数学物理方法课件：第十一章柱函数及其应用

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1、第十一章第十一章 柱函数及其应用柱函数及其应用0 u用柱坐标系对用柱坐标系对分离变量分离变量）（）（）（），（zZRzu 022 dd）（）（2构成本征值问题构成本征值问题本征值：本征值：2m ），（3210 m本征函数本征函数：msinBmcosA ）（022 ZdzZd 012222 RmddRdRd）（012222 RmddRdRd）（022 ZdzZd 01 ）（022 dzZd02222 RmddRdRd DzCzZ ）（欧拉型常微分方程）（欧拉型常微分方程）（）（）（00 mmFElnFERmm 022 ZdzZd 02 ）（zzDeCezZ ）（对对 作变量代换：作变量代换：）（

2、R x022222 RmxdxdRxdxRdx）（m 阶贝塞尔方程）阶贝塞尔方程）（）（）（xNcxJcxRmm21 m 阶贝塞尔函数阶贝塞尔函数:)x(Jm012222 RmddRdRd）（m 阶诺伊曼函数阶诺伊曼函数:)x(Nm0122222 RmddRdRd）（0222 ZdzZd 03 ）（zsinDzcosCzZ ）（对对 作变量代换：作变量代换：）（Rx022222 RmxdxdRxdxRdx）（m 阶虚宗量贝塞尔方程）阶虚宗量贝塞尔方程）2）（）（）（xKcxIcxRmm21 m 阶虚宗量贝塞尔函数：阶虚宗量贝塞尔函数：:)x(Imm 阶虚宗量汉克尔函数阶虚宗量汉克尔函数:)x(

3、Km02 vkv用柱坐标系对用柱坐标系对分离变量分离变量）（）（）（），（zZRzv 022 dd）（）（2构成本征值问题构成本征值问题本征值：本征值：2m ），（3210 m本征函数本征函数：msinBmcosA ）（0222 ZdzZd 01222222 RmkddRdRd）（012 ）（022 dzZdDzCzZ ）（21zzzz ，处齐次边界条件决定本征值处齐次边界条件决定本征值2 0222 ZdzZd 构成本征值问题构成本征值问题zsinDzcosCzZ ）（022 ）（0222 ZdzZd 02222 RmddRdRd （欧拉型常微分方程）（欧拉型常微分方程）（）（）（00 mmF

4、ElnFERmm 01222222 RmkddRdRd）（当：当：022 k当：当：022 k令：令：22k022222 RmxdxdRxdxRdx）（）（x（m 阶贝塞尔方程）阶贝塞尔方程）（）（）（xNcxJcxRmm21 02 vkv用球坐标系对用球坐标系对分离变量分离变量)()()()(rR,rv022 dd）（）（2构成本征值问题构成本征值问题本征值：本征值：2m ），（3210 m本征函数本征函数：msinBmcosA ）（连带勒让德方程）（连带勒让德方程）)(cosP)(ml 0112122222 xm)l(ldxdxdxd)x()cosx(（l 阶球贝塞尔方程）阶球贝塞尔方程）

5、01222222 RllrkdrdRrdrRdr）（0 k若若012222 RlldrdRrdrRdr）（欧拉型方程）（欧拉型方程）11 llrDCrrR）（0 k若若krx ）（）（xyxrR2 02122222 ylxdxdyxdxydx）（阶贝塞尔方程：阶贝塞尔方程：）（21 l）（）（）（）（xJcxJcxyll212121 111 三类柱函数三类柱函数一、一、三类柱函数的定义：三类柱函数的定义：1 第一类柱函数第一类柱函数:贝塞尔贝塞尔(Bessel)函数函数 02211kkkxkkxJ ）（）（！）（）（)(整数 02211kkkxkkxJ ）（）（！）（）（)(整数 02211k

