第三章线性网络的一般分析方法和网络定理

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1、以图以图3-1所示的直流网络所示的直流网络为例。这个网络具有为例。这个网络具有4个节点，个节点，6条支路。标明各支路电流参条支路。标明各支路电流参考方向，如图考方向，如图3-1所示。所示。图3-1 节点分析法用图以图以图3-1所示的直流电路为例，所示的直流电路为例，阐明节点方程的导出步骤。阐明节点方程的导出步骤。选定参考节点选定参考节点(本例以节点本例以节点4为为参考节点参考节点)，标明各支路电流的参考方，标明各支路电流的参考方向，如图向，如图3-1所示。所示。根据欧姆定律，将各支路电流根据欧姆定律，将各支路电流用节点电压和支路电导表示。用节点电压和支路电导表示。将式将式(3-2)代入式代入式

2、(3-1)。现将节点分析法的解题步骤归纳如下：现将节点分析法的解题步骤归纳如下：选定参考节点，标注各节点电压，选定参考节点，标注各节点电压，这是一组独立的电路变量；这是一组独立的电路变量；对各独立节点按节点方程的一般形对各独立节点按节点方程的一般形式列写节点方程；式列写节点方程；解方程求出各节点电压；解方程求出各节点电压；根据节点电压求出各支路电压和电根据节点电压求出各支路电压和电流。流。在应用节点分析法分析电路时，有时在应用节点分析法分析电路时，有时遇到电路中含有理想电压源支路的情况，遇到电路中含有理想电压源支路的情况，如用上述常规方程来列写节点方程将产生如用上述常规方程来列写节点方程将产生

3、困难。因为节点方程是根据困难。因为节点方程是根据KCL导出的，导出的，理想电压源支路的电流事先并未给出。理想电压源支路的电流事先并未给出。对含受控源的电路列写节点方程时，对含受控源的电路列写节点方程时，受控源视同独立源。所不同的是，必须将受控源视同独立源。所不同的是，必须将受控源的控制量用节点电压表示，即增添受控源的控制量用节点电压表示，即增添一个用节点电压表示控制量的方程。但如一个用节点电压表示控制量的方程。但如果控制量就是所求的节点电压，就不必再果控制量就是所求的节点电压，就不必再补充此方程。补充此方程。以图以图3-10所示的直流电路为例。这所示的直流电路为例。这是一个平面电路，该电路的支

4、路数是一个平面电路，该电路的支路数b=6，节点数节点数n=4，其网孔数：，其网孔数：b-(n-1)=3，按，按网孔可以列写网孔可以列写3个个KVL方程，这方程，这3个方程个方程是彼此独立的，其中任何一个方程不可是彼此独立的，其中任何一个方程不可能由其他两个方程导出。能由其他两个方程导出。图3-10 回路分析法用图为了建立回路方程，应先在为了建立回路方程，应先在每一个独立回路中选定回路电流每一个独立回路中选定回路电流的参考方向，并以此作为列写的参考方向，并以此作为列写KVL方程时计算电位降代数和以方程时计算电位降代数和以及理想电压源电位升代数和应参及理想电压源电位升代数和应参照的回路参考方向。照

5、的回路参考方向。在应用回路分析法分析电路时，有时在应用回路分析法分析电路时，有时遇到电路中含理想电流源支路的情况。由遇到电路中含理想电流源支路的情况。由于回路方程是根据于回路方程是根据KVL导出的，而理想电导出的，而理想电流源支路的电压事先并未给出，如用上述流源支路的电压事先并未给出，如用上述常规方法来列写回路方程势必遇到困难。常规方法来列写回路方程势必遇到困难。对含受控源电路列写回路方程时，可对含受控源电路列写回路方程时，可先把受控源当作独立源，按照正文中所概先把受控源当作独立源，按照正文中所概括的规则写出括的规则写出“初步的初步的”回路方程，再把回路方程，再把受控源的控制量用回路电流表示。

6、受控源的控制量用回路电流表示。从前面的分析可知，回路分析法从前面的分析可知，回路分析法和节点分析法均力图减少求解电路所需和节点分析法均力图减少求解电路所需网络方程的个数。因此，从列写网络方网络方程的个数。因此，从列写网络方程的多寡来看，当网络的独立回路数少程的多寡来看，当网络的独立回路数少于独立节点数时，用回路分析法比较方于独立节点数时，用回路分析法比较方便；反之，用节点分析法比较方便。便；反之，用节点分析法比较方便。令令N代表一个由集中参数元件组成的代表一个由集中参数元件组成的网络模型网络模型(如图如图3-19(a)所示所示)。如果不考虑。如果不考虑元件特性，将每一元件用一线段来代替，元件特

