2022年牛吃草问题题库教师版

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1、牛吃草教学目标1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识精讲英国科学家牛顿在他的普通算术一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定“牛吃草”问题是小学应用题中的难点解“牛吃草”问题的主要依据： 草的每天生长量不变； 每头牛每天的食草量不变； 草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草

2、量是一个固定值 新生的草量每天生长量天数同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：设定1头牛1天吃草量为“1”；草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题例题精讲板块一、一块地的“牛吃草问题”【例 1】 青青一牧场，牧草喂牛羊； 放牛二十七，六周全吃光。 改养廿三只，九周走他方； 若养

3、二十一，可作几周粮？（注：“廿”的读音与“念”相同。“廿”即二十之意。）【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。若是21头牛，要几个星期才可以吃完？（注：牧场的草每天都在生长）【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了份；23头牛吃9周共吃了份第二种吃法比第一种吃法多吃了份草，这45份草是牧场的草周生长出来的，所以每周生长的草量为，那么原有草量为：供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长这片牧场可供10头牛吃20

4、天，可供15头牛吃10天供25头牛可吃几天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了份；15头牛吃10天共吃了份第一种吃法比第二种吃法多吃了份草，这50份草是牧场的草天生长出来的，所以每天生长的草量为，那么原有草量为：供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天【巩固】 仓库里原有一批存货，以后继续运货进仓，且每天运进的货一样多。用同样的汽车运货出仓，如果每天用4辆汽车，则9天恰好运完；如果每天用5辆汽车，则6天恰好运完。仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要多少天运完？【解析】 设辆汽车天运货为“”，进货速度为，

5、原有存货为，仓库里原有的存货若用1辆汽车运则需要（天）【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周？【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为，原有草量为，可供（头）牛吃18周【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天那么它可供几头牛吃20天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么天生长的草量为，所以每天生长的草量为；原有草量为：20天里，草场共提供草，可以让头牛吃20天【巩固】 (2007年湖北省“创新杯”)牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天

6、把草吃完，则 头牛96天可以把草吃完【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为，牧场原有草量为，要吃96天，需要(头)牛【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完?【解析】 设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：，原有草量为：，(头)【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃？（假定野果生长的速度不变）【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“”，则野果的生长速度是，原有的

7、野果为，如果要4周吃光野果，则需有只猴子一起吃【巩固】 一水库原有存水量一定，河水每天均匀入库.5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干.若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？【解析】 水库原有的水与20天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).水库原有的水与15天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).每天流入的水可供多少台抽水机抽1天？(台).原有的水可供多少台抽水机抽1天？(台).若6天抽完，共需抽水机多少台？(台).【例 3】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天照此计算，可以供

8、多少头牛吃10天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：，原有草量为：；10天吃完需要牛的头数是：(头)【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供多少头牛吃12天？【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少 ； 原来牧场有草，12天吃完需要牛的头数是：(头)或（头）。【例 4】 由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天那么，可供11头牛吃几天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，天

9、自然减少的草量为，原有草量为：若有11头牛来吃草，每天草减少；所以可供11头牛吃(天)【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？【解析】 设1头牛1天吃的草为“1”。牧场上的草每天自然减少 原来牧场有草可供10头牛吃的天数是：(天)。【例 5】 一块匀速生长的草地，可供16头牛吃20天或者供100只羊吃12天如果一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草量，那么这块草地可供10头牛和75只羊一起吃多少天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，由于一头牛一天吃草量等于5只羊一天的吃草

10、量，所以100只羊吃12天相当于20头牛吃12天那么每天生长的草量为，原有草量为：10头牛和75只羊1天一起吃的草量，相当于25头牛一天吃的草量；25头牛中，若有10头牛去吃每天生长的草，那么剩下的15头牛需要天可以把原有草量吃完，即这块草地可供10头牛和75只羊一起吃8天【巩固】 （年希望杯六年级二试试题）有一片草场，草每天的生长速度相同。若14头牛30天可将草吃完，70只羊16天也可将草吃完(4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量)。那么，17头牛和20只羊多少天可将草吃完?【解析】 “4只羊一天的吃草量相当于1头牛一天的吃草量”，所以可以设一只羊一天的食量为1，那么14头牛30天吃了