6、kmkmxkmkxJ）（）（！）（）（)m(整数）（）（）（xJxJmmm1 )m(整数 虚宗量贝塞尔函数虚宗量贝塞尔函数 02211kkxkkixJixI ）（）（！）（）（)(整数 02211kkxkkixJixI ）（）（！）（）（)(整数 )x(IixJixImmmm ）（）（)m(整数 0221kkmmmmxkmkixJixI）（）！（）（）（)m(整数 2 第二类柱函数第二类柱函数:诺伊曼诺伊曼(Neumann)函数函数 sinxJcosxJ)x(N）（）（)(整数 ）（）（xNlimxNmm )m(整数 3 第三类柱函数第三类柱函数:汉克尔汉克尔(Hankel)函数函数)x(iN

7、)x(J)x(H)(1)x(iN)x(J)x(H)(2 sinxIxIlinxKmm）（）（）（2)m(整数 sinxIxIxK）（）（）（2)(整数 贝塞尔方程的通解一般是这三种柱函数的线性组合贝塞尔方程的通解一般是这三种柱函数的线性组合贝塞尔方程的通解：贝塞尔方程的通解：虚宗量贝塞尔方程的解虚宗量贝塞尔方程的解:）（）（）（xHcxHcxR)()(2211 ）（）（）（xNcxJcxRmm21 (整数整数 m 阶阶)）（）（）（xJcxJcxR 21(非整数非整数v 阶阶)）（）（）（xNcxJcxR 21 (非整数非整数v 阶阶)）（）（）（xKcxIcxRmm21 (整数整数 m 阶阶

8、)）（）（）（xIcxIcxR 21(非整数非整数v 阶阶)当当0 x时：时：）（）（）（211xxJ mmxmxJ）（）（）（211二、二、柱函数在柱函数在 时的渐近行为：时的渐近行为：,x0 x ）（）（cxlnxN220 ）（xNm ）（xN ）（xI ）（xK 141120 xxJ）（在解圆柱内部问题时，解在在解圆柱内部问题时，解在x=0 点（轴线上）点（轴线上）应有限，只能取：应有限，只能取：kkkxkxJ202021）（！）（）（）（kmkkmxkmkxJ2021 ）（）！（）（）（kkkxkkxJ20211 ）（）（！）（）（0211 ）（）（）（xxJ021 mmxmxJ）（！

9、）（0)x(I 10)x(I)x(I0)x(I)x(Im当当 x时：时：0422 )xcos(x)x(J 0422 )xsin(x)x(N 02421 )x(i)(ex)x(H 02422 )x(i)(ex)x(H 012 xmex)x(K xex)x(I21 在解圆柱外部问题时，解在在解圆柱外部问题时，解在 x 时（无限远处）时（无限远处）应有限，除应有限，除 Iv(x)外，其余的解都不可任意舍弃。外，其余的解都不可任意舍弃。三、三、柱函数的微分关系和递推公式柱函数的微分关系和递推公式1微分关系：微分关系：x)x(Jx)x(Jdxd1 （1）)x(Jx)x(Jxdxd1 （2）2递推公式：递

10、推公式：x)x(Jx)x(Jdxd1 由由 x)x(Jx)x(Jx)x(J11 得得)x(Jx)x(J)x(J1 由由 )x(Jx)x(Jxdxd1 )x(Jx)x(Jx)x(Jx11 得得)x(Jx)x(J)x(J1 )x(J)x(Jx)x(J 1)x(J)x(Jx)x(J 1)x(J)x(J1 将两式相加减得：将两式相加减得：)x(Jx)x(J)x(J 211 )x(J)x(J)x(J 211)x(J)x(J)x(J11 以上关系对所有柱函数都成立以上关系对所有柱函数都成立)x(J)x(Jx)x(J1234 )x(Jx)x(J)x(012418 )x(J)()x(Jmmm1 所有整数阶贝塞

