数学中考压轴题目解析

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1、yOABC11x1（2010西城一）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为（3,0），连结BC （1）求证：ABC是等边三角形；（2）点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点D，分别连结EA、EP若CP6，直接写出AEP的度数；若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出ADP的度数；（3）在（2）的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度 EC与AP于点F，设AEF的面积为S1，CFP的面积为S2，yS1S2

2、，运动时间为t（t0）秒时，求y关于t的函数关系式25（1）证明：如图10，一次函数的图象与x轴交于点A（3,0），B（0, ）C（3,0）OAOC又y轴AC，ABBC在RtAOB中， BAC=60.ABC是等边三角形.2分（2）答：AEP=1203分解：如图9，连结DC，y轴垂直平分AC，ABC是等边三角形，DA=DC，BDABDC，DBP=30BDH=60DH垂直平分CP， DC=DP DADCDP. 5分在CDP中，CDH=PDH，BDH=BDCCDH=60ADB=ADCPDC1206分（3）作PGx轴于点G， 在RtPGC中，PC= t，图9xOABCy11PHDMG在RtBDH中，又

3、yS1S2，（S1SACM）（S2SACM）， SDACSPACSDAC=，SPAC=y（t0）7分3（密云一）25如图，在梯形中，梯形的高为4动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为（秒）（1）当时，求的值；（2）试探究：为何值时，为等腰三角形解：（1）如图，过作交于点，则四边形是平行四边形 ， 由题意知，当、运动到秒时， ， 即 解得，5分（3）分三种情况讨论： 当时，如图，即 6分 当时，如图，过作于，于H则 ， ， 即 7分 当时，如图，过作于点则 ， 即 -8分综上所述，当、或时，为等腰三角形 （顺义

4、一）25如图，直线：平行于直线，且与直线：相交于点（1）求直线、的解析式；（2）直线与y轴交于点A一动点从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线上的点处后，仍沿平行于x轴的方向运动，照此规律运动，动点依次经过点，求点，的坐标；请你通过归纳得出点、的坐标；并求当动点到达处时，运动的总路径的长解：（1）由题意，得 解得 直线的解析式为 1分点在直线上，直线的解析式为 2分（2） A点坐标为 （0，1），则点的纵坐标为1，设，点的坐标为 3分来源:学科网则

5、点的横坐标为1，设点的坐标为 4分同理，可得 ， 6分经过归纳得 ， 7分当动点到达处时，运动的总路径的长为点的横纵坐标之和再减去1，即 8分（房山一）25、如图，在平面直角坐标系中，直线l1：交x轴、y轴于A、B两点，点M(m,n)是线段AB上一动点, 点C是线段OA的三等分点（1）求点C的坐标；（2）连接CM，将ACM绕点M旋转180，得到ACM.当BM=AM时，连结AC、AC,若过原点O的直线l2将四边形ACAC分成面积相等的两个四边形，确定此直线的解析式；过点A作AHx轴于H，当点M的坐标为何值时，由点A、H、C、M构成的四边形为梯形？ 25.（1）根据题意：A（6，0），B（0，）C

6、是线段OA的三等分点C（2，0）或C（4，0）-2分（2）如图，过点M作MNy轴于点N， 则BMNBAOBM=AMBM=BABN=BON(0, )点M在直线上M(2, ) -3分是由绕点M旋转180得到的无论是C1、C2点，四边形是平行四边形且M为对称中心所求的直线必过点M(2, )直线的解析式为:-4分 当C1（2，0）时，第一种情况：在C点左侧若四边形是梯形与不平行此时M(2, ) -5分第二种情况：在C点右侧若四边形是梯形与不平行M是线段的中点H是线段的中点H（4，0）由OA=6,OB=OAB=点M的横坐标为5M(5, ) -6分当C2（4，0）时，同理可得第一种情况：在C2点左侧时，M

7、(4, ) -7分第二种情况：在C2点右侧时，M(, ) -8分综上所述，所求M点的坐标为：M(2, )，M(5, )，M(4, )或M(, ) CDBAEO25（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线交折线OAB于点E（1）记ODE的面积为S，求S与的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.【分

8、析】（1）要表示出ODE的面积，要分两种情况讨论，如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；如果点E在AB边上，这时ODE的面积可用长方形OABC的面积减去OCD、OAE、BDE的面积； （2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化【答案】（1）由题意得B（3，1）图1若直线经过点A（3，0）时，则b若直线经过点B（3，1）时，则b若直线经过点C（0，1）时，则b1若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1b，如图25-a，

