2020年浙江省杭州市中考数学试卷

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1、2020年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题：每小题3分，共30分1（3分）（2020杭州）（）ABCD32（3分）（2020杭州）（1+y）（1y）（）A1+y2B1y2C1y2D1+y23（3分）（2020杭州）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（）A17元B19元C21元D23元4（3分）（2020杭州）如图，在ABC中，C90，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（）AcbsinBBbcsinBCabtanBDbctanB5（3分）（2020杭州）若ab，则（）Aa1bBb+1a

2、Ca+1b1Da1b+16（3分）（2020杭州）在平面直角坐标系中，已知函数yax+a（a0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（）ABCD7（3分）（2020杭州）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则（）AyzxBxzyCyxzDzyx8（3分）（2020杭州）设函数ya（xh）2+k（a，h，k是实数，a0），当x1时，y1；当x8时，y8，（）A若h4，则a0B若h5，则a0C若h6，则a0D若h7，则a09（3分）（2020杭州）如图，已知BC

3、是O的直径，半径OABC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E设AED，AOD，则（）A3+180B2+180C390D29010（3分）（2020杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1x2+ax+1，y2x2+bx+2，y3x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2ac设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A若M12，M22，则M30B若M11，M20，则M30C若M10，M22，则M30D若M10，M20，则M30二、填空题：每题4分，共24分11（4分）（2020杭州）若分式的值等于1，则x 12（4分）（2020杭州）如图

4、，ABCD，EF分别与AB，CD交于点B，F若E30，EFC130，则A 13（4分）（2020杭州）设Mx+y，Nxy，Pxy若M1，N2，则P 14（4分）（2020杭州）如图，已知AB是O的直径，BC与O相切于点B，连接AC，OC若sinBAC，则tanBOC 15（4分）（2020杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 16（4分）（2020杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接D

5、F若点E，F，D在同一条直线上，AE2，则DF ，BE 三、解答题：7小题，共66分17（6分）（2020杭州）以下是圆圆解方程1的解答过程解：去分母，得3（x+1）2（x3）1去括号，得3x+12x+31移项，合并同类项，得x3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程18（8分）（2020杭州）某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品（1）求4月份

6、生产的该产品抽样检测的合格率；（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？19（8分）（2020杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DEAC，EFAB（1）求证：BDEEFC（2）设，若BC12，求线段BE的长；若EFC的面积是20，求ABC的面积20（10分）（2020杭州）设函数y1，y2（k0）（1）当2x3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a4，求a和k的值（2）设m0，且m1，当xm时，y1p；当xm+1时，y1q圆圆说：“p一定大于q”你认为圆圆的说法正确吗？为什么？21（10分）（2020杭州）如图，在正方形ABC

7、D中，点E在BC边上，连接AE，DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F设（0）（1）若AB2，1，求线段CF的长（2）连接EG，若EGAF，求证：点G为CD边的中点求的值22（12分）（2020杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1x2+bx+a，y2ax2+bx+1（a，b是实数，a0）（1）若函数y1的对称轴为直线x3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r0，求证：函数y2的图象经过点（，0）（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n0，求m，n的值23（12分）（2020杭州）如图，已知AC

8、，BD为O的两条直径，连接AB，BC，OEAB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF（1）设O的半径为1，若BAC30，求线段EF的长（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，求证：PEPF若DFEF，求BAC的度数2020年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共30分1（3分）（2020杭州）（）ABCD3【考点】75：二次根式的乘除法菁优网版权所有【分析】根据二次根式的乘法运算法则进行运算即可【解答】解：，故选：B【点评】本题主要考查二次根式的乘法运算法则，关键在于熟练正确的运用运算法则，比较简单2（3分）（2020杭州）（1+y）（1y）（）A1+y2B1