11、尔函数都可用所有整数阶贝塞尔函数都可用 、表示表示)x(J0)x(J1)x(J)x(Jx)x(J0122 )x(J)x(Jx002 )x(J)x(J)x(J110 对整数对整数(m)阶贝塞尔函数：阶贝塞尔函数：四、整数四、整数(m)阶贝塞尔函数的母函数、阶贝塞尔函数的母函数、积分表示和加法公式积分表示和加法公式1母函数母函数称为整数称为整数(m)阶贝塞尔函数的母函数阶贝塞尔函数的母函数复变函数复变函数)z(zxe12)z(0 mmm)z(z)x(Jezx12)z(02积分表示积分表示 d)msinxcos()x(Jm213加法公式加法公式 kkmkm)y(J)x(J)yx(J五、整数五、整数(

12、m)阶贝塞尔函数的零点及其性质阶贝塞尔函数的零点及其性质0)x(Jm使使的的)m(nxx 称为称为 Jm(x)的零点的零点（1）Jm(x)有无限多个单重实零点：有无限多个单重实零点：)m(n)m()m(x,x,x21；使；使0)x(J)m(nm（2）Jm(x)的零点正负成对的零点正负成对 ，它们关于，它们关于 原点对称分布。原点对称分布。)m(nx（3）Jm(x)和和Jm+1(x)的零点两两相间分布。的零点两两相间分布。Jm(x)的两个相邻零点之间必有的两个相邻零点之间必有Jm+1(x)的一个零的一个零点。点。0110 )x(J)x(J)x(J（4）J0(x)的极值点就是的极值点就是J1(x)

13、和和J-1(x)的零点。的零点。112 贝塞尔方程、贝塞尔函数及其应用贝塞尔方程、贝塞尔函数及其应用一、贝塞尔函数与本征值问题一、贝塞尔函数与本征值问题0 u用柱坐标系对用柱坐标系对分离变量分离变量02 vkv012222 RmddRdRd）（得到贝塞尔方程：得到贝塞尔方程：本征值本征值 由问题的边界条件确定由问题的边界条件确定1当圆柱侧面有齐次当圆柱侧面有齐次边界条件时边界条件时0 则若,0 022222 RmxdxdRxdxRdx）（)x(）（）（）（xKcxIcxRmm21 .,)(0恒不为零外轴线上）除（）和（xxKxImm不满足侧面齐次边界条件。不满足侧面齐次边界条件。0 02222

14、 RmddRdRd ）（）（）（00 mmFElnFERmm 0 022222 RmxdxdRxdxRdx）（)x(）（）（）（xNcxJcxRmm21 0 对圆柱内部解：对圆柱内部解：在圆柱轴线上解应为有限值（自然边界条件）在圆柱轴线上解应为有限值（自然边界条件）00 )(R0 )(Nm （应舍弃）（应舍弃）（）（mJcR1 本征值本征值 由圆柱侧面的齐次边界条件确定：由圆柱侧面的齐次边界条件确定：（）（）圆柱侧面有圆柱侧面有第一类第一类齐次边界条件齐次边界条件0：圆柱半径：圆柱半径自然边界条件：自然边界条件：有限值 0 )(R将解代入边界条件得：将解代入边界条件得：000 )(J)(Rm

15、设设)m(nx是是 Jm(x)的第的第n个零点个零点则本征值：则本征值：20)x()m(nn ),n(321（由数学用表查）（由数学用表查）0000 )(Jd)(dJddRmm （）（）圆柱侧面有圆柱侧面有第二类第二类齐次边界条件齐次边界条件0：圆柱半径：圆柱半径将解代入边界条件得：将解代入边界条件得：则本征值：则本征值：20)x()m(nn ),n(321 00 ddR00 )(Jm 设设)m(nx是是 的第的第n个零点个零点)x(Jm 当当m=0时：时：)x(J)x(J10 的零点由递推公式的零点由递推公式)x(Jm 02111 )x(J)x(J)x(Jmmm解出。解出。（）（）圆柱侧面有

