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1、等差、等比数列综合运用1教学目标：1。综合应用等差、等比数列通向公式及前n项求和公式解数列问题，如等差、等比数列判定问题、最值问题;教学重点难点：等差、等比数列判定问题、最值问题；重要知识点与方法:等差、等比数列的判定: 为等差数列n为等比数列二等差数列前n项和最值的求法(结合二次函数的图象与性质理解）1)若等差数列的首项,公差,则前项和有最大值。（）若已知通项，则最大;（）若已知，则当取最靠近的非零自然数时最大;2)若等差数列的首项，公差，则前项和有最小值（)若已知通项，则最小;（)若已知，则当取最靠近的非零自然数时最小。三等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等等 差 数 列定义an为等
2、差数列an+-an=d（常数），N+2an=n1a（n，nN+)通项公式1）+（-1)d=+（n-k）d；=+-d2）推广：an=am+（-m)d。3）变式：a1=an(n1)，d=，d,由此联想点列（n，an)所在直线的斜率。求和公式1）2）变式：=a1+(1）=an（n-1）（）等差中项）等差中项：若a、b、c成等差数列,则b称与c的等差中项，且b=；、b、c成等差数列是2=a+c的充要条件.2）推广：2=重要性质1（反之不一定成立)；特别地,当时,有;特例：a1an=a2+an=a+an2=。2下标成等差数列且公差为m的项ak,km，ak+2,组成的数列仍为等差数列,公差为md3 成等差
3、数列。45增减性其它性质1a=a（nm)d2若数列a是公差为d的等差数列，则数列an+（、为常数)是公差为的等差数列；若n也是公差为d的等差数列,则an(1、2为常数）也是等差数列且公差为1d2d.3an=an+b，即an是n的一次型函数，系数a为等差数列的公差； Sn=an2+b，即n是的不含常数项的二次函数；四。等比数列的定义、通项公式、求和公式、性质等等 比 数 列定义通项公式(）求和公式等比中项。推广：重要性质1若m、n、kN*，且+nl，则ma=aka，反之不成立.特别地,。另：即:首尾颠倒相乘，则积相等2下标成等差数列且公差为m的项ak，a+m，k2,组成的数列仍为等比数列，公比为
4、m。3成等比数列。4n是等比数列,则a、也是等比数列增减性为递增数列为递减数列为常数列；为摆动数列其它性质1等比数列中连续相同项数的积组成的新数列是等比数列。2若数列n是等比数列,则数列a（1为常数）是公比为q的等比数列；若bn也是公比为q的等比数列，则1n2bn(1、为常数）也是等比数列,公比为qq2。3若项数为,则；。五。等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较等 差 数 列等 比 数 列定义an为等差数列an+1-a=d（常数)，N+2a=a-1an+1(n2,nN+)通项公式=+（）=+（-k）.（）求和公式中项公式等差中项:若a、b、c成等差数列，则b称a与的等差中项,且
5、b=；、b、c成等差数列是2=a+c的充要条件. n为等比数列是an+1=anan+2的充分但不必要条件。重要性质1（反之不一定成立）；特别地,当时,有；特例：a1+an=a2+a-a3+an-2=。若、n、l、kN,且m+nkl,则ma=a,反之不成立特别地，。另:即：首尾颠倒相乘，则积相等2下标成等差数列且公差为m的项ak，akm，a+m，组成的数列仍为等差数列，公差为.下标成等差数列且公差为m的项，ak+m,+2，组成的数列仍为等比数列，公比为qm。3 成等差数列。成等比数列。六。等差数列与等比数列的联系1)若数列是等差数列，则数列是等比数列,公比为，其中是常数，是的公差。(a0且a1）
6、；2）若数列是等比数列，且，则数列是等差数列，公差为，其中是常数且,是的公比。）若既是等差数列又是等比数列，则是非零常数数列。典型例题题型一 探求成等差、等比数列的条件巩固练习 已知数列的前项和为，,，设。1。证明数列是等比数列； 2求数列的通项公式。证明:由于， 当时，. 得 。 所以.又，所以因为,且，所以所以. 故数列是首项为，公比为的等比数列变式训练。 已知数列的前项和为，且，(1)求的值；（2）求数列的通项公式、解：(1）,， ，(2），, ,又，数列自第项起是公比为的等比数列变式训练2。 数列an的前项和为S,数列bn中，b=a1，bn=a1（），且an+Snn.(1）设cn=an