9、y2C1y2D1+y2【考点】4F：平方差公式菁优网版权所有【分析】直接利用平方差公式计算得出答案【解答】解：（1+y）（1y）1y2故选：C【点评】此题主要考查了平方差公式，正确运用公式是解题关键3（3分）（2020杭州）已知某快递公司的收费标准为：寄一件物品不超过5千克，收费13元；超过5千克的部分每千克加收2元圆圆在该快递公司寄一件8千克的物品，需要付费（）A17元B19元C21元D23元【考点】1G：有理数的混合运算菁优网版权所有【分析】根据题意列出算式计算，即可得到结果【解答】解：根据题意得：13+（85）213+619（元）则需要付费19元故选：B【点评】此题考查了有理数的混合运算

10、，熟练掌握运算法则是解本题的关键4（3分）（2020杭州）如图，在ABC中，C90，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，则（）AcbsinBBbcsinBCabtanBDbctanB【考点】T1：锐角三角函数的定义菁优网版权所有【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题【解答】解：RtABC中，C90，A、B、C所对的边分别为a、b、c，sinB，即bcsinB，故A选项不成立，B选项成立；tanB，即batanB，故C选项不成立，D选项不成立故选：B【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，根据锐角三角函数的定义求出对应三角函数值即可5（3分）（2020杭州）若ab，则（）Aa1b

11、Bb+1aCa+1b1Da1b+1【考点】C2：不等式的性质菁优网版权所有【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C【解答】解：A、a0.5，b0.4，ab，但是a1b，不符合题意；B、a3，b1，ab，但是b+1a，不符合题意；C、ab，a+1b+1，b+1b1，a+1b1，符合题意；D、a0.5，b0.4，ab，但是a1b+1，不符合题意故选：C【点评】考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论不等式的传递性：若ab

12、，bc，则ac6（3分）（2020杭州）在平面直角坐标系中，已知函数yax+a（a0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（）ABCD【考点】F3：一次函数的图象；F8：一次函数图象上点的坐标特征菁优网版权所有【分析】求得解析式即可判断【解答】解：函数yax+a（a0）的图象过点P（1，2），2a+a，解得a1，yx+1，直线交y轴的正半轴，且过点（1，2），故选：A【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式7（3分）（2020杭州）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时

13、去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则（）AyzxBxzyCyxzDzyx【考点】W1：算术平均数菁优网版权所有【分析】根据题意，可以判断x、y、z的大小关系，从而可以解答本题【解答】解：由题意可得，yzx，故选：A【点评】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义8（3分）（2020杭州）设函数ya（xh）2+k（a，h，k是实数，a0），当x1时，y1；当x8时，y8，（）A若h4，则a0B若h5，则a0C若h6，则a0D若h7，则a0【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有【分析】当x1时，y1；当x

14、8时，y8；代入函数式整理得a（92h）1，将h的值分别代入即可得出结果【解答】解：当x1时，y1；当x8时，y8；代入函数式得：，a（8h）2a（1h）27，整理得：a（92h）1，若h4，则a1，故A错误；若h5，则a1，故B错误；若h6，则a，故C正确；若h7，则a，故D错误；故选：C【点评】本题考查了待定系数法、二次函数的性质等知识；熟练掌握待定系数法是解题的关键9（3分）（2020杭州）如图，已知BC是O的直径，半径OABC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E设AED，AOD，则（）A3+180B2+180C390D290【考点】M5：圆周角定理菁优网版权所有

15、【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用表示CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用表示COD，最后由角的和差关系得结果【解答】解：OABC，AOBAOC90，DBC90BEO90AED90，COD2DBC1802，AOD+COD90，+180290，290，故选：D【点评】本题主要考查了圆的基本性质，直角三角形的性质，关键是用表示COD10（3分）（2020杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1x2+ax+1，y2x2+bx+2，y3x2+cx+4，其中a，b，c是正实数，且满足b2ac设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）A若M12，M22，则M30B若M11

16、，M20，则M30C若M10，M22，则M30D若M10，M20，则M30【考点】H3：二次函数的性质；HA：抛物线与x轴的交点菁优网版权所有【分析】选项B正确，利用判别式的性质证明即可【解答】解：选项B正确理由：M11，M20，a240，b280，a，b，c是正实数，a2，b2ac，cb2，对于y3x2+cx+4，则有c216b216（b264）0，M30，选项B正确，故选：B【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题二、填空题：每题4分，共24分11（4分）（2020杭州）若分式的值等于1，则x0【考点】B3：解分式方

