《数学与应用数学》专业综合教学大纲

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1、数学与应用数学专业综合教学大纲课程一：高等代数考试大纲（总分100）一、参考教材北京大学数学系几何与代数教研室编，高等代数，高等教育出版社，2003，（第三版）二、考试的内容及基本要求第一章 多项式考试内容：1、数集、数域、多项式的概念、多项式的代数性质；2、整除概念、整除性几个常用性质、不可约多项式；3、最大公因式的存在性及求法、互素的概念及推广、不可约多项式及其性质；4、重因式、单因式、微商、重因式的判别及求法、去掉因式重数的方法、因式分解唯一性定理；5、多项式的根、多项式的根的个数、复数域上多项式的分解、实数域上多项式的分解。基本要求：1、掌握一元多项式概念。运算及多项乘积与次数的关系；

2、2、正确理解多项式整除的概念及性质。正确理解带余除法；3、掌握最大公因式的概念、性质。求法以及多项式互素的概念和性质；4、正确理解不可约多项式的概念。掌握多项式因式分解的唯一性定理；5、正确理解多项式重因式的概念，掌握多项式有无重因式的判别方法；6、掌握多项式函数以及多项式根的概念；7、掌握复数域和实数域上多项式的因式分解定理；8、掌握有理数域上的多项式的有理根的求法。第二章 行列式考试内容：1、n级排列、逆序数、偶(奇)排列、对换、排列的奇偶性；2、一般行列式的定义、n级行列式的性质；3、矩阵的初等变换、行列式计算；4、行列式按一行展开的性质、展开性质的应用；5、Cramer法则、Lapla

3、ce 定理、行列式乘法法则；基本要求：1、掌握n阶行列式的概念与性质；2、学会用行列式的性质、熟练地计算行列式；3、掌握克莱姆法则及拉普拉斯定理。第三章 线性方程组考试内容：1、消元法、方程组的初等变换、方程组的有解判别；2、n维向量概念、n维向量的运算、线性组合、向量组等价、线性相关(无关)、线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩；3、矩阵秩的求法；4、线性方程组有解判定定理、线性方程组解的求法、齐次线性方程组解的结构、一般线性方程组解的结构、线性方程组解的几何意义；5、两个多项式的结式、二元高次方程组的解法。基本要求：1、理解消元法与矩阵初等变换的关系，能熟练地运用消元法解一般的线性

4、方程组；2、正确理解和掌握矩阵的被的概念，能熟练地运用矩阵的初等变换要求矩阵的秩；3、掌握线性方程组有解的判定定理及其应用；4、能熟练地求次线性方程组的基础解系；5、一般线性方程组在有解的情况下，掌握它的解的结构；6、掌握n个未知量n个方程的齐次线性方程组存在非零解的充要条件。第四章 矩阵考试内容：1、矩阵的概念、矩阵的运算、矩阵乘积的行列式与秩；2、可逆矩阵、可逆矩阵的性质、可逆矩阵的两个应用；3、矩阵的分块、分块矩阵的乘积、分块矩阵的应用；4、逆矩阵的求法、分块乘法的初等变换。基本要求：1、掌握矩阵的加法、数乘、乘法、转置及其运算规律，并能熟练地运用；2、掌握矩阵可逆的概念及其判定方法；3

5、、熟悉和掌握矩阵乘积的行列式及其秩的定理；4、掌握初等矩阵的概念。初等矩阵与初等变换的关系以及用初等变换求逆矩阵的方法。第五章 二次型考试内容：1、二次型的矩阵表示、二次型及二次型矩阵、替换前后二次型矩阵的关系、二次型的标准形的求法；2、正定二次型及其性质、正定性的判别、与正定二次型平行的理论；基本要求：1、掌握二次型的概念及二次型与对称矩阵一一对应关系；2、掌握化二次型为标准形的方法及其理论依据；3、掌握矩阵合同的概念及其性质；4、掌握正定二次型的概念和判别法。第六章 线性空间考试内容：1、集合、映射、线性空间的定义及简单性质、线性相关性及几个结论、维数、基与坐标；2、基变换与坐标变换、关于

6、过渡矩阵的求法；3、线性子空间及其判别、生成子空间；4、子空间的交与和定义、维数公式、子空间交与和的求法、子空间的直和。基本要求：1、掌握线性空间概念及简单性质，了解公理化的思想方法；2、正确理解和掌握线性空间的子空间的概念和判别方法、子空间交与和的概念，掌握和是直和的判别方法；3、正确理解和掌握线性空间中的向量的线性相关性的概念和性质；4、掌握有限维线性空间的基与维数的概念及求法；5、掌握线性空间中向量坐标的定义，基变换与坐标变换的公式，过渡矩阵的概念、性质及求法。第七章 线性变换考试内容：1、线性变换定义、线性变换的运算规律、线性变换多项式2、线性变换矩阵在一组基下的矩阵、线性变换与其在一

