第二节空间直线及其方程

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1、第六节 空间直线及其方程在空间直角坐标系中：在空间直角坐标系中：一个三元一次方程表示一个平面；一个三元一次方程表示一个平面；),(zyxF空间直线空间直线一个三元二次方程表示一个曲面；一个三元二次方程表示一个曲面；两个曲面的交线表示一空间曲线；两个曲面的交线表示一空间曲线；两个平面的交线表示（两个平面的交线表示（）。）。第 八节 空间直线及其方程 直线的点向式方程 直线的一般方程 直线的参数方程两直线的夹角 直线与平面的夹角 例题、练习与思考一一.空间直线的一般方程空间直线的一般方程 实际上空间直线可以看作两个平面的交线：实际上空间直线可以看作两个平面的交线：直线上任一点的坐标同时满足两个平面

2、方程直线上任一点的坐标同时满足两个平面方程,直直线外的点不可能同时在两个平面上。线外的点不可能同时在两个平面上。LABCL DzCyBxADzCyBxA空间直线一般方程表示式空间直线一般方程表示式-5-2.502.55-5-2.502.55-50510-5-2.502.55L043201zyxzyx例如例如:空间直线一般方程表示式空间直线一般方程表示式 通过空间直线L的平面有无数多个，从中任两个方程联立，均表示空间直线L。LL.00;00:.轴也表示轴表示例如所以直线方程不唯一yzxzxyzx二二.空间直线的对称式方程与参数方程空间直线的对称式方程与参数方程 直线的对称式方程 （点向式方程）p

3、zznyymxxsM(x,y,z),(zyxMxzyO1.对称式方程对称式方程(点向式点向式)方向向量方向向量:如果一个非零向量s平行于一条已知直线，这个向量s就叫做该直线的方向向量。直线上任一向直线上任一向量都与量都与s s平行平行.Ls对称式方程的建立依据：过空间一点可以做且只可做一条直线与已知直线平行，故当已知直线上一点M0与一个方向向量s，则直线位置完全可以确定下来。),(zyxMsM(x,y,z)对称式方程对称式方程对称式方程的建立已知直线已知直线L L上一点上一点 与一个方向向量与一个方向向量s=m,n,ps=m,n,p，M(x,y,z)M(x,y,z)是是直线上任一点直线上任一点

4、,则则),(zyxM（1）向量向量 与方与方向向量向向量 s=m,n,ps=m,n,p平行；平行；（2 2）两个向量坐标对应成比例；即有）两个向量坐标对应成比例；即有,zzyyxxMMpzznyymxx称之为直线对称式方程.方向数与方向余弦方向数与方向余弦 方向数：直线的任一方向向量的坐标，即 设直线的方向向量 s=m,n,p,则m,n,p为该直线的一组方向数。向量s的方向余弦叫作该直线的方向余弦。即,cos,cos,cos pnmppnmnpnmm 三三.直线的参数方程直线的参数方程 由直线的对称式方程可以导出直线的参数方程。只须设tpzznyymxx 则有 ptzzntyymtxx这就是直

5、线这就是直线L L的的参数方程参数方程.这里这里t t为参数为参数.例例1 求过点M0 (4,-1,3)且平行于直线L1的直线方程.51123:1zyxL解解 设已知直线设已知直线L1的方向向量的方向向量s1=2,1,-5=2,1,-5所求直线所求直线L L方向向量为方向向量为s s，因为因为s s平行平行s1可取可取s=2,1,-5;s=2,1,-5;又因为直线又因为直线L过点过点M0 (4,-1,3)，故，所求直线方程故，所求直线方程L为：为：zyxs1L1sM0例例2求以下直线的对称式方程解解 （1）求求s,s,已知相交于已知相交于 直线的两个平面法向量分别直线的两个平面法向量分别为为n

6、1=3,2,4,=3,2,4,n2=2,1,-3,=2,1,-3,则有则有 即即 s=-10,17,-1.(2)求点求点M0,令方程组中令方程组中z=0,则由则由zyx zyxzyx312423kjis01201123yxyx点的确定方法不唯一点的确定方法不唯一.也可以令也可以令y=1y=1等等等等得得M0=(-9,19,0).故所故所求直线方程求直线方程L为：为：kjikji1710)34()98()46(四四.两直线的夹角两直线的夹角两直线夹角的定义：两直线方向向量之间的夹角（锐角）叫作两直线的夹角.s1=m1,n1,p1s2=m2,n2,p2L1L2设直线设直线 L1的方向向量的方向向量

7、s1=m=m1 1,n,n1 1,p,p1 1,设直线设直线 L2的方向向量的方向向量s2=m=m2 2,n,n2 2,p,p2 2,则直线则直线 L1与直线与直线L2的夹角的余弦公式为的夹角的余弦公式为：pnmpnmppnnmm|cos两直线的夹角的余弦公式两直线的夹角的余弦公式 两个结论：两个结论：1.若直线 L1与直线 L2平行，则有kppnnmmsksLL2121212121/两直线平行图示两直线平行图示两直线垂直图示两直线垂直图示00cos21212121ppnnmmLL 2.若直线 L1与直线 L2 垂直，则有图示例题例题已知直线13411:1zyxL1222:2zyxL解解 由所