16、圆柱侧面有第三类第三类齐次边界条件齐次边界条件00 ddRH)(R0：圆柱半径：圆柱半径将解代入边界条件得：将解代入边界条件得：000 )(JH)(Jmm )(J)(Jm)(Jmmm01000 001000 )(J)(JmH)(Jmmm )(JH)(J)mH(mm01001 )(JmHH)(Jmm01001 设该方程的根是设该方程的根是)m(nx则本征值：则本征值：20)x()m(nn ),n(321 2当圆柱上下底面有齐次当圆柱上下底面有齐次边界条件时边界条件时0 zzDeCezZ:）（解为满足的方程则若)z(Z,0 022 ZdzZd 要使要使0021 zzzz)z(Z)z(Z和只有只有0

17、)z(ZDzCzZ:）（解为满足的方程则若)z(Z,0 022 dzZd要使要使0021 zzzz)z(Z)z(Z和同样只有同样只有0)z(Z所以，当圆柱上下底面有齐次所以，当圆柱上下底面有齐次边界条件时边界条件时0 022222 RmxdxdRxdxRdx）（m 阶虚宗量贝塞尔方程）阶虚宗量贝塞尔方程）（）（）（xKcxIcxRmm21 )x(对应于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区对应于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间间0，0上带权重上带权重正交：正交：)ln(dJJlmnm 000 ）（）（二、贝塞尔函数的正交关系二、贝塞尔函数的正交关系三、贝塞尔函数的模三、贝塞尔函数的模)m(nN 002

18、2 d)(JN)m(nm)m(n222()00()1()()2mmnmnmJ22()001()2mmnJ模与边界条件有关，不同的边界条件模不同模与边界条件有关，不同的边界条件模不同 20220221)(J)m(N)m(nm)m(n)m(n 202021)(J)m(nm （）（）圆柱侧面有圆柱侧面有第一类第一类齐次边界条件齐次边界条件000 )(J)(R)m(nm 2020221)(JN)m(nm)m(n 2012021)(J)m(nm 1 mmmJJxmJ0 mJ1 mmJJ)(JN)m(nm)m(n01021 20220221)(J)m(N)m(nm)m(n)m(n 202021)(J)m(

19、nm （2）圆柱侧面有圆柱侧面有第二类第二类齐次边界条件齐次边界条件000 )(JddR)m(nm 20220221)(J)m(N)m(nm)m(n)m(n )(JmN)m(n)m(n)m(n022021 （3）圆柱侧面有圆柱侧面有第三类第三类齐次边界条件齐次边界条件 20220221)(J)m(N)m(nm)m(n)m(n 202021)(J)m(nm 2020220221)(J)Hm(N)m(nm)m(n)m(n)m(n )(JHmN)m(n)m(n)m(n)m(n02022021 00 ddRH)(R()0()0()()mmnmmnmnJJH 1n)m(nmnJff）（）（四、傅里叶四、

20、傅里叶贝塞尔级数贝塞尔级数不同本征值的贝塞尔函数不同本征值的贝塞尔函数 的全体的全体组成一完备的本征函数族，可以将它们作为广组成一完备的本征函数族，可以将它们作为广义傅里叶级数的展开基，将定义在区间义傅里叶级数的展开基，将定义在区间0，0上的函数上的函数 f（）展为广义）展为广义傅里叶傅里叶贝塞尔级数贝塞尔级数)(J)m(nm 0021 dx)(JfNf)m(nm)m(nn）（当当 0 傅里叶傅里叶贝塞尔级数变为积分：贝塞尔级数变为积分：0 d)(J)(F)(fm 0 d)(J)(f)(Fm计算展开系数可用贝塞尔函数微分、积分关系：计算展开系数可用贝塞尔函数微分、积分关系：mmmmx)x(Jx

