现代数值模拟方法及其应用

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1、现代数值模拟方法及其应用这是一门什么样的课？ 研究生的全校公选课。 （怎么讲，有待实践和探讨）假设应当具有的基本知识 高等数学 如微积分、级数展开、微分方程 线形代数、概率统计 问题：关于级数展开及其应用 答： * 当x较小时，可取前面几项作为函数的近似* 当函数形式未知时，可用级数逐项逼近 计算机编程 包括 Linux 系统、画图和数据分析软件， 例如 xmgrace，mitlab 问题：A=0.0D+00DO 10 I=1,10A=A+1.0D+00*I10 CONTINUE代表什么含义 物理学 （50内容或多或少与物理学有关） 最理想是学习过普通物理学 或者中学的物理学，能理解基本的物理

2、问题 比如，物理是研究物质的结构和运动的学科 物质有各种形态，如气态、液态和固态等 物质的运动遵从一定的运动规律 如运动方程，分布函数等 问题：力学、统计物理和量子力学的基本知识 化学、生物学和经济学 简单的基本知识基本的英文阅读和书写能力课程目的 不打算非常系统地讲授种种数值模拟方法 因为时间有限、精力有限 重点讲两种方法 Monte Carlo模拟 和 分子动力学 简单介绍一些重要的基本方法 一定程度上给出数值模拟方法的概况目的是学习应用计算机模拟方法研究科学问题 至少了解如何用计算机模拟方法研究科学问题 包括 方法本身科学问题的表述，模型化Ising模型的种种应用l 磁性系统 代表磁子，

3、可研究磁性材料特性、相变l 粒子系统 代表粒子和空穴，可研究输运过程l 二元合金 代表两种不同成分，可研究合金特性、动力学行为l 金融市场 代表买卖，可研究市场的统计性质 动力学特征l 社会 代表男人女人 方法的适用性、有效性，和方法的发展 数值模拟，如测试 数据分析 问题： 如何开始研究 结果评估计算量估计撰写论文换句话说，想告诉大家一些数值模拟研究的思路、方法和体会。这门课不是一门纯粹的理论课程，略偏向实用课程课程内容取材原则 简单、经典、前沿 教师的当前研究课题为什么学习和应用数值模拟方法？（大道理）l 过去20年计算机工业的高速发展不算网络，我看到三个时代 80 年代的大机器 （图片）

4、 90 年代的工作站 （在德国的经历） 00 年代的PC机 （有人要扔掉两年的PC机）按郝柏林院士的意思，你在赶路，如没赶上时代的高速列车，多少会失去一些东西计算机速度指数增长 过去28年，计算机能力增长64 000倍 即没34年增加4倍 （过去十来年更快些）计算方法带来的计算效率的高速增长 （软件、算法等）10 times larger at every 4 years问题： 这样的增长的前景 * 计算能力逼近微观世界 * 计算机器件面临量子极限l 计算科学是实验科学和理论科学之外科学的第三分支 具有相当有特色的创造性既有理论的特点，又有实验的特征作为理论，趋于准确 具有相当普适性作为实验，

5、极端和理想 (高温高压，纯净) 多快好省搭起实验和理论之间的一座桥梁l 适合进行交叉学科研究数值模拟方法具有普适性对学科的基础知识和基本方法的要求略低计算物理是计算科学的基础现象相对简单理论比较基础，可应用于不同学科美国Boston Univ. HE StanleyCitation is within top 100 为什么学习数值模拟方法？(小道理)l 相对容易学习l 相对容易找工作 （至少在国外如此）l 有特色的创造性 适合各种人群l 还没有人曾经获得Nobel prize (?)内容大纲l 引言计算科学现代计算机的出现计算物理学计算机算法和语言随机数产生器l 数值积分和Monte Car

6、lo方法数值积分Monte Carlo 方法Metropolis算法和Heatbath算法l Monte Carlo方法的应用磁性材料和相变Ising 模型的Monte Carlo模拟动力学慢化Cluster算法非平衡态动力学固液相变l 数值微分和微分方程数值微分初值问题Runge-Kutta方法l 分子动力学及其应用Verlet算法分子动力学的简单应用多体问题固液相变热传导l 其他数值计算和数值模拟方法l 数值模拟方法在化学和生物学的应用l 数值模拟方法在金融学的应用物理学家看金融金融动力学的数值模拟l 计算机编程练习调查你希望通过这门课学到什么？1 认认真真仔仔细细地学一点数值模拟方法及其

7、应用会抽时间编些程序，做些练习 2 只希望对数值模拟方法及其应用的一些概况和前沿动态有所了解，不打算动手编程序 3 只想随便听听，拿点学分第一章 引言第一节 计算与科学我们国家的历史悠长，计算科学也不例外。圆周率的计算（祖冲之） 用n边型逼近圆周长 （2r1） 近似公式 (1.1)便是的准确值，是待定常数问题：(1.1) 怎么来的？作为n的函数，可对1/n 做级数展开例如，截断(1.1)式到第四项，可求得与相差不大问题： * 如何用多边形的面积近似求？* 当n一定，如何得到较好近似值？答 ： 做外切n边形计算的要点：l 问题的表达： 建立模型l 计算技巧： 计算方法 - 我们课程的要点l 计算

