第三章_季节ARIMA模型

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1、第三章 季节时间序列模型在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。这类序列称为季节性序列。在经济领域中，季节性序列更是随处可见。如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。3.1 季节时间序列模型的建立设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，则通常时间

2、间隔为s的观测值之间存着一定的相关关系。1、季节差分：消除季节单位根与非季节时间序列模型一样，当存在季节单位根时，即季节性时间序列yt= yt s + ut, 则首先用季节差分的方法消除季节单位根，即yt - yt s. 季节差分算子定义为， Ds = 1- Ls 也称为s阶差分，则对yt进行一次季节差分表示为 Ds yt = (1- Ls) yt = yt - yt - s 若非平稳季节性时间序列存在D个季节单位根，则需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。即 Ds Dyt = (1- Ls) D yt2、季节自回归算子与移动平均算子：描述季节相关性类比一般的时间序列模型，序列xt=D

3、s Dyt中含有季节自相关和移动平均成份意味着，即Ds Dyt可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型。 AP (Ls) DsDyt = BQ (Ls) ut (2.60)其中AP (Ls)=(1-a1 Ls-a2 L2s-aP LPs)称为季节自回归算子; BQ (Ls) =(1+b1Ls+b2 L2s+bQ LPs)称为季节移动平均算子（注意季节自回归项和季节移动平均项的表示方法，例如P、Q等于2时，滞后算子应为(Ls)1 = Ls，(Ls)2 = L2s）。对于上述模型，相当于假定ut是平稳的、非自相关的。以上模型把序列中的季节单位根、季节相关成份描述完了，那么如果

4、ut是我们前面描述的ARIMA(p,q)过程呢？或者说中还含有单位根以及一般的自回归、移动平均成份呢？3、季节时间序列模型的一般形式：乘积季节模型当ut非平稳且存在ARMA成分时，则可以把ut描述为 Fp (L) Ddut = Qq (L) vt (2.61)其中vt为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示ut的一阶（非季节）差分次数。由上式得ut = Fp-1(L) D-d Qq (L) vt (2.62)把 (2.62) 式代入 (2.60) 式，于是得到季节时间序列模型的一般表达式。 Fp(L) AP(Ls) (DdDsDyt) = Qq(L) BQ(L

5、s) vt (2.63)其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。上式称作 (p, d, q) (P, D, Q)s 阶季节时间序列模型或乘积季节模型。当协方差平稳序列DdDsDyt含有均值等确定性成分时（通常如此），上述模型表示为， Fp(L) AP(Ls) (DdDsDyt - ) = Qq(L) BQ(Ls) vt (2.64)保证（DdDsDyt）具有平稳性的条件是Fp(L)AP(Ls) = 0的所有根在单位圆外；保证（DdDsDyt）具有可逆性的条件是Qq (L)BQ (Ls) = 0的所有根在单位圆外

6、。当P = D = Q = 0时，SARIMA模型退化为ARIMA模型；从这个意义上说，ARIMA模型是SARIMA模型的特例。当P = D = Q = p = q = d = 0时，SARIMA模型退化为白噪声模型。 (1, 1, 1) (1, 1, 1)12 阶月度SARIMA模型表达为 (1- f1 L) (1- a1 L12) D D12 yt = (1+q1 L) (1+b1 L12) vt (2.65)D D12 yt具有平稳性的条件是 | f1 | 1，| a1 | 1，D D12 yt具有可逆性的条件是 | q1 | 1，| b1 | 1。3.2 季节时间序列模型的识别 建立S

7、ARIMA模型，（1）首先要确定d, D。通过差分和季节差分把原序列变换为一个平稳的序列。令 xt = DdDsD yt 存在一般单位根时相应相关图的呈缓慢线性衰减。存在季节单位根的特征是相应的相关图中s整数倍时点上的值呈缓慢衰减。（2）然后用xt 建立 Fp (L) AP (Ls) xt = Qq (L) BQ (Ls) vt模型。或Fp (L) AP (Ls)( xt ) = Qq (L) BQ (Ls) vt模型。以相关图和偏相关图为例，如果相关图和偏相关图在变化周期s的整数倍时点上出现绝对值相当大的峰值或衰减变化，就可以认为该时间序列可以用SARIMA模型描述。对乘积季节模型的季节阶数

8、，即周期长度s的识别可以通过对实际问题的分析、时间序列图以及时间序列的相关图和偏相关图分析得到。（3）用对数的季节时间序列数据建模时通常D不会大于1，P和Q不会大于3。3.3 季节时间序列模型的估计、检验与预测设有季节时间序列Yt，为了消除其异方差，并线性化，首先对其取对数，令yt =log(Yt)，则变量D D12 yt在EViews中用DLOG(Y,1,12)表示（这样表示的好处是EViews可以直接预测到Y）。其他取对数及差分的Eviews命令如下表，命令数学表达式含义d(Y)(1 - L)Y对Y进行一次差分d(Y,n)(1 - L)nY对Y进行n次差分d(Y,n,s)(1 - L)n(