8、给方程知由所给方程知 s1=1，-4，1,s2=2，-2，-1，代入夹角公式可得代入夹角公式可得222222)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos 求两直线的夹角.4.2221 四四.直线与平面的夹角直线与平面的夹角 定义直线与平面的夹角设直线 L的方向向量 s=m,n,p设平面的法线向量 n=A,B,C则定义s 与n 的夹角为直线 L与平面的夹角.记作.Ax+By+Cz+D=0n=A,B,Cs=m,n,ppzznyymxxL000:L直线与平面的夹角（图示）直线与平面的夹角（图示）这是平面与直线L的交角这是直线L与其在平面上投影的交角四四.直线与平面的夹角直线与平面的夹角

9、夹角公式：夹角公式：sin)2cos(|cos222222CBApnmpCnBmA已知直线L的方向向量为（m,n,p）平面的法向量为（A，B，C），则有n=A,B,Cs=m,n,p 两个结论：两个结论：1.若直线 L与平面平行，则nsns，于是 pCnBmAL/n=A,B,Cs=m,n,pL/图示pzznyymxx L：s=m,n,p Ax+By+Cz+D=0pCnBmAL 2.若直线 L与平面 垂直，则则ns，于是n=A,B,Cs=m,n,ppzznyymxx L：Ax+By+Cz+D=0 平行平行练习练习 思考思考 讨论讨论确定下面直线与平面的位置关系确定下面直线与平面的位置关系：（1）.

10、4x-2y-2z=3,与与（2）.3x-2y+7z=8,与与（3）.x+y+z=3,与与 zyx zyx zyx直线在平面上垂直垂直求直线与平面交点求直线与平面交点n=A,B,C：Ax+By+Cz+D=0pzznyymxxL：s=m,n,p),(zyxMM(x,y,z)图示图示怎样才能求出交点M？例题例题 已知平面 2x+y+z-6=0及直线 L解解 令直线方程tzyx241312 求其交点.zyx得 x=2+t y=3+t z=4+2t （1）代入平面方程，得 2 2（2+2+t t）+(3+t)+(4+2t)-6=0+(3+t)+(4+2t)-6=0整理得5t=-5,即t=-1将t=-1代

11、回方程组（1）有x=1,y=2,z=2.即点（1，2，2）为该直线与已知平面的交点解法2，将直线方程化为一般式与已知平面联立解得.L五五.综合例题综合例题解（方法一）(1)过点P作平面垂直于直线L，则平面法向量 n平行于直线方向向量s，即nPQskikjisnn=2,0,-1,P(0,-1,1),得平面方程 2x-z+1=0.(2)求直线与平面的交点，解方程组y+2=0 x+2z-7=02x-z+1=0 即得 Q（1，-2，3）(3)即为所求.)()()(|PQdx=1,y=-2,z=3.图示图示1.求点求点P(0,-1,1)到直线到直线 y+2=0 x+2z-7=0的距离的距离.L五五.例题

12、例题解（方法二）以|PQ|为高作一个平行四边形如图。则d=|PQ|=平行四边形的高。PQskjikjisPM (1)在L上求出一点M0，不妨令已知方程组 z=0 可得 M0(7,-2,0).(2)由上面知 s=2,0.-1,另作向量 于是有,PMM01.求点求点P(0,-1,1)到直线到直线L的距离的距离.图示图示07202:zxyL续上续上(3)即为所求.dd 即为所求平行四边形的高PQ.|sSPQdLPQsM01.求点求点P(0,-1,1)到直线到直线y+2=0 x+2z-7=0 的距离的距离.图示图示|sSPQsMPS由向量积的几何意义知：平行四边形面积五五.综合例题综合例题（直线方程形

13、式互化直线方程形式互化）1.将直线化为参数方程和对称式方程.解解 （1）求参数方程，求参数方程，令令 zyx？tzyx ;tztytx此即所要求的参数方程此即所要求的参数方程.2.将直线对称式方程L化为一般方程.解解 （2）求一般方程，求一般方程，由由32141:zyxL？zyyxyzyx即为所要求的一般方程即为所要求的一般方程.3.将直线的一般方程L化为标准方程（即对称式方程）.解解 先求点Mo，不妨令y=0,则有 x=1,z=-2，即 Mo(1,0,-2);,yzyxkjikjinns,nn带回标准方程，得结果如左.再求 s,由32141zyx练习练习.思考思考.讨论讨论zyx1.求过点求

14、过点A（3，-2，1）且垂直于直线）且垂直于直线 的平面方程的平面方程.2.用参数方程与对称式方程表示直线：用参数方程与对称式方程表示直线：311121zyx对称式方程：tztytx31121参数方程：421zyxzyx0)1()2()3(.1zyx答案：3.验证两条直线 L1,L2是否共面.其中答：共面.可以由前三个平面方程联立解得：x=4,y=5,z=-7,代入第四个平面方程检验，满足该方程。提示提示任取三个平面方任取三个平面方程联立，解出交程联立，解出交点后代入并满足点后代入并满足第四个平面方程，第四个平面方程，则两直线共面则两直线共面.)(,)(,)(,)(,:zyxzyxLzyxzyxL4.证明两条直线 L1,L2相互垂直.其中.,:zxyxLzyyxL证明：由已知证明：由已知kjikjis kjikjis ss 先求出两条先求出两条直线的方向向量，直线的方向向量，再由两个方向向再由两个方向向量的数量积为零量的数量积为零证得证得.提示提示小结小结空间直线方程：空间直线方程：（用三元一次方程表示）（用三元一次方程表示）向量式向量式一般式一般式点向式点向式参数式参数式t srr 0022221111DzCyBxADzCyBxApzznyymxx ptzzntyymtxx