9、图2此时E（2b，0）SOECO2b1b若直线与折线OAB的交点在BA上时，即b，如图2此时E（3，），D（2b2，1）SS矩(SOCDSOAE SDBE ) 3(2b1)1(52b)()3()（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！图3由题意知，DMNE，DNME，四边形DNEM为平行四边形根据轴对称知，MEDNED又MDENED，MEDMDE，MDME，平行四边形DNEM为菱形过点D作DHOA，垂足为H，由题易知，tanDEN，DH1，HE2，

10、设菱形DNEM 的边长为a，则在RtDHM中，由勾股定理知：，S四边形DNEMNEDH矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为【涉及知识点】轴对称 四边形 勾股定理【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度26（钦州市本题满分10分）如图，将OA = 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当

11、两个动点运动了t秒时，过点N作NPBC，交OB于点P，连接MP （1）点B的坐标为 ；用含t的式子表示点P的坐标为 ；(3分)（2）记OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 t 6）；并求t为何值时，S有最大值？(4分)（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由(3分) （备用图）解：（1）（6，4）；（）.（其中写对B点得1分）3分（2）SOMP =OM，4分S =（6 -t）=+2t （0 t 6）6分当时，S有最大值7分 （3）存在 由（2）得：当S有最大

12、值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：（备用图）R2T1T2R1D2D1 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，解方程组得直线ON与MT的交点R的坐标为SOCN 436，SORT SOCN 28分 当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是OR1T1，如图，作R1D1y轴，D1为垂足，则SOR1T1RD1OT b2.， b =.b1 ，b2 （不合题意，舍去）此时点T1的坐标为（0，）.9分 当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是R2NE，如图，设MT交CN于点E，由得点E的横坐标为，作R2D2CN交CN于点D2，则SR2NEENR

13、2D2 =2.，b=.b1，b2（不合题意，舍去）此时点T2的坐标为（0，）综上所述，在y轴上存在点T1（0，），T2（0，）符合条件10分25（福建省泉州市12分）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你 可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将轴所在的直线绕着原点逆时针旋转度角后的图形.若它与反比例函数的图象分别交于第一、三象限的点、，已知点、.（1）直接判断并填写：不论取何值，四边形的形状一定是 ; （2）当点为时，四边形是矩形，试求、和有值；观察猜想：对中的值，能使四边形为矩形的点共有几个？(不必说理)（3）试探究：四边形能不能是菱

14、形？若能, 直接写出B点的坐标, 若不能, 说明理由.解：（1）平行四边形（3分）（2）点在的图象上，（4分）过作，则在中，=30（5分）又点B、D是正比例函数与反比例函数图象的交点，点B、D关于原点O成中心对称 （6分）OB=OD=四边形为矩形，且（7分）； （8分）能使四边形为矩形的点B共有2个；（9分）（3）四边形不能是菱形.（10分）法一：点、的坐标分别为、四边形的对角线在轴上.又点、分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点.对角线与不可能垂直.四边形不能是菱形法二：若四边形ABCD为菱形，则对角线ACBD，且AC与BD互相平分，因为点A、C的坐标分别为（-m，0）、（m，0）

15、所以点A、C关于原点O对称，且AC在x轴上. （11分）所以BD应在y轴上，这与“点B、D分别在第一、三象限”矛盾，所以四边形ABCD不可能为菱形. （12分）24. (沈阳市)如图1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM、PN； (1) 延长MP交CN于点E(如图2)。j 求证：BPMCPE；k 求证：PM = PN； (2) 若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变。此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； (3) 若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置

16、时，其它条件不变。请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。aABCPMNABCMNaPABCPNMa图1图2图3解： (1) 证明 j 如图2，BM直线a于点M，CN直线a于点N， BMN=CNM=90，BM/CN，MBP=ECP， 又P为BC边中点，BP=CP，又BPM=CPE，BPMCPE， k BPMCPE，PM=PE，PM=ME，在RtMNE中，PN=ME， PM=PN； (2) 成立，如图3， 证明 延长MP与NC的延长线相交于点E，BM直线a于点M，CN直线a于点N， BMN=CNM=90，BMN+CNM=180，BM/CN，MBP=ECP， 又P为B

17、C中点，BP=CP，又BPM=CPE，BPMCPE， PM=PE， PM=ME，则在RtMNE中，PN=ME，PM=PN。 (3) 四边形MBCN是矩形，PM=PN成立。28. （青海西宁市本小题满分12 分）如图12，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交与B、C两点，tanOCB=.(1)求B点的坐标和k的值；(2)若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点.当点A运动过程中，试写出AOB的面积S与x的函数关系式；(3)探索： 当点A运动到什么位置时，AOB的面积是； 在成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使POA是等腰三角形.若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，