9、1 - L s) Y对Y进行n次差分和一次季节差分dlog(Y)(1 - L)log(Y)对Y取自然对数后进行一次差分dlog(Y,n)(1 - L) n log(Y)对Y取自然对数后进行n次差分dlog(Y,n,s)(1 - L) n(1 - L s)log(Y)对Y取自然对数后进行n次差分和一次季节差分则上述(2.65)式的EViews估计命令是 DLOG(Y,1,12) AR(1) SAR(12) MA(1) SMA(12) (0, 1, 1) (0, 1, 1)12 阶月度SARIMA模型表达为 D D12 yt = (1+ q1 L) (1+ b1 L12) vt (2.66)(2.

10、66)式的EViews估计命令是 DLOG(Y,1,12) MA(1) SMA(12) 由(2.66) 式得 DD12 yt = (1+q1 L) (1+b1 L12 ) vt = vt +q1 L vt +b1 L12vt + q1 b1 L13vt = vt +q1 vt 1 +b1 vt 12 + q1 b1 vt 13 (2.67)(2.67)式也可以用如下的EViews命令估计DLOG(Y,1,12) MA(1) MA(12) MA(13)上述估计命令对应的模型表达式是 DD12 yt = vt +q1 vt 1 +q12 vt 12 + q13 vt 13这是一个非季节模型表达式。

11、以上两个EViews估计命令都是估计MA(13)模型。注意：唯一不同点是上式对vt 13的系数没有约束，而对季节模型来说，相当于增加了一个约束条件，q13 =q1 b1。运用(2.67)式进行预测，DD12 yt = vt +q1 vt 1 +b1 vt 12 + q1 b1 vt 13而DD12 yt = D (yt yt - 12)= D yt D yt - 12 = yt yt -1 + yt - 12 yt 13 在这个例子中，用于预测模型的最终形式是 yt = yt -1 + yt - 12 yt 13 + vt +q1 vt 1 +b1 vt 12 + q1 b1 vt 13 (2

12、.68)从上式可以看出SARIMA模型可以展开为带有约束的ARIMA模型。乘积季节模型参数的估计、检验与前面介绍的估计、检验方法相同。利用乘积季节模型预测也与上面介绍的预测方法类似。3.4 季节时间序列建模案例 案例1：（文件名：5b2c3）北京市1978:11989:11社会商品零售额月度数据（yt，单位：亿元人民币）曲线见图2.32，数据见表2.3。yt与时间呈指数关系且存在递增型异方差。对数的社会商品零售额月度数据（Ln yt）曲线见图2.33。Lnyt与时间近似呈线性关系（异方差问题也得到抑制）。 图2.32 yt 图2.33 Lnyt通过Lnyt的相关图和偏相关图（见图2.34）可以

13、看到Lnyt是一个非平稳序列（相关图衰减很慢）且Lnyt与其12倍数的滞后期存在自回归关系。图2.34 Lnyt的相关图（下）和偏相关图（上）对Lnyt进行一阶差分，得DLnyt（图2.35）。图2.36是对Lnyt进行2次一阶差分的结果，序列D2Ln yt是过度差分序列。从 DLnyt的相关图和偏相关图（图2.37）可以看到，通过差分 DLnyt的平稳性得到很大改进，但与其12倍数的滞后期存在显著的自相关关系。 图2.35 DLn yt 图2.36 D2Ln yt图2.37 DLnyt的相关图（下）和偏相关图（上）对Lnyt进行一次季节性差分（或12阶差分），得 D12 Lnyt（图2.38

14、）。从 D12 Lnyt的相关图和偏相关图（图2.39）可以看到 D12 Lnyt仍然是非平稳的。 图2.38 D12 Lnyt，（EViews：DLOG(Y,0,12)） 图2.39 D12 Lnyt的相关图（下）和偏相关图（上） 对Lnyt进行一阶差分和一阶季节性差分，得DD12 Lnyt（见图2.40）。从xt 的相关图和偏相关图（见图2.41）可以看到DD12 Lnyt近似为一个平稳过程。图2.40 D D12 Lnyt = xt，（EViews：DLOG(Y,1,12)）图2.41 DD12 Lnyt的相关图（下）和偏相关图（上）从图中观察，发现D D12 Lnyt序列不含有均值。用

