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1、1.4 条件概率及其应用,一、条件概率,二、 乘法公式,三、 全概率公式与贝叶斯公式,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般 P(A|B) P(A),P(A )=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,于是P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素，它们的出现是等可能的，其中只有1个在集A中，,容易看到,P(A|B),P(A )=3/10，,又如，10件
2、产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),设A、B是两个事件，且P(B)0,则称 (1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,含义：A在B中所占的比例,3. 条件概率的性质,设B是一事件，且P(B)0,则,1. 对任一事件A，0P(A|B)1;,2. P (S | B) =1 ；,而且，前面对概率所证明的一些重要性质 都适用于条件概率., 条件概率符合概率定义中的三个条件：,2)从加入条件后改变了的情况去算,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A
3、|B）=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,例1 袋中有6只球,其中4只白球,2只红球.六个人依次不放回的从袋中各取一球.,设 A1=第一人取出的是白球, A2=第二人取出的是白球,求,解法1: 用定义,解法2:,(从A1发生后改变了的样本空间去计算),(P16,例2),例2 一次掷两颗骰子,设 A=两颗骰子的点数和为8, B=两颗骰子中至少有一个3点 求条件概率,解:,B=(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5,(3,6),(1,3),(2,3),(4,3),(5,3),(6,3),解法1: 用定义,A=(2,6),(3,5),
4、(4,4),(5,3),(6,2),(P17,例3),解法2: 从A发生后改变了的样本空间去计算,同理,新的样本空间为 A=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)（含5个样本点），,在A中B包含两个样本点，故,例3 设M件产品中包含m件次品，今从中任取两件，求已知2件产品中至少有一件是次品的条件下两件都是次品的概率。,解: 设A=两件中至少有一件是次品 B=两件均为次品,(P17,例4),由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),二、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A
5、、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,P(AB)0时, P(ABC)=P(A)P(B|A) P(C|AB),推广到多个事件的乘法公式:,当P(A1A2An-1)0时，有,P (A1A2An）=P(A1)P(A2|A1) P(An| A1A2An-1),例4.一盒中有10只电子元件,其中6只正品4只次品,从盒中任取3次,每次取1只,不放回.求:,(1)3次均取得正品的概率; (2)第三次才取得正品的概率,解: Ai=第i次取出是正
6、品， i=1,2,3,(1),(2),(P18,例5),乘法公式应用举例,（波里亚罐子模型）,(P18,例6),例5 一个罐子中包含r只红球和t只白球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回袋中，并且再加进a只与所抽出的球具有相同颜色的球. 若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.,解: 设 Ai=第i次取出是红球， i=1,2,3,4,=第i次取出是白球， i=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率, 它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用.,综合运用,加法公式 P(A+B)=P(A)+P(B) A、B互斥,乘法
7、公式 P(AB)= P(A)P(B|A) P(A)0,三、 全概率公式与贝叶斯公式,注：S 的一个划分一是要互斥， 二是要充满整个空间.,1样本空间的划分,定义：,E的一组事件,是S的一个划分或 构成了 完备事件组,E的另一组事件,就不是S的一各划分，或 构不 成一个完备事件组。,对“掷一颗骰子观察其点数”这一试验，其：,比如：,2. 全概率公式,设S为随机试验的样本空间，A1,A2,An是S的一个划分，且有P(Ai)0，i =1,2,n,全概率公式:,则对任一事件B，有, 如何寻找一个完备事件组是利用全概率公式解题的关键,在实际应用中可以把它理解为导致事件B发生的一组原因.,注：,全概率公式
8、还可以用下面图形来表示,B,A1,A2,An,S,导致B发生的原因,（完备事件组）,例6 3个人用抓阄的方法抽取两张足球赛的门票，求每人抽到门票的概率。,后抽比先抽的吃亏吗？,(P20,例8),我们用Ai表示“第i个人抽到门票” i1,2,3.,显然，P(A1)=2/3，P( )1/3,则 表示“第i个人未抽到门票”,请看演示：,抽签公平,例7 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的次品率。,解,则由已知,P(A1)=1/4, P(A2)=1/4, P(A3)=1/2,P(
9、B/A1)=0.02, P(B/A2)=0.01, P(B/A3)=0.03,B,A1,A2,A3,S,P(B/A1)=0.02, P(B/A2)=0.01, P(B/A3)=0.03,P(A1)=1/4, P(A2)=1/4, P(A3)=1/2,该球取自哪号箱的可能性最大?,实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因”,这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,接下来我们介绍为解决这类问题而引出的,贝叶斯公式,含义：已知B发生的条件下寻求导致B发生的原因Ai的概率.,贝叶斯公式：,在全概率公式的条件下，有,贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,例8 某厂产品，每100个装一箱，用户抽检时只从每箱中抽取10只产品来检查。若这10只产品中发现有次品，就认为该箱产品不合格，拒收，假定每箱中的次品不超过4只，且有分布,求(1) 任取一箱,能通过检查的概率 (2) 任取一箱通过了检查,而该箱内却有4只次品的概率.,解: 令 A=任取一箱通过了检查 Bi=任取一箱中有i只次品, i=0,1,2,3,4,(P19,例7),(1) 由全概率公式,(2) 由贝叶斯公式,
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