21、)x(Jdxd1 )x(Jx)x(Jxdxdmmmm1 )x(Jdx)x(dJ10 cx)x(Jdxx)x(Jmmmm 1c)x(Jxdx)x(Jxmmmm 1c)x(Jdx)x(J 01c)x(xJdx)x(xJ 10例例1 计算积分计算积分 0003xdx)x(JxI解解 0003xdx)x(JxI 0012x)x(xJdxc)x(xJdx)x(xJ 10 00010132xxxdx)x(xJ)x(Jx 001201302xdx)x(Jx)x(Jx 002201302x)x(Jx)x(Jx c)x(Jxdx)x(Jx 2212 002201302x)x(Jx)x(JxI )x(Jx)x(J

22、x022001302 )x(Jx)x(Jx)x(Jx0020010013024 )x(J)x(Jx)x(J0010022 例例2 在第一类边界条件下，把定义在区间在第一类边界条件下，把定义在区间 0，0上的函数上的函数 f（）=u0 按零阶贝塞尔函数按零阶贝塞尔函数展为展为傅里叶傅里叶贝塞尔级数。贝塞尔级数。解解 1000n)(nn)(Jfu 00000201 d)(JuNf)(n)(nn在第一类边界条件下：在第一类边界条件下：201202021)(JN)(n)(n 000 )(n)(nx 其中其中)(nx0是是 J0(x)的第的第n个零点个零点 000002012002 d)x(J)x(Ju

23、f)(n)(nn 0000000002002012002 )x(d)x)(x(J)x()x(Ju)(n)(n)(n)(n)(n )(nx)(n)(ndx)x(xJ)x(Jxu000201002xx)(n 00 )(nx)(n)(nndx)x(xJ)x(Jxuf000201002 )(nx)(n)(n)x(xJ)x(Jxu001201002 )x(Jxu)(n)(n01002 1000010002n)(n)(n)(n)x(J)x(Jxuu 五、贝塞尔函数应用例五、贝塞尔函数应用例例1匀质圆柱，半径为0，高为L,柱侧绝热，上下底面温度分布为f2和f1,求解柱内的稳定温度分布？解解)z,(u 设圆柱

24、内稳定温度分布为设圆柱内稳定温度分布为0 u00 u有限值 0 u)(fuz 10 )(fuLz 2 0112222222 zuuuuu 用柱坐标系对用柱坐标系对分离变量分离变量）（）（）（），（zZRzu 022 dd）（）（2 msinBmcosA ）（），（3210 m)m(RmddRdRd0012222 ）（轴对称轴对称)m()(0 常数 圆柱侧面有第二类齐次圆柱侧面有第二类齐次边界条件边界条件00 u0 00 m,0122 ddRdRd lnBA)(R 00 m,022222 RmxdxdRxdxRdx）（)x()x(NC)x(JC)(R0201 自然边界条件：自然边界条件：有限值

25、0 )(R有限值 0 u002 C,B)x(NC)x(JClnBA)(R0201 )(JCA)(R 01 由圆柱侧面边界条件：由圆柱侧面边界条件：00 u确定本征值确定本征值00 R00010 )(JCR )x(J)x(J10 001)(J 本征值：本征值：2000)x()(n)(n ),n(321 其中其中)(nx0是是 的第的第n个零点个零点)x(J1022 ZdzZd 0 022 dzZdDzCzZ ）（0 022 ZdzZd zzFeEezZ ）（1000000000n)(nzxnzxn)x(J)eBeA(zBA)z,(u)(n)(n 由上、下底面边界条件确定系数由上、下底面边界条件确

26、定系数nnB,A,B,A00将解代入边界条件：将解代入边界条件：)(fuz 10 )(fuLz 2 )(f)x(J)BA(Aun)(nnnz 1100000 )(f)x(J)eBeA(LBAun)(nLxnLxnLz)(n)(n 21000000000 将右边分别展为将右边分别展为傅里叶傅里叶贝塞尔级数贝塞尔级数 100011n)(nnxJff）（）（0000012011 d)x(J)(fNf)(n)(nn对第二类对第二类齐次边界条件齐次边界条件 20220221)(J)m(N)m(nm)m(n)m(n 2002021)x(J)(n )x(,m)(n)(n20000 0000012002012