15、1978:11989:11期间数据，估计yt 的 (1, 1, 1) (1, 1, 0)12阶季节时间序列模型(加入SMA(12)项发现其参数不显著)，EViews估计命令是DLOG(Y,1,12) AR(1) SAR(12) MA(1)EViews输出结果见图2.42。图2.42 EViews估计结果根据EViews输出结果写表达式。 (1+ 0.5924 L) (1 + 0.4093 L12) DD12Lnyt = (1+0.4734 L) vt (2.69)(-4.5) (-5.4) (2.9)R2 = 0.33, s.e. = 0.146, Q36 = 15.5, c20.05(36-

16、2-1) = 44注意：（1）仔细对照（2.69）式和图2.42输出结果，不要把自回归系数估计值的符号写错。通过自回归特征根倒数-0.59可知，把表达式中的算子写作(1+ 0.5924 L)是正确的。通过移动平均特征根倒数-0.47可知，把表达式中的算子写作(1+0.4734 L) 是正确的。（2）表达式中，季节和非季节因子（特征多项式）之间是相乘关系。 （3）在EViews估计命令中把变量写作DLOG(Y,1,12)的好处是可以直接对yt和DD12 Lnyt预测。模型残差序列的相关与偏相关图如图2.43。 图2.43模型残差序列的相关与偏相关图对于DD12 Lnyt来，模型参数全部有显著性，

17、Q36 = 15.5 c20.05(36-2-1) = 44。两种检验通过。见输出结果（2.42），对于DD12 Lnyt，模型共有14个特征根。 图2.44 D12DLnyt的实际与预测序列 图2.45 yt的实际与预测序列对1989年第12月份yt进行样本外1期预测，结果如图2.46。图2.46 EViews预测结果相对预测误差是 h = 0.076另外，用1978:11989:11期间数据估计EViews (0, 1, 1) (0, 1, 1)12 模型发现，该模型也是一个可以选用的模型。表2.3 北京市社会商品零售额（yt）月度数据（单位：亿元人民币，1978:11989:12）年：月

18、yt年：月yt年：月yt年：月yt年：月yt1978:01134.31980:06168.21982:11205.81985:04343.41987:09499.51978:02119.41980:07163.51982:12248.21985:05341.21987:10505.21978:03128.31980:08161.61983:01243.21985:06346.01987:11518.71978:04126.41980:09172.91983:02217.51985:07329.91987:12617.91978:05128.81980:10166.51983:03226.219

19、85:08328.11988:01570.71978:06127.81980:11175.21983:04223.51985:09358.21988:02561.31978:07121.11980:12197.71983:05221.01985:10358.41988:03570.41978:08118.41981:01212.11983:06220.51985:11376.61988:04567.91978:09125.71981:02177.91983:07205.81985:12451.01988:05570.91978:10123.61981:03182.91983:08206.919

20、86:01412.01988:06603.91978:11128.51981:04184.21983:09218.81986:02374.51988:07591.81978:12145.21981:05184.01983:10216.01986:03390.01988:08636.21979:01164.71981:06182.41983:11235.01986:04387.01988:09674.51979:02126.21981:07175.61983:12282.01986:05389.81988:10647.71979:03143.71981:08172.01984:01268.419

21、86:06397.71988:11640.51979:04143.71981:09184.91984:02227.61986:07381.41988:12804.21979:05145.51981:10184.71984:03248.61986:08386.91989:01694.31979:06143.71981:11195.11984:04247.01986:09429.81989:02673.81979:07138.41981:12224.81984:05249.91986:10428.81989:03718.71979:08136.71982:01233.61984:06253.119

22、86:11444.41989:04690.31979:09145.51982:02182.01984:07245.51986:12527.71989:05676.61979:10150.71982:03206.61984:08249.61987:01478.31989:06665.81979:11149.01982:04202.21984:09272.31987:02442.41989:07642.21979:12164.71982:05201.71984:10278.71987:03461.41989:08638.91980:01190.31982:06202.61984:11299.419

23、87:04458.21989:09674.11980:02174.91982:07192.81984:12366.31987:05458.21989:10652.71980:03163.21982:08186.21985:01364.81987:06468.51989:11641.91980:04168.41982:09199.31985:02349.11987:07454.51989:12734.11980:05168.61982:10198.21985:03359.11987:08458.9 案例2 香港季节GDPt数据的拟合（季节时间序列模型，file：HongKong）1980:120

24、02:3年香港季度GDPt序列曲线见图2.27（数据见表2.4，单位：港元）。19801997年GDPt随时间呈指数增长。1997年由于遭受东南亚金融危机的影响，经济发展处于停滞状态，19982002年底GDPt总量几乎没有增长。另一个特征是GDPt随时间呈递增型异方差。所以，用对数的季度GDPt数据（LnGDPt，曲线见图2.48）建立季节时间序列模型。 图2.47 GDPt 图2.48 LnGDPt通过LnGDPt的相关图和偏相关图（图2.49）可以看到LnGDPt是一个非平稳序列（相关图衰减得很慢）。图2.49 LnGDPt的相关图和偏相关图对LnGDPt进行一阶差分，得 DLnGDPt