17、程菁优网版权所有【分析】根据分式的值，可得分式方程，根据解分式方程，可得答案【解答】解：由分式的值等于1，得1，解得x0，经检验x0是分式方程的解故答案为：0【点评】本题考查了分式的值，解分式方程要检验方程的根12（4分）（2020杭州）如图，ABCD，EF分别与AB，CD交于点B，F若E30，EFC130，则A20【考点】JA：平行线的性质菁优网版权所有【分析】直接利用平行线的性质得出ABF50，进而利用三角形外角的性质得出答案【解答】解：ABCD，ABF+EFC180，EFC130，ABF50，A+EABF50，E30，A20故答案为：20【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角

18、性质，正确得出ABF50是解题关键13（4分）（2020杭州）设Mx+y，Nxy，Pxy若M1，N2，则P【考点】4C：完全平方公式菁优网版权所有【分析】根据完全平方公式得到（x+y）2x2+2xy+y21，（xy）2x22xy+y24，两式相减即可求解【解答】解：（x+y）2x2+2xy+y21，（xy）2x22xy+y24，两式相减得4xy3，解得xy，则P故答案为：【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式：（ab）2a22ab+b214（4分）（2020杭州）如图，已知AB是O的直径，BC与O相切于点B，连接AC，OC若sinBAC，则tanBOC【考点】M5：圆周角定理；MC：切线

19、的性质；T7：解直角三角形菁优网版权所有【分析】根据切线的性质得到ABBC，设BCx，AC3x，根据勾股定理得到AB2x，于是得到结论【解答】解：AB是O的直径，BC与O相切于点B，ABBC，ABC90，sinBAC，设BCx，AC3x，AB2x，OBABx，tanBOC，故答案为：【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键15（4分）（2020杭州）一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是【考点】X6：列表法与树状图法菁优

20、网版权所有【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是故答案为：【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率16（4分）（2020杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF若点E，F，D在同一条直线上，AE2，则DF2，BE1【考点】LB：矩形的性质；P

21、B：翻折变换（折叠问题）菁优网版权所有【分析】根据矩形的性质得到ADBC，ADCBDAE90，根据折叠的性质得到CFBC，CFEB90，EFBE，根据全等三角形的性质得到DFAE2；根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】解：四边形ABCD是矩形，ADBC，ADCBDAE90，把BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，CFBC，CFEB90，EFBE，CFAD，CFD90，ADE+CDFCDF+DCF90，ADFDCF，ADEFCD（ASA），DFAE2；AFECFD90，AFEDAE90，AEFDEA，AEFDEA，EF1（负值舍去），BEEF1，故答案为：2，1【点评】本题考

22、查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键三、解答题：7小题，共66分17（6分）（2020杭州）以下是圆圆解方程1的解答过程解：去分母，得3（x+1）2（x3）1去括号，得3x+12x+31移项，合并同类项，得x3圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程【考点】86：解一元一次方程菁优网版权所有【分析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案【解答】解：圆圆的解答过程有错误，正确的解答过程如下：3（x+1）2（x3）6去括号，得3x+32x+66移项，合并同类项，得x3【点评】此题主要考查了解一元一次方程

23、，正确掌握解方程的步骤是解题关键18（8分）（2020杭州）某工厂生产某种产品，3月份的产量为5000件，4月份的产量为10000件用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测，并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品（1）求4月份生产的该产品抽样检测的合格率；（2）在3月份和4月份生产的产品中，估计哪个月的不合格件数最多？为什么？【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图菁优网版权所有【分析】（1）根据题意列式计算即可；（2）分别求得3月份生产的产