7、组基下矩阵的关系、坐标变换公式、线性变换在不同基下的矩阵、线性变换在不同基下的矩阵的关系、相似矩阵的性质3、特征值与特征向量的定义、特征值与特征向量的求法、特征多项式的性质4、某组基下的矩阵为对角阵的线性变换、相似对角阵及所对应基的求法、值域与核的定义及其性质、值域与核的求法基本要求：1、正确理解线性变换的概念、掌握它的运算及简单性质。2、掌握线性变换与矩阵的一一对应关系。3、正确理解和掌握矩阵的相似，特征值特征向量等重要概念及求法。掌握矩阵对角化的条件及其方法。4、掌握线性变换的值域与核的概念及其求法。第九章 欧氏空间考试内容：1、定义与基本性质、度量矩阵、标准正交基、标准正交基的存在性及求

8、法、标准正交基到标准正交基的过渡矩阵基本要求：1、正确理解内积、欧氏空间、长度、夹角、距离等概念。2、掌握标准正交基的求法。3、理解欧氏空间同构的概念及同构的充分必要条件。4、掌握正交变换与正交矩阵等概念、性质及关系。 课程二：数学分析考试大纲（总分100）一、参考教材华东师大数学系编，数学分析（上、下册），高等教育出版社，2005，（第三版）二、考试的内容及基本要求第1章 实数集与函数考试内容：1实数分类、实数的性质(对四则运算的封闭性、有序性、阿基米德性、稠密性)、绝对值与不等式；2区间、邻域、数集、确界原理；3函数表示法、函数四则运算、复合函数、反函数、初等函数；4有界函数、单调函数、奇

9、函数、偶函数、周期函数；基本要求：1、要熟练掌握实数域及性质；2、掌握几个常用的不等式；3、熟练掌握邻域，上确界，下确界，确界原理；4、牢固掌握函数的复合法则、基本初等函数、初等函数及某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。第2章 数列极限考试内容：1数列极限的“”定义及其几何意义、无穷小数列；2收敛数列的唯一性、有界性、保号性、不等式、迫敛性、四则运算法则；3单调有界定理、柯西收敛准则。基本要求：1、要熟练掌握数列极限“”定义；2、掌握收敛数列的若干性质；3、掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等）。第3章 函数极限考试内容：1函数极限概念的“”、“”定义，单侧极限及其

10、与极限的关系；2函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式、迫敛性、四则运算法则；3函数极限的单调有界定理、归结原则、柯西准则；4两个重要的极限和；5无穷小量和无穷大量的比较。基本要求：1、熟练掌握使用“”，“”语言，能用不等式叙述各类型函数极限的概念；2、掌握函数极限的若干性质；3、掌握函数极限存在的条件（归结原则，柯西准则，左、右极限、单调有界等）；4、会熟练应用两个特殊极限；5、能掌握无穷小（大）的定义、性质、阶的比较。第4章 函数的连续性考试内容：1函数在一点连续(左、右连续)及间断点的概念、间断点的分类；2连续函数的局部有界性、局部保号性，连续函数的四则运算及复合函数的连续性；

11、3闭区间上连续函数的最值性、介值性、根的存在性定理，反函数的连续性、初等函数的连续性、一致连续性。基本要求：1、要熟练掌握在点连续的定义和等价定义；2、熟练掌握间断点及其分类；3、熟练掌握在一点连续性质及在区间上连续性质；4、熟练掌握初等函数的连续性。第5章 导数和微分考试内容：1切线问题、瞬时速度、导数定义、单侧导数、导数的几何意义、导函数；2导数的四则运算、反函数的导数、复合函数的导数；3微分的概念、微分的四则运算、一阶微分形式不变性、近似计算与误差估计；4高阶导数与高阶微分、参数方程和隐函数求导法。基本要求：1、熟练掌握导数的定义，几何、物理意义；2、牢固记住求导法则、求导公式；3、会求

12、各类的导数（复合、参量、隐函数、幂指函数、高阶导数（莱布尼兹公式）；4、掌握微分的概念，并会用微分进行近似计算；5、掌握连续、可导、可微之间的关系。第6章 微分中值定理及应用考试内容：1费马定理、罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；2型不定式极限、型不定式极限、其它类型不定式极限；3函数的单调性与极值；4函数的凸凹性与拐点；5函数图象的讨论。基本要求：1、牢固掌握微分中值定理并会灵活应用；2、 会用洛比达法则求极限，会将其他类型的不定型转化为和型；3、掌握单调与符号的关系，并用它证明单调，不等式、求单调区间、极值等；4、利用判定凹凸性及拐点；5、掌握凸函数概念及性质；6、会求曲线各种