8、能力的估计：研究计划上面的方法是确定论方法。随机方法在现代计算科学也十分重要构造外切四边形均匀地随机地在四边形抛石子，统计石子总数M， 和圆内石子数Ms，则面积的比 问题： 如何随机地抛石子？随机方法还可以有很多，例如， Comte de Buffon (1707-1788) French needle experiment, 1777随机地抛针针触到条纹和空隙的概率L习题：试证明提示：p 正比于 L 反比于 dd 关键从哪来？解 ：设针与水平方向夹角为水平方向有效长度为事件总数 针触到条纹和空隙的事件数 比较随机方法和确定论方法l 随机方法较简单l 随机方法较普适 例如，简单应用抛石子的方法

9、，可以计算不规则图形的面积l 随机方法的误差收敛较慢 不过，对多自由度问题这不是弱点l 随机方法依赖于相应的随机模型 即必须能构造出有效的模型，有时相当困难，比如，牛顿方程和量子力学的动力学计算科学在现代社会十分重要例如，制造飞机之前应当先做数值模拟实验 这是节省金钱和生命飞机失事后，应做事故重构 这可帮助找出事故原因第二节 现代计算机的出现五千年前 巴比伦人发明珠算 （奇怪，不是中国人？）19世纪初 英国人C Babbage提出计算机的构想 但当时技术不够发达19世纪末 西班牙人 Quevedo提出可用电动机械技术构造计算机，当时的技术可以提供足够的支持 但他没有资金1889年 美国人Hol

10、lerith造出第一台计算机，用于人口普查。卖掉这机器，Hollerith建立了IBM公司1937年 美国理论物理学家Atanasoff制造出电子数字计算机，但没引起广泛注意1945年 历史书常常引述，美国人Mauchly和Eckert制造的ENIAC为第一台电子计算机 Metropolis和Frankel用ENIAC研究核裂变1950年 MENIAC IMetropolis提出Monte Carlo方法，并应用于固液相变的研究 （1953）很多重要的研究工作由MENIAC I完成1970年 大规模集成电路计算机这是高速发展时期的开始1980年 PC机和工作站计算科学的挑战全球环境动力学模拟D

11、NA序列机制药物设计材料结构和器件计算物理是计算科学的基础, 各个领域有各个领域的作用，每个人有每个人的贡献。第三节 计算物理学 几乎无所不在，只是深入程度不同。从方法上看，大体分两类 Monte Carlo 模拟 分子动力学从领域上看Nanostructure and Materials ScienceBio-structures and Soft Matter (Polymers, Membranes, Proteins, etc.) Computational Statistical Physics, Turbulence Plasmas and Reactive FlowsNew Me

12、thods in Computer Simulation Lattice Gauge Theory and Elementary Particle Physics Computational Aspects of Astrophysics Quantum simulation (many-body, dynamics, lattice models, etc.) Frontiers in Large Scale Computing and quantum computingGeorgia 大学讲座教授浙江大学光彪讲座教授 国际著名计算物理学家 DP Landau300 Publications

13、18 Phys Rev Lett 6000 Citations第四节 计算机算法和语言1. 算法 计算问题的逻辑步骤称计算机算法 例如，牛顿方程 称Euler算法。给出初始位置和速度，可以一步一步求解牛顿方程习题：证明Euler方法准确到量级。 算法应当边用边学2 计算机语言 Fortran （formula translation）和C语言都好用 计算机语言的学习不应当成一种理论学习， 而是一种技能的学习，工多手熟第五节 随机数产生器如何在边长为1的四边形内均匀地随机地“抛石子”？设为均匀的随机数, 可取 则 均匀地随机地分布在四边形内。 在计算机上如何产生 ？ 计算机上没有真正的随机数，只

14、有“近似均匀”的“看起来无规”的数列 这样的“赝随机数列产生器”质量标准 足够长的数列 足够无规（随机）的数列 例如：可用作图，图形应当均匀 速度足够快最简单的随机数列的长度为，速度非常快，随机性也不错，但对大规模计算，还不够好。为了获得可取 如果不是专门研究算法，不适宜花太多精力在随机数上，抓到一个比较好的使用即可。例如，SUBROUTINE ranecu(iseed1,iseed2,ranec1) REAL*8 ranec1 INTEGER*4 iran,iseed1,iseed2,kkk kkk = iseed1 / 53668 iseed1 = 40014 * (iseed1 - kk

15、k * 53668) - kkk * 12211 IF(iseed1 .LT. 0) iseed1 = iseed1 + 2147483563 kkk = iseed2 / 52774 iseed2 = 40692 * (iseed2 - kkk * 52774) - kkk * 3791 IF(iseed2 .LT. 0) iseed2 = iseed2 + 2147483399 iran = iseed1 - iseed2 IF(iran .LT. 1) iran = iran + 2147483562 ranec1 = iran * 4.656612873E-10 RETURN END有兴趣的同学可比较比较两个随机数的差别。 如何获得其他分布的随机数？ 例如：如何由均匀分布的构造按分布的 设体积元对应体积元，则在该体积元内的随机数的概率与所取变量无关，即 ， 阅读材料：如何产生高斯分布 ？重游台湾观感1观赏的三重境界雾里看花花里看雾醉入花丛2台湾在精神上处于躁动状态已经不适宜生活3海峡两岸拥有诸多共同规律4、凡事不可勉强 理想是理想，现实是现实