24、品中，不合格的件数和4月份生产的产品中，不合格的件数比较即可得到结论【解答】解：（1）（132+160+200）（8+132+160+200）100%98.4%，答：4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%；（2）估计4月份生产的产品中，不合格的件数多，理由：3月份生产的产品中，不合格的件数为50002%100，4月份生产的产品中，不合格的件数为10000（198.4%）160，100160，估计4月份生产的产品中，不合格的件数多【点评】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，正确的理解题意是解题的关键19（8分）（2020杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，D

25、EAC，EFAB（1）求证：BDEEFC（2）设，若BC12，求线段BE的长；若EFC的面积是20，求ABC的面积【考点】S9：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）由平行线的性质得出DEBFCE，DBEFEC，即可得出结论；（2）由平行线的性质得出，即可得出结果；先求出，易证EFCBAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果【解答】（1）证明：DEAC，DEBFCE，EFAB，DBEFEC，BDEEFC；（2）解：EFAB，ECBCBE12BE，解得：BE4；，EFAB，EFCBAC，（）2（）2，SABCSEFC2045【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行

26、线的性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键20（10分）（2020杭州）设函数y1，y2（k0）（1）当2x3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a4，求a和k的值（2）设m0，且m1，当xm时，y1p；当xm+1时，y1q圆圆说：“p一定大于q”你认为圆圆的说法正确吗？为什么？【考点】G4：反比例函数的性质菁优网版权所有【分析】（1）由反比例函数的性质可得，；a4，；可求a的值和k的值；（2）设mm0，且1m00，将xm0，xm0+1，代入解析式，可求p和q，即可判断【解答】解：（1）k0，2x3，y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，当x2时，y1最大值为，；

27、当x2时，y2最小值为a4，；由，得：a2，k4；（2）圆圆的说法不正确，理由如下：设mm0，且1m00，则m00，m0+10，当xm0时，py1，当xm0+1时，qy10，p0q，圆圆的说法不正确【点评】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是本题的关键21（10分）（2020杭州）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F设（0）（1）若AB2，1，求线段CF的长（2）连接EG，若EGAF，求证：点G为CD边的中点求的值【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质

28、；S9：相似三角形的判定与性质菁优网版权所有【分析】（1）根据AB2，1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）要证明点G为CD边的中点，只要证明ADGFGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到ADGFGC的条件，从而可以证明结论成立；根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到的值【解答】解：（1）在正方形ABCD中，ADBC，DAGF，又AG平分DAE，DAGEAG，EAGF，EAEF，AB2，B90，点E为BC的中点，BEEC1，AE，EF，CFEFEC1；（2

29、）证明：EAEF，EGAF，AGFG，在ADG和FCG中，ADGFCG（AAS），DGCG，即点G为CD的中点；设CD2a，则CGa，由知，CFDA2a，EGAF，GDF90，EGC+CGF90，F+CGF90，ECGGCF90，EGCF，EGCGFC，GCa，FC2a，ECa，BEBCEC2aaa，【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答22（12分）（2020杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1x2+bx+a，y2ax2+bx+1（a，b是实数，a0）（1）若函数y1的对称轴为直线x3，且函

30、数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r0，求证：函数y2的图象经过点（，0）（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n0，求m，n的值【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H7：二次函数的最值；H8：待定系数法求二次函数解析式菁优网版权所有【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r0，可得r2+br+a0，推出1+0，即a（）2+b+10，推出是方程ax2+bx+1的根，可得结论（3）由题意a0，m，n，根据m+n0，构建方程可得结论【解答】解：（

31、1）由题意，得到3，解得b6，函数y1的图象经过（a，6），a26a+a6，解得a2或3，函数y1x26x+2或y1x26x+3（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r0，r2+br+a0，1+0，即a（）2+b+10，是方程ax2+bx+1的根，即函数y2的图象经过点（，0）（3）由题意a0，m，n，m+n0，+0，（4ab2）（a+1）0，a+10，4ab20，mn0【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型23（12分）（2020杭州）如图，已知AC，BD为O的两条直径，连接AB，BC，OE