27、 d)x(J)(f)x(Jf)(n)(nn 100022n)(nnxJff）（）（0000022002022 d)x(J)(f)x(Jf)(n)(nn比较系数：比较系数：10000n)(nnn)x(J)BA(A 10001n)(nnxJf）（1000000000n)(nLxnLxn)x(J)eBeA(LBA)(n)(n 10002n)(nnxJf）（0000001200201002 d)x(J)(f)x(JfA)()(n 001202 d)(f000)(x100)(J 0022020002 d)(ffLBA 00000012002012 d)x(J)(f)x(JfBA)()(nnnn nxnL

28、xnfeBeA)(n)(n20000 000002200202 d)x(J)(f)x(J)(n)(n解之得：解之得：100fA )ff(LB102001 LnLnn)(nx)(nx)(nxeefefA00000021 LnLnn)(nx)(nx)(nxeefefB00000021 1000000000n)(nzxnzxn)x(J)eBeA(zBA)z,(u)(n)(n 0000022002022 d)x(J)(f)x(Jf)(n)(nn 0000012002012 d)x(J)(f)x(Jf)(n)(nn例例2 圆柱体半径为圆柱体半径为0，高为，高为L,侧面和下底面温度为侧面和下底面温度为u0

29、,上底面绝热，初始温度为上底面绝热，初始温度为u0+f1()f2(z),求圆柱内温度变化情求圆柱内温度变化情况？况？解解：设圆柱内温度分布为设圆柱内温度分布为)t,z,(u 满足输运方程和定解条件满足输运方程和定解条件:02 uaut00uu 有限 0 u00uuz 0 Lzzu)z(f)(fuut2100 为把边界条件齐次化，令；为把边界条件齐次化，令；vuu 0v 满足定解问题满足定解问题:02 vavt00 v0v有限00 zv0 Lzzv)z(f)(fvt210 问题以问题以z轴为对称轴轴为对称轴在柱坐标系下在柱坐标系下222222211zzvvvv )m(v0022 0122222

30、)zvvv(atv 02 vavt)t(T)z(Z)(Rt,z,v ）（022 TakT02 ZZ 02222 RxdxdRxdxRdx)k,x(022 )x(NC)x(JC)(R0201 考虑自然边界条件：考虑自然边界条件：有限 0 v舍去舍去)x(N0)(JC)(R 01 本征值由圆柱侧面边界条件本征值由圆柱侧面边界条件00 v确定确定00010 )(JC)(R 设设)(nx0是是 的第的第n个零点个零点)x(J0本征值：本征值：)(nx00 2000)x()(n)(n ),n(321 02 ZZ zsinB)z(Z 由上、下底面边界条件确定本征值由上、下底面边界条件确定本征值：0 Lco

31、sB)zsinB(dzddzdZLz 0 A00 zcosAZz),p()p(L21021 本征值：本征值：L)p(21 ),p(3210 022 TakTtakce)t(T22 2222002221L)p()x(k)(n ),p(210),n(321 10212222200nptaL)p()x(np)(neA)t,z,(v )zL)p(sin()x(J)(n 21000 由初始条件确定系数由初始条件确定系数npA 1201000021np)(nnpt)z(f)(f)zL)p(sin()x(JAv 在第一类边界条件下，以在第一类边界条件下，以 为基，为基，)x(J)(n 000把把 f1（）展

