高考数学总复习精品课件苏教版：第十二单元第三节 二项式定理

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1、排列、组合、二项式定理两个计数原理 二项式定理排列组合排列概念排列数式组合概念 组合数公式组合数性质应用通项公式二项式系数性质应用应用第十二单元第十二单元 计数原理计数原理知识体系知识体系第三节 二项式定理(*)基础梳理基础梳理011.nnrn rrnnnnnnC aC abC abC b11.rrnnnC xC xxrn rrnC ab0122.nrnnnnnnCCCCC1nxnab1.二项式定理及其特例(1)=;(2)=.特别是当x=1时，得 .2.二项展开式的通项公式 =(r=0,1,2,n).3.二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3,时，二项式系数表中每行两

2、端都是1，除1以外的每一个数都等于 .1rTnab它肩上两个数的和4.二项式系数 的性质(1);(2);(3)当 时,;当 时，;(4).01,.,nnnnCCCmn mnnCC11mmmnnnCCC12nr1rrnnCC12nr1rrnnCC012.2nnnnnnCCCC典例分析典例分析解 展开式通项 .由题意得 (r=0,1,2,n),故当r=2时，正整数的最小值为5.225132332rn rn rrrn rnrrnnTCxCxx 52502nrnr题型一题型一 求二项式求二项式 中的中的n n【例1】如果 的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为.分析根据展开式中含有非零常数项，

3、求得n,r之间的关系，从而求出n.2323nxxnab学后反思 常数项即变量的指数为0，有理项即变量的指数为整数，这都是列方程的依据，根据方程求得关系，再解题.答案：3 举一反三举一反三1.（2009济南模拟）若二项式 的展开式中存在常数项，则正整数n的最小值等于.1nxx解析：二项展开式的通项公式为 由二项展开式中存在常数项，可令n-3r=0,nN*,rN*,且rn,则使得n-3r=0的正整数n的最小值为3.3211nrn rrrrrrnnCxxCx题型二题型二 求项的系数求项的系数【例2】展开式中 的系数为.34121xx2x分析 利用通项公式分别写出常数项、含x,项，从而求出系数.2x解

4、 展开式中 项为 所求系数为 34121xx0 302221 211 312220403434341(2)1()1(2)1()1(2)1()CxCxCxCxCxCx0211220343434212624 126C CCCCC 2x学后反思 此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；展开式中的常数项、一次项、二次项分别和 展开式中的二次项、一次项、常数项相乘再求和得整个展开式中的二次项.要注意二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数是不同的概念，其项的系数是指该单项式的系数，而二项式系数仅为Crn,这点要注意区分.312x41x举一反三2.（2008天津）的二项展开式中，x2的系数是（

5、用数字作答）.52xx答案：40解析：，令 ,解得r=2.系数为 355215522rrrrrrrTC xC xx 352r25240rC题型三题型三 求展开式中的特定项求展开式中的特定项【例3】(14分)在二项式 的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式的第四项；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式的各项系数的和.3312nxx分析 根据前三项系数的绝对值成等差数列，列出关于n的方程，求出n.解 第一项系数的绝对值为 ，第二项系数的绝对值为 ，第三项系数的绝对值为 ，依题意有 ，解得n=8.2（1）第四项 .4（2）通项公式为 .6 展开式的常数项有8-2r=0，即r=4，

6、所以常数项为 10（3）令x=1，得展开式的各项系数的和为 .140nC12nC24nC210242nnnCCC 325333483172TCxxx 88 23318831122rrrrrrrTCxCxx445813528TC88111122256学后反思 本题旨在训练二项式定理通项公式的运用，但要注意通项 而不是 ，这是最容易出错的地方.1rTrT答案：-20举一反三举一反三3.(2009四川)的展开式的常数项是(用数字作答).6122xx解析：由题意知2x-12x6的通项为 ,令6-2r=0,得r=3,故常数项为 .6 26 21612rrrrrTCx 336120C 分析 将已知式子适当

7、整理化简，再根据题目要求选择合适的二项展开式求解.题型四题型四 整除问题整除问题【例4】（1）求证：(nN*)能被31整除.(2)求 除以9的余数.251122.2n1227272727.SCCC解 (1)证明：显然 为整数，原式能被31整除.51251510111011212122.22 12132131 113131.311313131.nnnnnnnnnnnnnnnnnnnCCCCCCC 01113131.nnnnnnCCC(2)是正整数,S被9除的余数为7.学后反思 利用二项式定理解决整除性问题时，关键是巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只需证明这个式子

