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1、专转本专题知识点，无穷级数数项级数定义1设给定一个数列，,u，,则和式123 nu + u + u +. + u + .123n称为数项级数，简称为级数，简记为 un，即 n=1二 =u + u + u +. + u + .n 123nn = 1其中，第n项un称为级数的一般项或者通项。式（11.1）的前n项和S = u + u + u +. + u = un 123nkk =1称为式（11.1）的前n项部分和。当n依次取1，2, 3, .时，部分和S , S , S ,., S .123 n构成一个新的数列* ，数列* 也称为部分和数列 nn定义2若级数 un的部分和数列MJ有极限S n =
2、 1lim S = S，n s n则称级数 un收敛，称S是级数 un的和，即 n = 1n = 1S = u = u + u + u +. + u +.n 123nn = 1如果部分和数列*没有极限，则称为级数 un发散 n = 1数项级数的性质（1）若级数 un和级数匕都收敛，它们的和分别为S和。，则级数 （un 土匕）也n = 1n = 1n = 1收敛，且其和为Sb(2) 若级数un收敛，且其和为S，则它的每一项都乘以一个不为零的常数k,所得到的 n = 1级数 kun也收敛，且其和为kS n = 1(3) 在一个级数前面加上(或去掉)有限项，级数的敛散性不变(4) 若级数 un收敛，
3、则将这个级数的项任意加括号后，所成的级数n = 1(u + u +.+u ) + (u+.+u )+.+ ( +.+u )+.也收敛，且与原级数有相同的和12nn +1nnn112k-1k(5)(级数收敛的必要条件)若级数气 收敛，则limu = 0 nnn=1is综上所述，几何级数党aqn-1的敛散性 1，发散。，调和级数弋-的敛散性发散nn=1数项级数的敛散性研究对象：正项级数、交错级数、任意项级数一.正项级数一工正项级数：若级数 J u = u + u + u +. + u +.满足条件u 0(n = 1,2,3,.)，则称此 n 123nnn = 1级数为正项级数定理1正项级数收敛的充
4、要条件是其部分和数列志有界nn=1定理2 (比较判别法)若级数 气 和级数匕为两个正项级数，且u v (n = 1,2,3,.)， nnn nn = 1那么:(1)若级数J七收敛时n = 1级数 un也收敛n = 1(2)若级数un发散时级数匕也发散那么p -级数n =1的敛散性是 npp 1,收敛一尹n定理3 （达朗贝尔比值判别法）若正项级数乙un （ u 0,n = 1,2,3,.）满足条件 n=1lim Un1 = lms un则（1）当l 1时，级数发撒（3）当l = 1时，无法判断此级数的敛散性二.交错级数级数(T)nun(un 0,n = 1,2,3,.)称为交错级数n = 1定理
5、4 （莱布尼兹判别法）若交错级数七（Dnun n = 1(un0, n = 1,2,3,.)满足下列条件(1) u u +1(2) limu = 0n s n则交错级数（T）nun收敛，其和S u,其余项的绝对值|,| n1nn = 1un+1三.绝对收敛和条件收敛若级数（-1）nun的各项为任意实数，则称级数 u为任意项级数nnn=1n=1定义如果任意项级数u的各项绝对值组成的级数nn = 1 u |收敛，则称级数 nn = 1u绝对收 nn=1敛；如果|u I发散nn=1而 un收敛，则称级数un条件收敛 n = 1n = 1定理5如果级数气 绝对收敛，则级数气必收敛定理6如果任意项级数芸
6、u满足条件nn=1lim = lms un（1）当l 1时幕级数级数绝对收敛级数发撒定义1如果u（x）（n = 1,2,3,.）是定义在某个区间I上的函数，则称函数u （x） = u （x） + u （x） +. + u （x） +. （11.4）n12nn=1为区间I上的函数项级数定义2 形如 a （x一 x ）n = a + a （x一 x ） + a （x一 x ）2 +. + a （x一 x ）n +. （11.5） n 001020n 0n=1的级数称为（x-x ）的慕级数，其中a ,a ,a，,a，均为常数，称为慕级数的系数。当 0012 n（11.6）称为x的慕级数x = 0 时
7、，级数a xn = a + a x + a x2 +. + a xn +.0n012nn = 1定义3对于形如式（11.6）的慕级数若设 lim n+1 = l，nrs anlimnsun+1un=limnsa xn+1a xnn=limnsan+1anlxl=l lxl根据任意项级数判别法可知：（1）当l。0时，1若l |x| 1，即|x| 1，即 |x| = R，式（11.6）发散V1 _若l |x| = 1，即|x| = - = R，则比值判别法失效，式（11.6）可能收敛也可能发散V（2）当l = 0，由于l |x| = 0 1，式（11.6）对任何x都收敛1称R =-为慕级数式（11
8、.6）的收敛半径V定理1如果慕级数切a xn = a + a x + a x2 +. + a xn +. n012nn=1的系数满足条件lim 0 = l，则 nT8 a n八，c 1(1) 当 0 l +8 时，R =-l(2) 当 l = 0 时，R = +8(3) 当 l = +8 时，R = 0幂级数的性质 a xn工 b xn（4与气均不为0），它们的和函设幂级数n=0 n与n =0 n的收敛半径分别是R与R2数分别为S1（x）与S2（x）1. （加法与减法运算）切 axn 土xnn=0n=0= (a 土 b ) xn = S (x) 土 S (x) nn12n=0 (a 土 b )
9、xn所得的慕级数n =0n n仍收敛，且收敛半径是R1与R2中较小的一个2. (乘法运算)( a xn) (b xn) = a b + (a b + a b )x + (a b + a b + a b )x2 +. + (a b + a b +. + a b )xn +. nn0 00 11 00 21 12 00 n 1 n-1n 0n=0n=0=S、x) S 2( x)两慕级数相乘所得的慕级数仍收敛，且收敛半径是R1与R2中较小的一个3. （微分运算） axn若慕级数n=0 n的收敛半径R，则在（-R,R）内和函数S（x）可导，且有S(x) = (a xn) = (a xn)，= na x
10、n-1n=0n=0n=0且求导后所得的慕级数的收敛半径仍为R4. （积分运算） axn若慕级数n=0的收敛半径R，则和函数S（x）在该区间内可积，且有JS衣 =jx （切 a Xn ）dx =2j jx a Xndx =an Xn+loo no nn + 1n=0=0=0且求导后所得的慕级数仍收敛，且收敛半径仍为R函数展成幕级数1.泰勒级数七处的泰设/在x = x处任意阶可导，则幕级数切“心0）3-工）称为/在n n=l勒级数2.麦克劳林公式 当X =。时，级数工虫黑孙称为了3）的麦克劳林级数。nn=Q3.几个常见的麦克劳林展开式= x,xe (-1,1)1-xn=0上=工(-1心-1,1)=0V Xnex =,x e (-co,+co) nn=0. V (一1)心2+1 sin 尤=,x e (-00,+co)(2 + 1)!n=0Cosx = Sl,xe(-co,+co) 77=0ln(l + x) = S),x g (-1,1) nn=ln=0(1 + 耻=工以(+ D ,e (1,1) n
无穷级数知识点介绍整理人王浩