25、（见图2.50）。DLnGDPt的平稳性得到很大改进，D2LnGDPt显然是过度差分序列（图2.52）。但其季节因素影响还很大。从 DLnGDPt的相关图和偏相关图（图2.51）也可以明显地看到这个特征。若对LnGDPt直接进行一次季节差分（四阶差分），得D4LnGDPt见图2.53。其波动性也很大。相关图和偏相关图见图2.54。 图2.50 DLnGDPt ,（s.d. = 0.062） 图2.51 DLnGDPt的相关图和偏相关图 图2.52 D2LnGDPt ,（s.d. = 0.062） 图2.53 D4LnGDPt,（s.d. = 0.076） 图2.54 D4LnGDPt的相关图和

26、偏相关图在DLnGDPt的基础上进行一阶季节差分，或在D4LnGDPt基础上进行一阶非季节差分，得 D4DLnGDPt（图2.55）。其相关图和偏相关图见图2.56。D4DLnGDPt中已经基本消除了季节变化因素。在D4DLnGDPt的基础上建立时间序列模型。 图2.55 D4DLnGDPt,（s.d. = 0.029） 图2.56 D4DLnGDPt的相关和偏相关图通过对D4DLnGDPt的相关和偏相关图分析，应该建立(2, 1, 2) (1, 1, 1)4 模型。EViews估计命令是DLOG(GDP,1,4) C AR(1) AR(2) SAR(4) MA(1) MA(2) SMA(4)

27、用1980:12002:3的数据得估计结果如下（EViews输出结果如图2.57）： (1-1.20 L+0.66 L2) (1 - 0.33 L4) (D4DLnGDPt+ 0.0023) = (1 - 1.16 L+ 0.97 L2) (1 - 0.95 L4) vt (14.4) (-8.8) (2.8) (-2.45) (-55.9) (86.1) (-32.8) R2 = 0.57, F = 16.1, Q36 = 19.3, c20.05 (36-3-3) = 43.8图2.57 EViews估计结果 图2.57模型(2.99)误差项的相关和偏相关图注意：（1）不要把自回归系数估计

28、值的符号写错。不要把均值（- 0.0023）项表达错。EViews仍然是对(D4DLnGDPt + 0.0023)建立(2, 1, 2) (1, 1, 1)4 阶季节时间序列模型，而不是对D4DLnGDPt建立季节时间序列模型。（2）季节和非季节因子之间是相乘关系。 （3）在EViews估计命令中把变量写作DLOG(GDP,1,4)，好处是预测时可直接预测GDPt，也可以预测D4DLnGDPt。模型参数全部有显著性，Q36 = 19.6 c20.05 (36-3-3-1) = 42.6。两种检验通过。依据输出结果，对于D4DLnGDPt，模型共有12个特征根。4个实根，8个复根。 图2.58

29、D4DLnGDPt的实际与预测序列 图2.59 GDPt的实际与预测序列对2002年第4季度GDPt进行样本外1期预测，结果如下：相对预测误差是 h = 0.006表2.4 香港季度GDPt数据（1980:12002:4，单位：港元）年：月GDPt /1011年：月GDPt /1011年：月GDPt /1011年：月GDPt /10111980:10.314891985:40.709511991:31.805801997:23.323351980:20.345051986:10.691081991:41.867221997:33.515011980:30.376411986:20.731021

30、992:11.766611997:43.534311980:40.385661986:30.833721992:21.891291998:13.095481981:10.388301986:40.884191992:32.100271998:23.189781981:20.406321987:10.843181992:42.155011998:33.264211981:30.443071987:20.898611993:12.055681998:43.249051981:40.474731987:31.052621993:22.186041999:12.905251982:10.4504219

31、87:41.068861993:32.414881999:23.057981982:20.459731988:11.002611993:42.471491999:33.192251982:30.507031988:21.068981994:12.363701999:43.305861982:40.513681988:31.222241994:22.492992000:13.084571983:10.471991988:41.278651994:32.688342000:23.127801983:20.502141989:11.182061994:42.752712000:33.30500198

32、3:30.559781989:21.260581995:12.535322000:43.366021983:40.600881989:31.395511995:22.662212001:13.095511984:10.578521989:41.432661995:32.836712001:23.124601984:20.628401990:11.310331995:42.928402001:33.257071984:30.685801990:21.406881996:12.736982001:43.312761984:40.682001990:31.559501996:22.919962002:13.014821985:10.661181990:41.599491996:33.135382002:23.084431985:20.658491991:11.490031996:43.316952002:33.264171985:30.699691991:21.609421997:13.072792002:43.3474012