32、AB于点E，点F是半径OC的中点，连接EF（1）设O的半径为1，若BAC30，求线段EF的长（2）连接BF，DF，设OB与EF交于点P，求证：PEPF若DFEF，求BAC的度数【考点】MR：圆的综合题菁优网版权所有【分析】（1）解直角三角形求出AB，再证明AFB90，利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题（2）过点F作FGAB于G，交OB于H，连接EH想办法证明四边形OEHF是平行四边形可得结论想办法证明FDFB，推出FOBD，推出AOB是等腰直角三角形即可解决问题【解答】（1）解：OEAB，BAC30，OA1，AOE60，OEOA，AEEBOE，AC是直径，ABC90，C60，OCOB，O

33、CB是等边三角形，OFFC，BFAC，AFB90，AEEB，EFAB（2）证明：过点F作FGAB于G，交OB于H，连接EHFGAABC90，FGBC，OFHOCB，同理，FHOE，OEABFHAB，OEFH，四边形OEHF是平行四边形，PEPFOEFGBC，1，EGGB，EFFB，DFEF，DFBF，DOOB，FOBD，AOB90，OAOB，AOB是等腰直角三角形，BAC45【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题考点卡片1有理

34、数的混合运算（1）有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算（2）进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化【规律方法】有理数混合运算的四种运算技巧1转化法：一是将除法转化为乘法，二是将乘方转化为乘法，三是在乘除混合运算中，通常将小数转化为分数进行约分计算2凑整法：在加减混合运算中，通常将和为零的两个数，分母相同的两个数，和为整数的两个数，乘积为整数的两个数分别结合为一组求解3分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算4巧用运算律：在计算中巧妙运用加法运算律或乘法运算律

35、往往使计算更简便2完全平方公式（1）完全平方公式：（ab）2a22ab+b2可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”（2）完全平方公式有以下几个特征：左边是两个数的和的平方；右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同（3）应用完全平方公式时，要注意：公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式3平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差（a+b）（ab）a2b2（2）应用平方差公式计算

36、时，应注意以下几个问题：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方；公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便4二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：（a0，b0）（2）二次根式的乘法法则：（a0，b0）（3）商的算术平方根的性质：（a0，b0）（4）二次根式的除法法则：（a0，b0）规律方法总结：在使用性质（a0，b0）时一定要注意a0，b0的条件限制，如果a0，b0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）（）49；同样的在使

37、用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此5解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向xa形式转化（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号（3）在解类似于“ax+bxc”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）xc使方程逐渐转化为axb的最简形式体现化归思想将axb系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还

38、是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负6解分式方程（1）解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0，则整式方程的解不是原分式方程的解所以解分式方程时，一定要检验7不等式的性质（1）不等式的基本性质不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若ab，那么ambm；不等式的两边同时乘

39、以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若ab，且m0，那么ambm或；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若ab，且m0，那么ambm或；（2）不等式的变形：两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变【规律方法】1应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论2不等式的传递性：若ab，bc，则ac8一次函数的图象（1）一次函数的图象的

40、画法：经过两点（0，b）、（，0）或（1，k+b）作直线ykx+b注意：使用两点法画一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整数，以便于描点准确一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线（正比例函数是过原点的直线），但直线不一定是一次函数的图象如xa，yb分别是与y轴，x轴平行的直线，就不是一次函数的图象（2）一次函数图象之间的位置关系：直线ykx+b，可以看做由直线ykx平移|b|个单位而得到当b0时，向上平移；b0时，向下平移注意：如果两条直线平行，则其比例系数相等；反之亦然；将直线平移，其规律是：上加下减，左加右减；两条直线相交，其交点都适合这

41、两条直线9一次函数图象上点的坐标特征一次函数ykx+b，（k0，且k，b为常数）的图象是一条直线它与x轴的交点坐标是（，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）直线上任意一点的坐标都满足函数关系式ykx+b10反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y（k0）的图象是双曲线；（2）当k0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点11二次函数的性质二次函数yax2+bx+c（a0）的顶点坐标是（，），对称轴直线x，二次函数yax2+bx+c（a0）的