8、按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般将被除式化为含有相关除式的二项式，然后再展开，此时常采用“配凑法”、“消去法”配合整除的有关知识来处理.12272792727279091889999908178999.21819 1199.91999.SCCCCCCCCCC 0918899999.CCC举一反三举一反三4.求证：(nN*,且n2).1322nnn解析：利用二项式定理 展开证明.nN*,且n2，展开式中至少有四项,故有 成立.32 1nn2 1n111112 122.2 1222122nnnnnnnnnCCnnn 1322nnn考点演练考点演练10.(2009重庆改编

9、)求 的展开式中x4的系数.822xx解析：设含x4的项为第r+1项,16-3r=4,所以r=4,故系数为 8216 318822rrrrrrrTCxCxx44821120C11.（2008福建改编）求 展开式中x3的系数.91xx解析：,令9-2r=3得r=3,即 的系数为84.99 2991rrrrrC xC xx3984C 3x12.设 (1)若a=1,b=-3,c=0.求 的值；（2）若 ,且a-b+c=0,n=5.求正数a、c的积的最大值及对应的a、c的值.221012122.nnnnnnnf xabxcxaa xa xa xaxa x122.nnnaaa0122.1024naaaa

10、解析：（1）a=1,b=-3,c=0，则 ,.又 =f(0)=1,（2）,a+b+c=4,且a-b+c=0,b=a+c0,即2(a+c)=4,a+c=2,a=c=1时，1 3nf xx122.0nnnaaa122.0nnnaaa0a 012.12nnaaaaf 12.21nnaaa 51010242abc212acacmax1ac第二节第二节 总体分布和总体特征数的估计总体分布和总体特征数的估计基础梳理基础梳理1.作频率分布直方图的步骤（1）求极差（即一组数据中 与 的差）;（2）决定 与 ;（3）将数据 ;（4）列 ;（5）画 .2.频率分布折线图和总体分布的密度曲线（1）频率分布折线图：将

11、频率分布直方图中各相邻的矩形的 顺次连接起来.最大值最小值组距组数分组频率分布表频率分布直方图上底边中点足够小足够大（2）总体分布的密度曲线：如果将样本容量取得 ,分组的组距取得 ,那么相应的频率折线图将趋于一条光滑曲线，我们称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线.3.标准差和方差设一组样本数据 ，其平均数为 ，则有（1）标准差:s=.（2）方差：s2=.4.用茎叶图刻画数据有两个优点：(1)所有的信息都可以从 ;12,.,nx xxx222121.nxxxxxxn222121.nxxxxxxn图中得到（2）茎叶图便于 ，能够展示数据的分布情况.但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图的效果就不是

12、很好了.记录和表示典例分析典例分析题型一题型一 图形信息题图形信息题【例1】为了解九年级学生中女生的身高（单位：cm）情况，某中学对九年级女生身高进行了一次测量，所得数据整理后，列出了频率分布表如下：分组频数频率145.5149.510.02149.5153.540.08153.5157.5200.40157.5161.5150.30161.5165.580.16165.5169.5mn合计MN（1）求出表中m,n,M,N所表示的数分别是多少;（2）画出频率分布直方图；（3）试问：全体女生中身高在哪组范围内的人数最多？估计九年级学生中女生的身高在161.5 cm以上的概率.分析 每组距的频率是

13、该组距中个体的个数与所研究对象的个数之比；所有组距的频率之和为1;每一组距的频率是频率分布直方图中该组距所对应的矩形的面积.解 （1）M=50,m=50-(1+4+20+15+8)=2,N=1,（2）作出直角坐标系，组距为4,纵轴表示频率/组距，横轴表示身高,画出频率分布直方图如图.0.0210.04502Mmn（3）在153.5157.5 cm范围内最多，估计身高在161.5 cm以上的概率为P=0.2.5010学后反思 一般用频率分布直方图反映样本的频率分布，从而对总体的频率分布作出估计，其具体步骤如下：（1）将数据分组，确定合适的组距，列出频率分布表;（2）明确纵、横轴的意义，纵轴表示

