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1、1. 曲边梯形的面积设在区间喘】上厂了，则由直线 、宀、=0及曲线A = E 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分割求近似：在区间山上中任意插入若干个分点将亞切分成n个小区间乂 =心5.唧v 3 =b，小区间的长度&广兀一 3 = 12川）在每个小区间召上任取一点乩作乘积，住=12严）求和取极限：则面积取极限其中-maz AvLrAx2?-0 ,即小区间长度最大者趋于零。2. 变速直线运动的路程设某物体作变速直线运动，速度V=y是瞬爲上亡的连续函数，且川）2。， 求在这段时间内物体所经过的路程。分割求近似：在【爲爲内插入若干分点Ti=hhh- 4 爲将其分成 n个小区间也心，小
2、区间长度厘,m间。任取巧巨他做圧严吩求和取极限：则路程取极限定义设函数了刃在说上有界，在龟引中任意插入若干个分点将2上分成n个小区间召已,其长度为 山厂召一和，在每个小区间记凡=皿亦细,饥,，如果不论对氐切怎样分法，也不论小区间【心心1上的点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数 川忑）在区间说血 上的定积分，记作，即其中了匚）叫被积函数，了必 叫被积表达式，X叫积分变量，金叫积分下限，叫积分上限，叫积分区间。叫积分和式。说明：1如果（*）式右边极限存在，称了（冊在区间亞切可积，下面两类函数在区间亞切 可积（1） f氏）在区间说#上连续，贝则在压引可积 fe在区间亞圳 上有
3、界且只有有限个间断点，则了（力在压切上可积。2. 由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以在亀钥上于仙）2 Q时，表示曲线尹=孑00、两条直线、Z 与兀轴所围成的曲边梯形的面积;在亀钥上于仙）时，表示曲线防畑、两条直线、与疋轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在x轴的下方）；例 1 利用定积分的几何意义写出下列积分值 T jjl (1)(三角形面积)（半圆面积）性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数门上工，有性质5如果在区间S上，冷，则如订如必推论如汕了叭心）性质6 （定积分的估值）设M及m分别是函数了懐）在区间盘上的最大值及最 小值，则m（b
4、一丄了（玷酝 a）性质 7 （定积分中值定理）如果函数了懐）在区间上连续，则在皿上至少有一点于,例 2 比较下面两个积分的大小f尹必吁十对必解设扛m,在（o,i）内单调增（i+町必当 Eli时，有 了（町=-1七）2了（0）= 0，即 rm 由性质5,例3估计积分的值解只需求出护5在区间巴2上的最大值、最小值即可。设加）=1 丁IP所以，在区间皿上童4 “宀3由性质6,设了1在区间纽圳上连续，“龟切，则定积分一定存在，当兀在门上变动时，它构成了一个疋的函数，称为了对的变上限积分函数, 记作口即山上上连续，则积分上限的函数定理如果函数/在区间 亞切上具有导数，且导数是了氏），即说明：1由原函数的
5、定义知，是连续函数川对的一个原函数，因此，此公式揭示了定积分与原函数之间的联系。2. 当积分上限的函数是复合函数时，有I迪卜了评（功心）-了矶耳0（方更一般的有=f心；必洌（5）设，求：必此题中疋为函数的自变量，艺为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式由求导法则；丫 sinfd(13 inff. Mx- 日fJ 1 + cos f1 + cos f(6)=0 （因定积分的结果为一常数，故导数为零）（7）设F =畑是方程所确定的函数，求血解 利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有例2设，/例3设了懐）为连续函数，（1）若，则畑=解这是型不定式,用罗必塔法则定理（牛顿莱公式）如果函数尸）是连续函数/匚）在区间说 上的一个原函数，则f畑心=陀）7彎呵:此公式表明：一个连续函数在区间说上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。例5=arctgT：解原式*丄；=lnl-lti 2 = -ln2/w =例7兀0 1;3 -.求解 利用定积分的可加性分段积分，解被积函数是分段函数，分段点1空在积分区间叮内,解原式VgO52 A Sin 2 A： - 2 Sttl A： COS、/亠注意:产H了是分段函数
定积分的概念和性质公式