11、单位草量，而70只羊16天吃了单位草量，所以草场在每天内增加了草量，原来的草量为草量，所以如果安排17头牛和20只羊，即每天食草88草量，经过天，可将草吃完。【巩固】 一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天。如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃几天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，只羊的吃草量等于头牛的吃草量，所以草的生长速度为，原有草量为，12头牛与88只羊一起吃可以吃（天）【巩固】 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草16头牛可吃15天，或者可供100只羊吃

12、6天，而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量，那么8头牛与48只羊一起吃，可以吃多少天?【解析】 设头牛天的吃草量为“”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析16头牛 15天 1615240：原有草量15天生长的草量100只羊（25头牛） 6天 256150： 原有草量6天生长的草量从上易发现：1天生长的草量10；那么原有草量：15010690；8头牛与48只羊相当于20头牛的吃草量，其中10头牛去吃新生草，那么剩下的10头牛吃原有草，90只需9天，所以8头牛与48只羊一起吃，可以吃9天。【例 6】 有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可以吃完现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头

13、牛，余下的牛再吃两天便将草吃完问：原来有多少头牛吃草(草均匀生长)？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为，原有草量为：现有若干头牛吃了6天后，卖掉了4头牛，余下的牛再吃两天便将草吃完，如果不卖掉这4头牛，那么原有草量需增加才能恰好供这些牛吃8天，所以这些牛的头数为(头)【巩固】 一片草地，可供5头牛吃30天，也可供4头牛吃40天，如果4头牛吃30天，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃几天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天生长的草量为，原有草量为：如果4头牛吃30天，那么将会吃去30天的新生长草量以及90原有草量，此时原有草量还剩，而牛的头数变为6，现在就相

14、当于：“原有草量30，每天生长草量1，那么6头牛吃几天可将它吃完？”易得答案为：(天)【例 7】 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？【解析】 设1匹马1天吃草量为“1”，根据题意，有：15天马和牛吃草量原有草量天新生长草量20天马和羊吃草量原有草量天新生长草量30天牛和羊(等于马)吃草量原有草量天新生长草量由可得：30天牛吃草量原有草量，所以：牛每天吃草量原有草量；由可知，30天羊吃草量天新生长草量，所以：羊每天吃

15、草量每天新生长草量；设马每天吃的草为份将上述结果带入得：原有草量，所以牛每天吃草量这样如果同时放牧牛、羊、马，可以让羊去吃新生长的草，牛和马吃原有的草，可以吃：(天)【巩固】 现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少时间?【解析】 牛、马45天吃了 原有天新长的草 牛、马90天吃了2原有天新长的草 马、羊60天吃了 原有天新长的草 牛、羊90天吃了 原有天新长的草 马 90天吃了 原有天新长的草 所以，由、知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合知，羊吃了90天，

16、吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草 所以，知马60天吃完原有的草，知牛90天吃完原有的草 现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草. 所需时间为天. 所以，牛、羊、马一起吃，需36天板块二、多块地的“牛吃草问题”【例 8】 东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上天生长的草量为，即每天生长的草量为那么2000平方米的牧场上原有草量为：则600

17、0平方米的牧场每天生长的草量为；原有草量为：6天里，该牧场共提供牧草，可以让(头)牛吃6天【巩固】 有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3倍30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，由于甲草地的面积是乙草地面积的3倍，把甲草地分成面积相等的3块，那么每块都与乙草地的面积相等由于30头牛12天能吃完甲草地上的草，相当于每块上的草由10头牛12天吃完那么条件转换为“10头牛12天能吃完乙草地上的草，20头牛4天也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地长草量为，乙草地原有草量为：；则