32、为）展为傅里叶傅里叶贝塞尔级数：贝塞尔级数：10001n)(nnxJff）（）（000001201202 d)x(J)(f)x(Jf)(n)(nn以以 为基，为基，)zL)p(sin(21 把把 f2（z）展为）展为傅里叶级数：傅里叶级数：)zL)p(sin(f)z(fpp 0221 Lpdz)zL)p(sin()z(fLf02212 比较系数：比较系数：120100021np)(nnp)z(f)(f)zL)p(sin()x(JA 1000021np)(npn)zL)p(sin()x(Jff pnnpffA 000001201202 d)x(J)(f)x(J)(n)(n Ldz)zL)p(si

33、n()z(fL02212 10212222200nptaL)p()x(np)(neA)t,z,(v )zL)p(sin()x(J)(n 21000 )t,z,(vu)t,z,(u 0113 虚宗量贝塞尔方程、虚宗量贝塞尔方程、虚宗量贝塞尔函数及其应用虚宗量贝塞尔函数及其应用0 u用柱坐标系对用柱坐标系对分离变量分离变量02 vkv得到贝塞尔方程：得到贝塞尔方程：012222 RmddRdRd）（022 ZdzZd 和和01222222 RmkddRdRd）（)k(22当圆柱上下底面有齐次当圆柱上下底面有齐次边界条件时边界条件时0 zzDeCezZ:）（解为满足的方程则若)z(Z,0 022 Z

34、dzZd 要使要使0021 zzzz)z(Z)z(Z和只有只有0)z(ZDzCzZ:）（解为满足的方程则若)z(Z,0 022 dzZd要使要使0021 zzzz)z(Z)z(Z和同样只有同样只有0)z(Z（m 阶虚宗量贝塞尔方程）阶虚宗量贝塞尔方程）（）（）（xKcxIcxRmm21 022222 RmxdxdRxdxRdx）（)x(:时0 0221kkmmmmxkmkixJixI）（）！（）（）（)m(整数 sinxIxIlinxKmm）（）（）（2一、一、基本性质基本性质1除除 x=0 外，外，)x(K),x(I),x(K),x(I1100没有实零点。没有实零点。2虚宗量贝塞尔方程在虚宗

35、量贝塞尔方程在 x=0 点点 具有自然边界条件：具有自然边界条件：有限 0 x)x(R )(Km0)m()(Im000 3当当0 x时：时：100)(I如果研究的区域包含圆柱轴线（如果研究的区域包含圆柱轴线（x=0 点）点）则自然边界条件排除则自然边界条件排除Km(x)，只能取，只能取Im(x)。4当当 x时：时：)x(Im0)x(Km如果研究的区域包括圆柱外无限区间，如果研究的区域包括圆柱外无限区间，则应排除则应排除Im(x)，只能取，只能取Km(x)。二二、应用举例应用举例例例1 （p.357)解解)z,(u 设圆柱内稳定温度分布为设圆柱内稳定温度分布为0 u00qu 有限值 0 u00u

36、uz 0uuLz 为把边界条件齐次化，令；为把边界条件齐次化，令；vuu 0v 满足定解问题满足定解问题:有限值 0 v00 zv0 Lzv0 v00qv 在柱坐标系下在柱坐标系下0112222222 zvvvv 问题以问题以z轴为对称轴轴为对称轴)m(v0022 )z(Z)(R,z,v ）（分离变量分离变量0122 RddRdRd 022 ZdzZd 考虑圆柱上下底面有齐次考虑圆柱上下底面有齐次边界条件边界条件0 2 设：设：x02222 RxdxdRxdxRdx）（）（）（xKcxIcxR0201 有限值 0 v考虑自然边界条件考虑自然边界条件舍去舍去)x(K0)(I;)(K(10000

37、）（）（01IcR 0222 ZdzZd)(2zsinBzcosA)z(Z 由上、下底面边界条件确定本征值由上、下底面边界条件确定本征值：00 zv000 cosAZz0 A0 Lzv0 LsinBZLz pL ,p21 本征值：本征值：Lp ),p(21 10pp)zLpsin()Lp(IB)z,(v 由圆柱侧面边界条件确定迭加系数由圆柱侧面边界条件确定迭加系数Bp01000q)zLpsin()Lp(ILpBvpp 0100q)zLpsin()Lp(ILpBpp 将右边展为傅里叶正弦级数将右边展为傅里叶正弦级数 10pp)zLpsin(aq Lpdz)zLpsin(qLa002 比较系数：比