14、,横轴表示样本数据，画出直方图；（3）直方图中每一个矩形的面积是样本数据落在这个区间上的频率，所有的小矩形的面积之和等于1,即频率之和为1.由此可以估计样本数据落在某个区间的频率或概率或者总体的数字特征.组距频率样本容量频数频率举一反三举一反三1.下列数据为宝洁公司在某年每周销售出的香皂数（单位：百万块）：17.119.615.417.415.018.520.618.420.013.919.318.214.717.112.219.918.720.420.315.516.819.120.415.420.317.517.018.313.639.820.721.322.521.523.423.122

15、.821.424.025.226.323.930.625.226.226.932.826.326.624.326.223.8（1）把上述数据分组，列出频率分布表；(2)根据（1）的结果画频率分布直方图和频率分布折线图;(3)结合上面的描述，分析该年度香皂销售的分布情况.解析：（1）频率分布表如下：销售量分 频数 频率 10,15）4 7.691.5415,20)1936.547.3120,25)1834.626.9225,30)815.383.0830,35)23.850.7735,4011.920.38 00iiiifxnxixin 00if 00iifx（2）频率分布直方图和频率分布折线图

16、如图所示.（3）该年度每周的香皂销售量主要在1 500万块到3 000万块之间.题型二题型二 用样本分布估计总体用样本分布估计总体【例2】对某电灯泡进行寿命追踪调查，情况如下：寿命（h）100,200)200,300)300,400)400,500)500,600 个数 20 30 80 40 30（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电灯泡寿命在200 h500 h以内的频率；（4）估计电灯泡寿命在300 h以上的频率.分析 从分组中看寿命在某一范围内的电灯泡的比例即寿命在该范围内的频率.解 （1）样本频率分布表如下：（2）频率分布直方图如图：寿命(h)频数频率100,2

17、00)20 0.10200,300)30 0.15300,400)80 0.40400,500)40 0.20500,600 30 0.15合计 200 1（3）电灯泡寿命在200 h500 h以内的频数为150,则频率为 =0.75.（4）寿命在300 h以上的电灯泡的频数为150，则频率为 =0.75.200150200150学后反思 利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布.从本例可以看出，要比较准确地反映出总体分布的情况，必须准确地作出频率分布表或频率分布直方图，充分利用所给的数据正确地作出估计.解决总体分布估计问题一般程序为：当总体中所取不同数值较少时，常用条形图表示相应的样本的频率

18、分布;否则常用频率分布直方图表示相应样本的频率分布.具体步骤为：(1)先确定分组的组数（最大数据与最小数据之差除以组距数）；(2)分别计算各组的频数及频率（）；(3)画出频率分布直方图并作出相应估计.总数频数频率2.某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支.该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示.举一反三举一反三分组500,900)900,1100)1100,1300)1300,1500)1500,1700)1700,1900)1900,+)频数 48 121 208 223 193 165 42频率（1）将各组的频率填入表中;（2）根据上述统计结果，计

19、算灯管使用寿命不足1 500小时的频率.解析：(1)分组500,900)900,1100)1100,1300)1300,1500)1500,1700)1700,1900)1900,+)频数 48 121 208 223 193 165 42频率0.0480.1210.2080.2230.1930.1650.42(2)由(1)可得0.048+0.121+0.208+0.223=0.6,所以灯管使用寿命不足1 500小时的频率为0.6.题型三题型三 用样本的数字特征估计总体的数字特征用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们最大速度的数据

20、如下：甲：27,38,30,37,35,31;乙：33,29,38,34,28,36.根据以上数据，试判断他们谁更优秀.分析 要判断甲、乙两人谁更优秀，只需计算它们的平均数与方差即可.已知一组数据x1,x2,x3,xn,则平均数方差 标准差 nx.xxxxn321,)x(xn1sn1i2i2.)x(xn1sn1i2i解 (27+38+30+37+35+31)=33,(33+29+38+34+28+36)=33,s2甲=(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2=94=,61x甲61x乙61613215s2乙=(33-33)2+(2

21、9-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2=76=.,s2甲s2乙.由此可以说明，甲、乙二人的最大速度的平均值相同，但乙比甲更稳定，故乙比甲更优秀.6161乙甲xx3212学后反思 平均数反映了数据取值的平均水平;标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.考查样本数据的水平及稳定情况时，应先比较其平均数，若平均数相同，再比较其方差（或标准差）.举一反三举一反三3.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30 min抽取一包产品,称其重量,分