7、-，求证：数列cn是等比数列； (2)求数列bn的通项公式证明:()a1=S1，a+Sn=，a1S=,得a=. 又an+=n+1,两式相减得2（a+1)=n1,即=，也即，故数列cn是等比数列。解:（)c=a1-=, cn=，n=c+11-，n-=1-。故当时,bn=n1=。又b1=， 即bn=（N*）变式训练3 在数列中,.(）求,的值;（）证明：数列是等比数列,并求的通项公式。解：（)， , , . 证明：（)， 数列是首项为,公比为的等比数列. ， 即, 的通项公式为 。 小结与拓展:可以构造等差、等比数列来求数列的通项公式。题型二 数列中最值问题小结：1.等差数列的前项和为,在时，有最
8、大值。 如何确定使取最大值时的值,有两种方法：一是求使,成立的值；二是由利用二次函数的性质求的值2.等比数列的判定：an为等比数列3. 推广:解读：1）并非任何两数总有等比中项。仅当实数,同号时,实数a，b才存在等比中项,且同号两实数a,b的等比中项不仅存在，而且有一对为， 也就是说，两实数要么没有等比中项（非同号时),如果有，必有一对（同号时）。2）n为等比数列是an+=anan+2的充分但不必要条件.3）若证an不是等比数列,只需证ak2aka+1（k为常数，且k）。5.等比数列与函数）等比数列的通项公式类似于的指数函数，即:，其中2）等比数列的前项和公式是一个平移加振幅的的指数函数，即:
9、6待定系数法:等比数列,设等差、等比数列综合运用2教学目标:.综合应用等差、等比数列通向公式及前n项求和公式解数列问题，如数列中不等关系问题、生成子数列问题；教学重点难点：数列中不等关系问题、生成数列等综合问题；题型一、数列中不等关系问题题型二、数列中生成子数列问题 题型三 数列与函数、不等式等问题的综合 在数列an中,a=，3aa1anan=0（n2,)。（）试判断数列是否为等差数列;（)设b满足bn=，求数列b的前n项为Sn；(3)若a+，对任意2的整数恒成立，求实数的取值范围。解：（1)a10，a0，由已知可得=3(n2），故数列是等差数列.(2)由(）的结论可得n1（1）3，所以3n2
10、,n.（3）将an=代入an+并整理得（1-）3n1，,原命题等价于该式对任意的整数恒成立设Cn,则Cn+1-C0，故Cn1,n的最小值为C2=, 的取值范围是（，归纳:数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透.小结：综合应用等差、等比数列通向公式及前n项求和公式解数列问题,如数列中不等关系问题、生成子数列问题、数列的综合问题常与函数、方程、不等式等知识相互联系和渗透。补充例题1、(210湖南理数21)数列中，是函数的极小值点.()当时,写出.，并猜测出通项；（不予证明) （）是否存在,使数列是等比数列？若存在，求的取值范围;若不存在,请说明理由。、（2010上海文数21)。已
11、知数列的前项和为，且，(1)证明：是等比数列;（2）求数列的通项公式，并求出使得成立最小正整数.3、(010重庆理21)数列，=1, ，其中实数.（I） 求的通项公式；（II） 若对一切有，求的取值范围.4、(208湖南卷8）. 数列 ()求并求数列的通项公式； (）设证明：当解： （）因为所以 一般地，当时,即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列,因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此故数列的通项公式为（）由(）知， -得， 所以 要证明当时,成立,只需证明当时,成立。 证法一 （1)当n 6时，成立 (2）假设当时不等式成立，即 则当nk+1时， 由（1）、(）所述，当6时，。即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，。因此当时，于是当时，综上所述,当时，5、（2010全国卷1理数22）已知数列中， 。(）设，求数列的通项公式;(）求使不等式成立的的取值范围文中如有不足，请您指教！13 / 13
复习班等差等比数列综合运用