18、请说明理由.图12解：（1）y= kx-1与y轴相交于点C， OC=1tanOCB= OB=B点坐标为：把B点坐标为：代入y= kx-1得 k=2（2）S = y=kx-1 S = S =（3）当S =时，=x=1，y=2x-1=1A点坐标为（1，1）时，AOB的面积为存在.满足条件的所有P点坐标为：P1(1,0), P2(2,0), P3(,0), P4(,0). 12分26（桂林市 本题满分12分）如图，过A（8，0）、B（0，）两点的直线与直线交于点C平行于轴的直线从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右平移，到C点时停止；分别交线段BC、OC于点D、E，以DE为边向左侧作等边DE

19、F，设DEF与BCO重叠部分的面积为S（平方单位），直线的运动时间为t（秒）（1）直接写出C点坐标和t的取值范围； （2）求S与t的函数关系式；（3）设直线与轴交于点P，是否存在这样的点P，使得以P、O、F为顶点的三角形为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由解（1）C（4，） 的取值范围是：04 （2）D点的坐标是（，），E的坐标是（，）DE=-= 等边DEF的DE边上的高为： 当点F在BO边上时：=，=3 当03时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：- S= 当34时，重叠部分为等边三角形S= = （3）存在，P（，0） 说明：FO，FP，OP4以P，O，F以顶点

20、的等腰三角形，腰只有可能是FO，FP,若FO=FP时，=2（12-3），=，P（，0） OABCMN3.（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形 旋转的度数；（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.三、解答题14. (2009年牡丹江市)已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），

21、易证当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F26解：图2成立；图3不成立2分图2ADBCEMNF 证明图2： 过点作 则 再证 有 由信息可知 4分 图3不成立，的关系是： 2分20.（2009年常德市）如图1，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形 （1）当把ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由； （2）当ADE绕A点旋转到图3的位置时，

22、AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由图1 图2 图3图8图10CNDAMEB26解：（1）CD=BE理由如下:1分 ABC和ADE为等边三角形 AB=AC，AE=AD，BAC=EAD=60o BAE =BACEAC =60oEAC，DAC =DAEEAC =60oEAC， BAE=DAC， ABE ACD3分 CD=BE4分 （2）AMN是等边三角形理由如下：5分图11CNDABME ABE ACD， ABE=ACD M、N分别是BE、CD的中点， BM= AB=AC，ABE=ACD， ABM ACN AM=A

23、N，MAB=NAC6分 NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60o AMN是等边三角形7分 设AD=a，则AB=2a AD=AE=DE，AB=AC， CE=DE ADE为等边三角形， DEC=120 o， ADE=60o， EDC=ECD=30o ， ADC=90o8分 在RtADC中，AD=a，ACD=30 o ， CD=N为DC中点， ， 9分ADE，ABC，AMN为等边三角形，SADESABC SAMN10分解法二：AMN是等边三角形理由如下：5分ABE ACD，M、N分别是BE、CN的中点，AM=AN，NC=MBAB=AC，ABM ACN，MAB=NAC ，NAM=NAC+

24、CAM=MAB+CAM=BAC=60oAMN是等边三角形7分设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a易证BEAC，BE=， ADE，ABC，AMN为等边三角形 SADESABC SAMN10分27.（2009年绵阳市）如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；（2）若mn时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由（3）若m = tn（t1）时，试探究点

25、E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标xOEBAyCFxOEBAyCFxOEBAyCF25（1）由题意得m = n时，AOBC是正方形如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE EGO = 45，从而 AGE = 135由BF是外角平分线，得 EBF = 135， AGE =EBF AEF = 90， FEB +AEO = 90在RtAEO中， EAO +AEO = 90， EAO =FEB， AGEEBF，EF = AE（2）假设存在点E，使EF = AE设E（a，0）作FHx轴于H，如图由（1）知EAO =FEH，于是RtAOERtEHF F

26、H = OE，EH = OA 点F的纵坐标为a，即 FH = a由BF是外角平分线，知FBH = 45， BH = FH = a又由C（m，n）有OB = m， BE = OBOE = ma，xOEBAyCFG EH = ma + a = m又EH = OA = n， m = n，这与已知mn相矛盾因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立（3）如（2）图，设E（a，0），FH = h，则EH = OHOE = h + ma由 AEF = 90，EAO =FEH，得 AOEEHF， EF =（t + 1）AE等价于 FH =（t + 1）OE，即h =（t + 1）a，且，即，整理得 nh = ah + ama2， HxOEBAyCF把h =（t + 1）a 代入得 ，即 ma =（t + 1）（na）而 m = tn，因此 tna =（t + 1）（na）化简得 ta = n，解得 t1， nm，故E在OB边上当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）