7、性，将每一元件用一线段来代替，这些线段称为支路，线段的端点称为节点，这些线段称为支路，线段的端点称为节点，如此得到的由点和线构成的图形，称为该如此得到的由点和线构成的图形，称为该网络的拓扑图，简称为图网络的拓扑图，简称为图(Graph)，以，以G代代表表(如图如图3-19(b)所示所示)。如果对图如果对图G中的每一支路规定一个方中的每一支路规定一个方向，则所得的图就称为定向图向，则所得的图就称为定向图(Directed Graph)，如图，如图3-19(c)所示。所示。图3-19网络的拓扑表示如果在图如果在图G的任意两节点之间的任意两节点之间至少存在着一条由支路构成的路径，至少存在着一条由支路

8、构成的路径，则图则图G就称为连通图就称为连通图(Connected Graph)，如图，如图3-20(a)所示。否则就所示。否则就称为非连通图，如图称为非连通图，如图3-20(b)所示。所示。图3-20网络的拓扑图根据定义，树不能包含闭合回路，根据定义，树不能包含闭合回路，因此，树支电压之间不能用因此，树支电压之间不能用KVL相联系。相联系。就就KVL来说，树支电压线性无关，即树来说，树支电压线性无关，即树支电压是一组完备的独立电压变量。支电压是一组完备的独立电压变量。一个具有一个具有n个节点的网络，其树支数个节点的网络，其树支数为为(n-1)，因此选出树后，就有，因此选出树后，就有(n-1)

9、个树个树支电压，如何写出求解这些电压变量所支电压，如何写出求解这些电压变量所需的需的(n-1)个独立方程呢个独立方程呢?以图以图3-22(a)所示电路为例，所所示电路为例，所选树和基本割集如图选树和基本割集如图3-22(b)所示。所示。在图在图3-22(b)中标出各树支电压中标出各树支电压(即即ut2，ut3和和ut5)和各支路电流参考方向。为和各支路电流参考方向。为了列割集方程，要为割集选一参考了列割集方程，要为割集选一参考方向，这方向应与该割集中树支的方向，这方向应与该割集中树支的关联参考方向一致。关联参考方向一致。图图3-22割集示例割集示例由线性元件及独立源组成由线性元件及独立源组成的

10、网络为线性网络。叠加定理的网络为线性网络。叠加定理是线性网络固有性质的反映。是线性网络固有性质的反映。在一个线性网络中，任何一处在一个线性网络中，任何一处的响应与引起该响应的激励成的响应与引起该响应的激励成正比。叠加定理则是这一线性正比。叠加定理则是这一线性规律向多激励源作用的线性网规律向多激励源作用的线性网络引申的结果。络引申的结果。对于一个线性网络，它同时对于一个线性网络，它同时具有上述两种基本性质：比例性和具有上述两种基本性质：比例性和叠加性，即线性性质。叠加性，即线性性质。线性电路的叠加性常以定理线性电路的叠加性常以定理的形式来表达。的形式来表达。在应用叠加定理时，应该注意以下在应用叠

11、加定理时，应该注意以下几点：几点：当令某一激励源单独作用时，其当令某一激励源单独作用时，其他激励源应为零值，即独立电压源用短他激励源应为零值，即独立电压源用短路代替，独立电流源用开路代替，储能路代替，独立电流源用开路代替，储能元件的初始储能设为零。元件的初始储能设为零。电路中的受控源不能单独作用。电路中的受控源不能单独作用。叠加定理只适用于计算电流或电叠加定理只适用于计算电流或电压，不适用于计算功率。压，不适用于计算功率。在具有唯一解的线性或非线性网络在具有唯一解的线性或非线性网络中，若已知某一支路的电压中，若已知某一支路的电压uk或电流或电流ik，则可用一个电压为则可用一个电压为uk的理想电

12、压源或电的理想电压源或电流为流为ik的理想电流源来代替这条支路，而的理想电流源来代替这条支路，而对网络中各支路的电压和电流不发生影对网络中各支路的电压和电流不发生影响。这就是替代定理，也叫置换定理。响。这就是替代定理，也叫置换定理。替代定理不仅适用于直流网络，也适替代定理不仅适用于直流网络，也适用于正弦交流网络。不仅一个二端元件或用于正弦交流网络。不仅一个二端元件或一条支路可以用理想电压源或理想电流源一条支路可以用理想电压源或理想电流源代替，任何一个二端网络，包括有源二端代替，任何一个二端网络，包括有源二端网络，也可用理想电压源或理想电流源代网络，也可用理想电压源或理想电流源代替。更广泛地说，