18、甲、乙两块草地每天的新生长草量为，原有草量为：要10天同时吃完两块草地上的草，需要(头)牛【巩固】 有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？【解析】 设头牛天的吃草量为“”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析10头牛 20天 1020200 ：原有草量20天生长的草量15头牛 10天 1510150 ：原有草量10天生长的草量从上易发现：1200平方米牧场上201010天生长草量20015050，即1天生长草量50105

19、；那么1200平方米牧场上原有草量：200520100或150510100。则3600平方米的牧场1天生长草量5（36001200）15；原有草量：100（36001200）300.75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300605（天）可将原有草吃完，即它可供75头牛吃5天。【例 9】 一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？【解析】 (法1)设1头牛1天吃草量为“1

20、”，可以将不同的公顷数统一转化为单位量1公顷来解决把2公顷牧场分割成2块，每块1公顷，每块可供4头牛吃5天；把4公顷牧场分割成4块，每块1公顷，每块可供2头牛吃15天那么1公顷牧场每天新生长的草量为，1公顷牧场原有草量为那么6公顷牧场每天新生长的草量为，原有草量为8头牛里，若有6头牛去吃每天新生长的草，剩下2头牛需要(天)可将原有草吃完，即它可供8头牛吃45天(法2)题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来设1头牛1天吃草量为“1”将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧场可供48头牛吃5天；将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公

21、顷的牧场可供24头牛吃15天所以12公顷的牧场每天新生长的草量为：，12公顷牧场原有草量为那么12公顷牧场可供16头牛吃(天)，所以6公顷的牧场可供8头牛吃45天【巩固】 有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天问：第三块草地可供多少头牛吃80天？【解析】 (法1)设1头牛1天吃草量为“1”，第一块草地可供10头牛吃30天，说明1公顷草地30天提供份草；第二块草地可供28头牛吃45天，说明1公顷草地45天提供份草；所以1公顷草地每天新生长的草量为份，1公顷原有草量为24公顷草地每天新生长的草量

22、为；24公顷草地原有草量为那么24公顷草地80天可提供草量为：，所以共需要牛的头数是：(头)牛(法2)现在是3块面积不同的草地，要解决这个问题，也可以将3块草地的面积统一起来由于，那么题中条件可转化为：120公顷草地可供240头牛吃30天，也可供224头牛吃45天设1头牛1天的吃草量为“1”，那么120公顷草地每天新生长的草量为，120公顷草地原有草量为120公顷草地可供(头)牛吃80天，那么24公顷草地可供(头)牛吃80天【例 10】 4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？(每公顷牧场上原有草

23、量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等)【解析】 题中是3块面积不同的草地，要解决这个问题，可以将3块草地的面积统一起来，设1头牛1天的吃草量为“1”，原条件可转化为：120公顷牧场48头牛28天吃完；120公顷牧场28头牛63天吃完那么120公顷牧场每天新生长的草量为；120公顷牧场原有草量为则40公顷牧场每天新生长的草量为，40 公顷牧场原有草量为在60头牛里先分出4头牛来吃新生长的草，剩余的56头牛来吃原有的草，可以吃：(天)【巩固】 有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷草地上的草一样厚而且长得一样快第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周问：第三块草地可供

24、50头牛吃几周？【解析】 设1头牛1周吃草量为“1”，第一块草地可供24头牛吃6周，说明1公顷草地可供6头牛吃6周；第二块草地可供36头牛吃12周，说明1公顷草地可供头牛吃12周那么1公顷草地1周新生长的草量为份，1公顷草地原有草量为第三块草地1周新生长的草量为，第三块草地原有草量为50头牛中，若有30头牛去吃每天生长的草，那么剩下的20头牛需要周可以把原有草吃完，即这块草地可供50头牛吃9周【例 11】 三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周问第三块牧场上饲养多少头牛恰