13、类型的渐近线性。第7章 实数的完备性考试内容：1确界原理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理、单调有界定理。基本要求：1、了解下列基本概念：区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、子列的概念；2、了解实数完备性的七个等价定理的结论。第8章 不定积分考试内容：1原函数、不定积分、基本积分表、不定积分的线性运算法则。2第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法；3有理函数的积分、三角函数有理式的积分、某些简单无理函数的积分；基本要求：1、掌握原函数与不定积分的概念，记住基本积分公式；2、熟练掌握换元法、分部积分法；3、熟练掌握有理函数积分步骤，并会求可化为有理函数的积分。第9章

14、定积分考试内容：1定积分定义、可积条件、三类可积函数2定积分的线性性质、对区间的可加性、单调性、绝对可积性、积分中值定理3变动上限的积分、牛顿-莱布尼茨公式、换元积分法、分部积分法基本要求：1、掌握定积分定义、性质、可积条件，可积函数类。2、熟练掌握微积分基本定理，并会熟练应用。3、会熟练计算定积分。第10章 定积分应用考试内容：1平面图形的面积、函数的平均值2由截面面积求立体体积3曲线的弧长4旋转曲面的面积基本要求：1、要求能熟练计算各种平面图形面积。2、会求已知截面面积的物体和旋转体的体积。3、会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积。第12章 数项级数考试内容：1、数项级数收敛、发散、和的概念

15、，柯西准则，收敛级数的性质2、正级数的收敛原则、比较原则、比式判别法、根式判别法、积分判别法基本要求：1、掌握数项级数敛散的定义、性质。2、熟练掌握正项级数的敛散判别法。第13章 函数列与函数项级数考试内容：1函数列的极限函数、函数项级数的和函数、函数列与函数项级数的一致收敛性、一致收敛柯西准则、判别法2极限函数与和函数的连续性、可积性(逐项积分)、可微性(逐项微分)基本要求：1、掌握函数列及函数项级数的一致收敛定义。2、掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法。3、掌握函数列的极限函数、函数项级数的和函数的性质。第14章 幂级数考试内容：1幂级数、阿贝尔定理、收敛半径和收敛域、内闭一致收敛性、

16、和函数的连续性、可积性(逐项积分)、可微性(逐项微分)基本要求：1、熟练幂级数收敛域，收敛半径，及和函数的求法。2、了解幂级数的若干性质。3、了解求一般任意阶可微函数的幂级数展式的方法。特别牢固记住五种函数、的马克劳林展式。4、会利用间接法求一些初等函数的幂级数展式。第15章 傅里叶级数考试内容：三角级数、三角函数系的正交性、收敛定理、以为周期的傅立叶级数。基本要求：熟记傅里叶系数公式，并会求之。第16章 多元函数极限与连续考试内容：1、平面点集的邻域、内点、外点、界点、开集、闭集、区域、开区域、闭区域2、二元函数的概念及几何表示、任意多元函数的概念3、二元函数的极限(重极限、累次极限)基本要

17、求：1、了解平面点集的若干概念。2、掌握二元函数二重极限定义、性质。3、掌握二次极限，并掌握二重极限与二次极限的关系。4、掌握二元连续函数定义、性质。第17章 多元函数微分学考试内容：1、偏导数及其几何意义2、复合函数的偏导数及全微分3、空间曲线的切线与法平面基本要求：1、熟练掌握可微、偏导数的意义。2、掌握二元函数可微、偏导数、连续以及偏导函数连续等概念之间关系。3、会计算各种类型的偏导数、全微分。第18章 隐函数定理及其应用考试内容：1、隐函数概念、隐函数定理、隐函数导数2、条件极值概念、拉格朗日乘数法基本要求：1、掌握由一个方程确定的隐函数的条件，隐函数性质，隐函数的导数（偏导）公式。2、会求空间曲线的切线与法平面、会求空间曲面的切平面与法线。3、掌握条件极值的拉格朗日乘数法。第20章 重积分考试内容：1、二重积分概念、可积条件、性质2、二重积分化为累次积分、 二重积分换元法(极坐标变换、 一般曲线变换)、含参量积分导数 3、分概念、性质(与二重积分相同)4、分化为累次积分、 三重积分换元法(柱坐标变换、 球坐标变换)基本要求：1、了解二重积分、三重积分定义与性质。2、掌握二重积分的换序和变量代换。 9 / 9