22、别记录抽查数据如下:甲:102,101,99,98,103,98,99;乙:110,115,90,85,75,115,110.(1)这种抽样方法是哪一种?(2)将这两组数据用茎叶图表示;(3)比较两组数据,说明哪个车间产品较稳定.解析：(1)因为间隔时间相同,故是系统抽样.(2)茎叶图如下:(3)甲车间:平均值:=(102+101+99+98+103+98+99)=100,方差:3.428 6.乙车间:平均值:(110+115+90+85+75+115+110)=100,方差:228.571 4.,甲车间产品稳定.117x 222211102 100101 100.99 1007S217x 2

23、22221110 100115 100.110 1007S12xx2212SS题型四题型四 综合问题综合问题【例4】(14分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能每瓶装的容量都不是标准的容量.我们随机抽出了20瓶，测得它们的容量（单位：百毫升）如下:12.1 11.9 12.2 12.2 12.0 12.1 12.9 12.1 12.3 12.5 11.7 12.4 12.3 11.8 11.3 12.1 11.4 11.6 11.2 12.2（1）根据数据列出频数分布表、画出频数分布图；（2）计算出这组数据的平均数和标准差（结果精确到0.01）;（3）结合（1）、（2）的结果,描述

24、一下样本的分布情况，并根据实际意义写一个简短的报告（对总体情况作出估计）.分析 现实中对一组数据，往往是从多角度、多层面进行分析.主要标准是平均数、方差的大小,频率分布直方图是否集中等.解 （1）频数分布表如下：频数分布图如图所示:分组频数11.0,11.5)311.5,12.0)412.0,12.5)1112.5,13.0 2（2）平均数 (12.1+11.9+12.2+12.2)=12.02.8标准差0.41.10201x 20240.32012.02)(12.2.12.02)(11.912.02)(12.1s222（3）标准差相对于平均数来说比较小;从频数分布图中可以看出，每瓶的容量大致

25、位于1 150毫升到1 250毫升之间.因此判断装瓶机工作稳定.14学后反思 数据的图形分布情况和数字特征从不同方面对总体（或样本）的分布作出了刻画.在解决实际问题时，这两个方面应结合起来，发挥各自的长处，以便能更清晰的描绘总体（或样本）的分布.举一反三举一反三4.从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各组的频数如下：40,50),2;50,60),3;60,70),10;70,80),15;80,90),12;90,100,8.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图;(3)估计成绩在60,90)分的学生比例.解析：（1）频率分布表如下：（2）频率分布直

26、方图如图:成绩分组频数频率40,50)20.0450,60)30.0660,70)100.2070,80)150.3080,90)120.2490,10080.16合计1.00（3）成绩在60,90)分的学生比例即为学生成绩在60,90)分的频率，即（0.2+0.3+0.24）100%=74%.考点演练考点演练10.一个样本a,99,b,101,c中五个数恰成等差数列,求这个样本的标准差.解析：a,99,b,101,c成等差数列,a=98,c=102,101 991002b9899 100 101 1021005x2222198 10099 100100 100102 1005s11.在育民中

27、学举行的电脑知识竞赛中,将九年级两个班参赛的学生成绩(得分均为整数)进行整理后分成五组,绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频数是40.(1)求第二小组的频率,并补全这个频率分布直方图;(2)求这两个班参赛的学生人数是多少;(3)这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内?(不必说明理由)解析：(1)各小组的频率之和为1.00,第一、三、四、五小组的频率分别为0.30,0.15,0.10,0.05,第二小组的频率为1.00-(0.30+0.15+0.10+0.05)=0.40.落在59.5

28、69.5的第二小组的小长方形的高为 补全的直方图如图所示.(2)设九年级两个班参赛的学生人数为x人.第二小组的频数为40人,频率为0.40,解得x=100(人).所以九年级两个班参赛的学生人数为100人.0.400.0410频率组距400.40 x(3)因为0.3100=30,0.4100=40,0.15100=15,0.10100=10,0.05100=5,即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30,40,15,10,5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.12.观察下面表格:分组 频数 频率10.75,10.85)310.85,10.95)9分组 频数 频率 10.95,11.05)1311.05,11.15)1611.15,11.25)2611.25,11.35)2011.35,11.45)711.45,11.55)411.55,11.65)2合计 100(1)完成频率分布表;(2)根据表格,画出频率分布直方图;(3)估计数据落在10.95,11.35)范围内的概率约为多少?解析：(1)频率依次为:0.03,0.09,0.13,0.16,0.26,0.20,0.07,0.04,0.02,1.00.(2)频率分布直方图如图所示:(3)数据落在10.95,11.35)范围的频率为0.13+0.16+0.26+0.20=0.75.