25、好可以维持18周？【解析】 设1头牛1周吃草量为“1”第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周，相当于1公顷牧场可供4头牛吃4周；第二块牧场饲养20头牛，可以维持8周，相当于1公顷牧场可供头牛吃8周那么1公顷牧场1周新生长的草量为，1公顷牧场原有草量为24公顷牧场每天新生长的草量为，原有草量为，若想维持18周，需要饲养：(头)牛【例 12】 17头牛吃28公亩的草，84天可以吃完；22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完，几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完？(假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长)【解析】 设1头牛1天吃1份牧草，22头牛54天吃掉份，说明每公亩牧场54天提供份牧草；17

26、头牛84天吃掉份，说明每公亩牧场84天提供份牧草每公亩牧场天多提供份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为份，原有草量为份如果是40公亩的牧场，原有草量为份，每天新长出份，24天共提供牧草份，可供头牛吃24天【例 13】 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快它们的面积分别是公顷、10公顷和24公顷已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?【解析】 由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形 原条件： 公顷 12头牛 4星期 10公顷 21头牛 9星期转化：相当于把公顷草地分割成块，

27、每块一公顷，有3.6头牛来吃，所以吃的时间不变，相当于把10公顷草地分割成10块，每块一公顷，有2.1头牛来吃，所以吃的时间不变1公顷 3.6头牛 4星期 3.6414.4：1公顷原有草量4星期1公顷新生草量1公顷 2.1头牛 9星期 2.1918.9：1公顷原有草量9星期1公顷新生草量分析得：1天1公顷新生草量（18.914.4）（94）0.9；1公顷原有草量14.40.9410.8；24公顷1天新生草量0.92421.6；24公顷原有草量10.824259.2；若想18星期吃完需要：259.21821.636（头）牛【例 14】 如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，

28、已知草在各处都是同样速度均匀生长牧民带着一群牛先在号草地上吃草，两天之后把号草地的草吃光(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在号草地吃草，一半牛在号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光然后牧民把的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？【解析】 方法一；设这群牛1天的吃草量为“1”，那么有：号草地原有草量号草地2天新生长的草量、两号草地原有草量、两号草地8天新生长的草量得：每号草地每天新生长的草量；代入得：每号草地原有草量又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外的牛放在号

29、草地吃草，它们同时吃完所以，阴影部分面积号草地面积于是，整个正方形草地原有草量为，每天新生长的草量为让这群牛在整块草地上吃草，可以吃：(天)方法二：设牧民有6头牛，1头牛1周的吃草量为“1”，号草地生长速度为，原有草量为，因为大正方形的面积是号草地面积的倍，所以正方形草地草的生长速度是，原有草量是45，所以所求时间为：（天）。板块三、“牛吃草问题”的变形【例 15】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？【解析】 设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是，原有水量，要求2小时淘完，要安排人淘

30、水【巩固】 一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？【解析】 设1人1分钟淘出的水量是“1”，分钟的进水量为，所以每分钟的进水量为，那么原有水量为：5人淘水需要(分钟)把水淘完【例 16】 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？【解析】 亿人。【例 17】 画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不

31、再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入。8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入，15分钟到来的人数 ，每分钟到来。8：30以前原有人。 所以应排了（分钟），即第一个来人在7：30【巩固】 画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队求第一个观众到达的时间【解析】 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“

32、草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为，即1分钟来的人为，原有的人为：这些人来到画展，所用时间为(分)所以第一个观众到达的时间为8点15分点评：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问题了解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质【巩固】 早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个

33、检票口，7分钟可以放完旅客现要求5分钟放完，需设立几个检票口?【解析】 设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客1分钟新来多少个单位的旅客检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候， 415=525分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客52+5=55设立几个检票口(个)【例 18】 在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面从站台到地面有 级台阶【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一

34、级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：阶，电梯的速度为阶/秒，扶梯长度为（阶）。【巩固】 两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？【解析】 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度（

35、女孩每秒走的梯级女孩走的时间男孩每秒走的梯级男孩走的时间）（女孩走的时间男孩走的时间），自动扶梯的梯级总数女孩每秒走的梯级女孩走的时间自动扶梯的速度女孩走的时间（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。【巩固】 自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少级？【解析】 该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：。自动扶梯的梯级总数：(级)【例 19】 小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩

36、托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米， 分钟能追上。【解析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合小明在小时内走了千米，那么小明的速度为(千米/时)，追及距离为(千米)汽车去追的话需要：(小时)(分钟)【例 20】 快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：(米/分)，开始相差的路程为：（米），所以中速车速度

37、为：(米分)【巩固】 有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？【解析】 分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的草”设甲车的速度为“1”，那么乙车小时走的路程为，所以乙的速度为，追及路程为：如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：(小时)【例 21】 甲、乙、丙三车同时从地出发到地去甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米有一辆卡车同时从地迎面开来，分别在它们出发后6小时、7小

38、时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇，求丙车的速度【解析】 相遇问题可以看成是草匀速减少的过程，全程看成是原有草量，卡车速度看成是草匀速减少的速度。所以卡车速度为：（千米/时），全程：（千米），丙车速度为：（千米/时）【巩固】 小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米在他们出发的同时，风间从公园迎面走来，分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度【解析】 当小新和风间相遇时，正南落后小新(米)，依题意知正南和风间走这24 米需要(分钟)，正南和风间的速度和为：(米分)，风间的速度为：(米分)，学校到公园的距离

39、为：(米)所以妮妮的速度为：(米分)【例 22】 一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则分钟能把水池的水排完，如果同时打开进水阀及两个排水阀，则分钟把水池的水排完问：关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要多少分钟才能排完水池的水？【解析】 设一个排水阀1分钟排水量为“1”，那么进水阀1分钟进水量为，水池原有水量为关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要(分钟)才能排完水池的水【巩固】 一个蓄水池有1个进水口和15个出水口，水从进水口匀速流入当池中有一半的水时，如果打开9个出水口，9小时可以把水排空如果打开7个出水口，18小时可以把水排空如果是一满

40、池水，打开全部出水口放水，那么经过 时 分水池刚好被排空【解析】 本题是牛吃草问题的变形设每个出水口每小时的出水量为1，则进水口每小时的进水量为：，半池水的量为：，所以一池水的量为72如果打开全部15个出水口，排空水池所需要的时间为小时，即7小时12分钟【例 23】 北京密云水库建有个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，个小时后水位降至安全线根据抗洪形势，需要用个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？

41、【解析】 此题是牛吃草问题的变形，假设每个泄洪洞每小时泄洪的量为1，则水库每小时增加的水量为，原有的水量超过安全线的部分有如果要用个小时使水位降至安全线以下，至少需要开个泄洪闸【巩固】 (2008年“希望杯”五年级二试)有一个蓄水池装了根相同的水管，其中一根是进水管，其余根是出水管开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水后来，想打开出水管，使池内的水全部排光如果同时打开根出水管，则小时可排尽池内的水；如果仅打开根出水管，则需小时才能排尽池内的水若要在小时内排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？【解析】 设1根出水管1小时排水的量为“1”，那么进水管每小时进水量为，池内原有水量为要在小

42、时内排尽池内的水，应当同时打开根出水管【巩固】 一个蓄水池装有9根水管，其中1根为进水管，其余8根为相同的出水管。开始进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池蓄水。池内注入了一些水后，有人想把出水管也打开，使池内的水再全部排光。如果把8根出水管全部打开，需要3小时可将池内的水排光；而若仅打开3根出水管，则需要18小时。问如果想要在8小时内将池中的水全部排光，最少要打开几根出水管？【解析】 设根排水管小时排水为“”，进水速度为，原有水量为，如果想要在小时内将池中的水全部排光，最少要打开根出水管，每根出水管1小时排水1份，又出水管的根数是整数，故最少要打开5根出水管。【巩固】 由于环境恶化、气候变暖，