13、网络中的任何一个响应替。更广泛地说，网络中的任何一个响应(电压或电流电压或电流)，一般均可以函数形式相同，一般均可以函数形式相同的激励的激励(理想电压源或理想电流源理想电压源或理想电流源)替代，替代，而不致影响网络中其他的响应。而不致影响网络中其他的响应。替代定理的用途很多，可用替代定理的用途很多，可用来推论其他线性网络定理，也可来推论其他线性网络定理，也可根据具体情况简化线性网络的分根据具体情况简化线性网络的分析。在非线性网络中，确定了非析。在非线性网络中，确定了非线性元件上的响应后，代之以理线性元件上的响应后，代之以理想电源元件，则电路余下部分的想电源元件，则电路余下部分的分析计算便可按线

14、性网络处理。分析计算便可按线性网络处理。值得注意，虽然值得注意，虽然“替代替代”与前章与前章讲的讲的“等效等效”都简化了电路分析，但都简化了电路分析，但它们是两个不同的概念。它们是两个不同的概念。“等效等效”指指如果两个单口网络的如果两个单口网络的VAR完全相同，完全相同，则对任意的外电路，而不是对某一特则对任意的外电路，而不是对某一特定的外电路而言，它们可等效互换。定的外电路而言，它们可等效互换。“替代替代”是在给定电路的情况下，是在给定电路的情况下，用理想电源元件替代已知端口电流或用理想电源元件替代已知端口电流或电压的单口网络，如果被替代部分以电压的单口网络，如果被替代部分以外的电路发生变

15、化，相应的被替代的外的电路发生变化，相应的被替代的单口网络的端口电流或电压也随之改单口网络的端口电流或电压也随之改变，须进行重新变，须进行重新“替代替代”，也就是说，也就是说，对于不同的外电路，替代单口网络的对于不同的外电路，替代单口网络的理想电源元件值就不一样。理想电源元件值就不一样。戴维南定理指出：线性含源单口网络戴维南定理指出：线性含源单口网络N，就其端口来看，可等效为一个电压源，就其端口来看，可等效为一个电压源串联电阻支路串联电阻支路(如图如图3-41(a)所示所示)。电压源。电压源的电压等于该网络的电压等于该网络N的开路电压的开路电压uoc(如图如图3-41(b)所示所示)；串联电阻

16、；串联电阻R0等于该网络中所有等于该网络中所有独立源为零值时所得网络独立源为零值时所得网络N0的等效电阻的等效电阻Rab(如图如图3-41(c)所示所示)。图图3-41 戴维南定理戴维南定理诺顿定理指出：线性含源单口网络诺顿定理指出：线性含源单口网络N，就其端口来看，可以等效为一个电流源并就其端口来看，可以等效为一个电流源并联电阻组合联电阻组合(如图如图3-52(a)所示所示)。电流源的。电流源的电流等于该网络电流等于该网络N端口的短路电流端口的短路电流isc(如图如图3-52(b)所示所示)；并联电阻；并联电阻R0等于该网络中所等于该网络中所有独立源为零值时所得网络有独立源为零值时所得网络N

17、0的等效电阻的等效电阻R0(如图如图3-52(c)所示所示)。诺顿定理的内容可用图诺顿定理的内容可用图3-52表示。表示。图3-52 诺顿定理第一种表述形式：对互易第一种表述形式：对互易双口网络双口网络Nr，当在端口，当在端口ab施加施加一电压源激励一电压源激励us时，在另一端时，在另一端口口cd产生的短路电流产生的短路电流icd(如图如图3-57(a)所示所示)，等于将同一，等于将同一us接到接到端口端口cd时在端口时在端口ab所产生的短所产生的短路电流路电流iab(如图如图3-57(b)所示所示)。图图3-57 互易定理第一种表述形式示意图互易定理第一种表述形式示意图第二种表述形式：对互易

18、双口第二种表述形式：对互易双口网络网络Nr，当在端口，当在端口ab施加一电流源激施加一电流源激励励is时，在另一端口时，在另一端口cd产生的开路电产生的开路电压压ucd(如图如图3-58(a)所示所示)，等于将同一，等于将同一is接到端口接到端口cd时在端口时在端口ab所产生的开所产生的开路电压路电压uab(如图如图3-58(b)所示所示)。图图3-58 互易定理第二种表述形式示意图互易定理第二种表述形式示意图第三种表述形式：对互易双口第三种表述形式：对互易双口网络网络Nr，当在端口，当在端口ab施加一电流源施加一电流源激励激励is时，在另一端口时，在另一端口cd产生的短路产生的短路电流电流i