38、较系数：Lpdz)zLpsin(qL)Lp(IpLB000021 Lpdz)zLpsin(qL)Lp(IpLB000021 p)()L/p(IpLq111200220 )()(lplp)L/p(IpLq偶数奇数21201400220 00022001211214l)L/)l(I)l(Lqu)z,(u)L/z)lsin()L/)l(I 12120 例例2 （p.359)解解)z,(u 设圆柱内稳定温度分布为设圆柱内稳定温度分布为0 u00qu 有限值 0 u)(fuz 10 )(fuLz 2 为把边界条件齐次化，令；为把边界条件齐次化，令；wvu 使使v和和w 各有一个齐次边界条件，各有一个齐次

39、边界条件，并各自满足定解问题并各自满足定解问题:0 w00 w有限值 0 w)(fvLz 2 )(fwz 10 有限值 0 v00 zv0 Lzv0 v00qv 这两个定解问题均已解出：这两个定解问题均已解出：0002201211214l)L/)l(I)l(Lq)z,(v)L/z)lsin()L/)l(I 12120 其中：其中：)ff(LB102001 100fA 001202 d)(f 00220202 d)(ff 1000000nzxnzxn)eBeA(zBA)z,(w)(n)(n )x(J)(n 000 LnLnn)(nx)(nx)(nxeefefA00000021 LnLnn)(nx

40、)(nx)(nxeefefB00000021 0000022002022 d)x(J)(f)x(Jf)(n)(nn 0000012002012 d)x(J)(f)x(Jf)(n)(nn)z,(w)z,(v)z,(u 例例3 （p.360)解解)z,(u 设圆柱壳外电场的电势分布为设圆柱壳外电场的电势分布为zLuu00 有限值 u00 zu1uuLz 为把下底面边界条件齐次化，为把下底面边界条件齐次化，0 u)(0 w 满足定解问题满足定解问题:wzLuu 1令令:zLuuw100 有限值 w00 zw0 Lzw0 w)(0 在柱坐标系下在柱坐标系下0112222222 zwwww 问题以问题以

41、z轴为对称轴轴为对称轴)m(w0022 分离变量分离变量)z(Z)(R,z,w ）（0122 RddRdRd 022 ZdzZd 考虑圆柱上下底面有齐次考虑圆柱上下底面有齐次边界条件边界条件0 2 设：设：x02222 RxdxdRxdxRdx）（）（）（xKcxIcxR0201 有限值 w考虑自然边界条件考虑自然边界条件舍去舍去)x(I0 )x(I;)x(K000）（）（02KcR 0222 ZdzZd)(2zsinBzcosA)z(Z 由上、下底面边界条件确定本征值由上、下底面边界条件确定本征值：00 zw000 cosAZz0 A0 Lzw0 LsinBZLz pL ,p21 本征值：本

42、征值：Lp ),p(21 10pp)zLpsin()Lp(KB)z,(w 由圆柱侧面边界条件确定迭加系数由圆柱侧面边界条件确定迭加系数BpzLuu)zLpsin()Lp(KBwpp101000 将右边展为傅里叶正弦级数将右边展为傅里叶正弦级数 110pp)zLpsin(azLuu Lpdz)zLpsin(zLuuLa0102 比较系数：比较系数：Lpdz)zLpsin(zLuuL)Lp(KB0100021 Lpdz)zLpsin(zLuuL)Lp(KB0100021 )Lp(Kp)uu()(p001021 zLu)z,(u1)zLpsin()Lp(K)Lp(Kp)uu()(pp 10001021 10pp)zLpsin()Lp(KB)z,(w