42、图象具有如下性质：当a0时，抛物线yax2+bx+c（a0）的开口向上，x时，y随x的增大而减小；x时，y随x的增大而增大；x时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点当a0时，抛物线yax2+bx+c（a0）的开口向下，x时，y随x的增大而增大；x时，y随x的增大而减小；x时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点抛物线yax2+bx+c（a0）的图象可由抛物线yax2的图象向右或向左平移|个单位，再向上或向下平移|个单位得到的12二次函数图象与系数的关系二次函数yax2+bx+c（a0）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开

43、口大小，|a|越大开口就越小一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右侧（简称：左同右异）常数项c决定抛物线与y轴交点 抛物线与y轴交于（0，c）抛物线与x轴交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点13二次函数图象上点的坐标特征二次函数yax2+bx+c（a0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）抛物线是关于对称轴x成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式顶点是抛物线的最高点或最低点抛物线与y轴交点

44、的纵坐标是函数解析中的c值抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x14二次函数的最值（1）当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x时，y（2）当a0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x时，y（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获

45、得最值15待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：一般式：yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）； 顶点式：ya（xh）2+k（a，h，k是常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标； 交点式：ya（xx1）（xx2）（a，b，c是常数，a0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点

46、式来求解16抛物线与x轴的交点求二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）与x轴的交点坐标，令y0，即ax2+bx+c0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标（1）二次函数yax2+bx+c（a，b，c是常数，a0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c0根之间的关系b24ac决定抛物线与x轴的交点个数b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；b24ac0时，抛物线与x轴有1个交点；b24ac0时，抛物线与x轴没有交点（2）二次函数的交点式：ya（xx1）（xx2）（a，b，c是常数，a0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）17平行线的性质1、平行线性质定理

47、 定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等 简单说成：两直线平行，同位角相等 定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补简单说成：两直线平行，同旁内角互补 定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 简单说成：两直线平行，内错角相等2、两条平行线之间的距离处处相等18全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形19角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等注意：这里的距离

48、是指点到角的两边垂线段的长；该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，C在AOB的平分线上，CDOA，CEOBCDCE20勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2c2（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中（3）勾股定理公式a2+b2c2 的变形有：a，b及c（4）由于a2+b2c2a2，所以ca，同理cb，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边21矩形的性质（1）矩形的定义

49、：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的性质平行四边形的性质矩形都具有；角：矩形的四个角都是直角；边：邻边垂直；对角线：矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形，又是中心对称图形它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半22正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）正方形的性质正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一

50、切性质两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴23圆周角定理（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角注意：圆周角必须满足两个条件：顶点在圆上角的两条边都与圆相交，二者缺一不可（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握（4）注意：圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化

51、圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”圆心角转化定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角24切线的性质（1）切线的性质圆的切线垂直于经过切点的半径经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（2）切线的性质可总结如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：直线过圆心；直线过切点；直线与圆的切线垂直（3）切线性质的运用由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系简记作：见切点，连半径，见垂直25圆的综合题圆

52、的综合题26翻折变换（折叠问题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数27相似三角形的判定与性质（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似

53、多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可28锐角三角函数的定义在RtABC中，C90（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做A的正弦，记作sinA即sinAA

54、的对边除以斜边（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做A的余弦，记作cosA即cosAA的邻边除以斜边（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做A的正切，记作tanA即tanAA的对边除以A的邻边（4）三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做A的锐角三角函数29解直角三角形（1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形（2）解直角三角形要用到的关系锐角、直角之间的关系：A+B90；三边之间的关系：a2+b2c2；边角之间的关系：sinA，cosA，tanA（a，b，c分别是A、B、C的对边）30用样本估计总体用样本估计总体是统计的基本思想 1、用样本的频

55、率分布估计总体分布：从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况 2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确31频数（率）分布直方图画频率分布直方图的步骤：（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成512组）（3）确定分点，将数据分组（4）列频率分布表（5）绘制频率分布直方图注：频率分布表列出的是在各个不同区间内取值的频率，频率分布直方图是用小长方形面积的大小来表示在各个区间内取值的频率直