19、cd(如图如图3-59(a)所示所示)，等于将一，等于将一数值与数值与is相等的电压源接到端口相等的电压源接到端口cd时在端口时在端口ab所产生的开路电压所产生的开路电压uab(如图如图3-59(b)所示所示)。图图3-59互易定理第三种表述形式示意图互易定理第三种表述形式示意图运用互易定理时应注意：运用互易定理时应注意：在运用互易定理的第一种表在运用互易定理的第一种表述形式时，作用于网络的电源是理想述形式时，作用于网络的电源是理想电压源，零状态响应是短路电流，而电压源，零状态响应是短路电流，而且且us的参考方向与短路电流的参考方的参考方向与短路电流的参考方向一致向一致(由由“+”流向流向“-

20、”)。在运用互易定理的第二种表在运用互易定理的第二种表述形式时，作用于网络的电源是理述形式时，作用于网络的电源是理想电流源，零状态响应是开路电压，想电流源，零状态响应是开路电压，而且而且is的参考方向与开路电压的参考的参考方向与开路电压的参考方向一致方向一致(由由“-”流向流向“+”)。在运用互易定理的第三种表述在运用互易定理的第三种表述形式时，互易前若作用于网络的电源形式时，互易前若作用于网络的电源是理想电流源是理想电流源is，零状态响应是短路，零状态响应是短路电流，则互易后作用于网络的电源是电流，则互易后作用于网络的电源是理想电压源理想电压源us，零状态响应是开路电，零状态响应是开路电压，

21、而且压，而且is的参考方向与开路电压的的参考方向与开路电压的参考方向一致参考方向一致(由由“-”流向流向“+”)，us的参考方向与短路电流的参考方向的参考方向与短路电流的参考方向一致一致(由由“+”流向流向“-”)。最后必须指出，只有那些没有最后必须指出，只有那些没有电源电源(无论是独立源还是非独立源无论是独立源还是非独立源)，没有时变元件以及没有回转器的网没有时变元件以及没有回转器的网络，才允许应用互易定理。互易定络，才允许应用互易定理。互易定理对于线性无源直流网络与正弦交理对于线性无源直流网络与正弦交流网络流网络(稳态和瞬态稳态和瞬态)同样适用。同样适用。回顾前面学过的内容，我回顾前面学过

22、的内容，我们会发现，电路分析中某些变们会发现，电路分析中某些变量、元件、电路定律、分析方量、元件、电路定律、分析方法及定理等之间存在某一规律法及定理等之间存在某一规律或具有某种关系。或具有某种关系。例如以基尔霍夫电流定律和电例如以基尔霍夫电流定律和电压定律来说，电流定律反映了节点压定律来说，电流定律反映了节点上各支路电流的约束关系，而电压上各支路电流的约束关系，而电压定律反映了一个回路中各支路电压定律反映了一个回路中各支路电压之间的约束关系，把前者的节点用之间的约束关系，把前者的节点用回路代替，电流用电压代替，就可回路代替，电流用电压代替，就可由电流定律得到电压定律，即由由电流定律得到电压定律

23、，即由KCL(i=0)，得到，得到KVL(u=0)。又如以节点方程式又如以节点方程式(3-4)和网孔方程式和网孔方程式(3-7)来说，把方程中所有的节点电压换为来说，把方程中所有的节点电压换为网孔电流，所有的电导换为电阻，所有的网孔电流，所有的电导换为电阻，所有的独立电流源换为独立电压源，或作相反的独立电流源换为独立电压源，或作相反的变换，就可以由一种方程得出另一种方程。变换，就可以由一种方程得出另一种方程。再如串联电阻电路的等效电阻公式再如串联电阻电路的等效电阻公式(2-4)、分压公式分压公式(2-5)和并联电导电路的等效电导和并联电导电路的等效电导公式公式(2-9)、分流公式、分流公式(2-10)间也存在着这种间也存在着这种对关系式作适当的更换就可得出另一相对对关系式作适当的更换就可得出另一相对应关系式的情况。应关系式的情况。以上所述只是电路对偶性以上所述只是电路对偶性(Duality)的几个例子，认识到这的几个例子，认识到这种对偶性有助于掌握电路的规律，种对偶性有助于掌握电路的规律，由此及彼，举一反三。由此及彼，举一反三。