43、官厅水库的水在匀速减少，为了保证水库的水量，政府决定从上游的壶流河水库以及册田水库分别向官厅水库进行调水，已知这两个水库的每个闸门放水量是相同的，如果同时打开壶流河水库的5个闸门30小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果同时打开册田水库的4个闸门40小时可以使官厅水库水量达到原来的标准，如果24小时使官厅水库水量达到原来的标准，问需同时打开两个水库的几个闸门?【解析】 设1个闸门1小时的放水量为“1”，那么每小时自然减少的水量为：，实际注入水量为：；24小时蓄水需要打开的闸门数是：(个)【巩固】 （2008年“陈省身杯”国际青少年五年级数学邀请赛）有一个水池，池底存了一些水，并且还有泉水不

44、断涌出。为了将水池里的水抽干，原计划调来台抽水机同时工作。但出于节省时间的考虑，实际调来了台抽水机，这样比原计划节省了小时。工程师们测算出，如果最初调来台抽水机，将会比原计划节省小时。这样，将水池的水抽干后，为了保持池中始终没有水，还应该至少留下 台抽水机。【解析】 设每台抽水机每小时抽个单位的水，原计划需要小时抽完则原计划个小时抽的水量为，台抽水机时抽水量为台抽水机时抽水量为所以，个小时的出水量为，个小时的出水量为，而泉水的出水速度是一定的，所以，解得，所以每小时出水量为，所以需要留下台抽水机。【例 24】 甲、乙、丙三个仓库，各存放着数量相同的面粉，甲仓库用一台皮带输送机和12个工人，5小

45、时可将甲仓库内面粉搬完；乙仓库用一台皮带输送机和28个工人，3小时可将仓库内面粉搬完；丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，同时还要多少个工人？(每个工人每小时工效相同，每台皮带输送机每小时工效也相同，另外皮带输送机与工人一起往外搬运面粉)【解析】 设1人1小时搬运的份数为“1”，那么一台皮带运输机1小时的工作量为，每个仓库存放的面粉总量为：那么,丙仓库现有2台皮带输送机，如果要用2小时把丙仓库内面粉搬完，需要(人)【例 25】 小方用一个有洞的杯子从水缸里往三个同样的容积的空桶中舀水。第一个桶距水缸有1米，小方用3次恰好把桶装满；第二个桶距水缸有2米，小方用4次恰好把桶

46、装满。第三个桶距水缸有3米，那么小方要多少次才能把它装满（假设小方走路的速度不变，水从杯中流出的速度也不变）【解析】 小方装第二个桶比第一个桶多用了一杯水，同时多走了米路，所以从杯中流出的速度是（杯/米），于是1桶水原有水量等于杯水，所以小方要次才能把第三个桶装满。【巩固】 一水库原有存水量一定，河水每天匀速入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？【解析】 设台抽水机天的抽水量为“”则进水速度为，原有水量为，若要6天抽干，要台同样的抽水机【例 26】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，

47、6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为，原有砖的数量为：如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩的原有的砖未用，变成人来砌砖，还需要：(天)【巩固】 食品厂开工前运进一批面粉，开工后每天运进相同数量的面粉，如果派5个工人加工食品30天可以把面粉用完，如果派4个工人，40天可以把面粉用完，现在派4

48、名工人加工了30天后，又增加了2名工人一起干，还需要几天加工完？【分析】 开工前运进的面粉相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的面粉相当于“新生长的草”，工人加工食品相当于“牛在吃草”设1名工人1天用掉面粉的量为“1”，那么每天运来的面粉量为，原有面粉量为：如果4名工人干30天，那么将会加工掉30天新运来的面粉量以及90原有的面粉量，原有还剩未加工，而后变成6名工人，还需要(天)可以加工完【例 27】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派15个工人砌砖墙，14天可以把砖用完，如果派20个工人，9天可以把砖用完，现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作

49、4天才砌完，问原来有多少工人来砌墙？【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为，原有砖的数量为：现在派若干名工人砌了6天后，调走6名工人，其余工人又工作4天才砌完，如果不调走6名工人，那么这些工人共砌10天可砌完，所以原有工人名【巩固】 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？【解析】 开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为，原有砖的数量为：如果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩的原有的砖未用，变成人来砌砖，还需要：(天)