机抽取10 000名客户,记X为这10 000人中目标客户的人数.任取一人,求该人是目标客户的概率;问:10 000人中目标客户的人数X为何值时概率最大?附:若随机变量Z服从正态分布N(,2),则P(-Z+)=68.3%,P(-2Z+2)=95.4%,P(-3Z+3)=99.7%.0.49.【解析】(1)0.4(0.0500.8+0.2251.2+0.5501.6+0.8252.0+0.6002.4+0.2002.8+0.0503.2)=2,从而T服从

13、N(2,0.24),又=0.49,从而P(1.51T2.49)=P(-T+)=68.3%.(2)任意抽取1名客户,该客户是目标客户的概率为P(2T2.98)=P(T+2)=P(-2T+2)=95.4%=47.7%.X服从B(10 000,0.477),P(X=k)=0.477k(1-0.477)10 000-k=0.477k0.52310 000-k(k=0,1,2,10 000).设当X=k(k1,kN)时概率最大,则有得解得4 770-0.523k4 770+0.477 0,所以k=4 770.所以10 000人中目标客户的人数为4 770时概率最大.1.已知随机变量X服从正态分布N(3,

14、2),则P(X3)等于 ()A. B. C.D.【解析】选D.由正态分布图像知,=3为该图像的对称轴,P(X3)=.2.随机变量X服从标准正态分布,则X的总体在区间(-3,3)内取值的概率为 ()A.99.8%B.99.7% C.94.4%D.84.1%【解析】选B.标准正态分布N(0,1),=1,区间(-3,3),即(-3,3),概率P=99.7%.1.设随机变量服从正态分布 N(1,2),则函数f(x)=x2+2x+不存在零点的概率为 ()A.B. C.D.【解析】选C.函数f(x)=x2+2x+不存在零点,则=4-41,因为N(1,2),所以=1,P=.2.“过大年,吃水饺”是我国不少地

15、方过春节的一大习俗.2020年春节前夕, A市某质检部门随机抽取了100包某种品牌的速冻水饺,检测其某项质量指标, (1)求所抽取的100包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(2)由直方图可以认为,速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N(,2),利用该正态分布,求Z落在(14.55,38.45)内的概率;将频率视为概率,若某人从某超市购买了4包这种品牌的速冻水饺,记这4包速冻水饺中这种质量指标值位于(10,30)内的包数为X,求X的分布列.附:计算得所抽查的这100包速冻水饺的质量指标的标准差为=11.95;若ZN(,2),则P(-Z+)=68.3%,P(-2Z+2)=95.4%.【解析】(1)所抽取的100包速冻水饺的该项质量指标值的样本平均数为=50.1+150.2+250.3+350.25+450.15=26.5.(2)因为Z服从正态分布N(,2 ), =26.5,11.95,所以P(14.55Z38.45)=P(26.5-11.95Z26.5+11.95)=68.3%,所以Z落在区间(14.55,38.45)内的概率为68.3%.根据题意得XB4,所以P(X=0)=4=,P(X=1)=4= ;P(X=2)=4= ;P(X=3)=4= ;P(X=4)=4=.所以X的分布列为X01234P