《理论力学》(范钦珊)习题解答第2篇第4-6章

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1、第2篇 工程运动学基础第4章 运动分析基础41 小环A套在光滑的钢丝圈上运动，钢丝圈半径为R（如图所示）。已知小环的初速度为v0，并且在运动过程中小环的速度和加速度成定角，且 0 ，试确定小环 A的运动规律。ROAva习题41图 解：， ， 42 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的v、a图像，说明运动性质。 1， 2 解：1由已知得 3x = 4y （1） 为匀减速直线运动，轨迹如图（a），其v、a图像从略。 2由已知，得 习题42图 化简得轨迹方程：（2） 轨迹如图（b），其v、a图像从略。43 点作圆周运动，孤坐标的原点在O点，顺钟向为孤坐标的正方向，运动方程为，式中s以厘米计

2、，t以秒计。轨迹图形和直角坐标的关系如右图所示。当点第一次到达y坐标值最大的位置时，求点的加速度在x和y轴上的投影。ROMxy习题43图解：， y坐标值最大的位置时：， ，BxOrAx习题44图 44 滑块A，用绳索牵引沿水平导轨滑动，绳的另一端绕在半径为r的鼓轮上，鼓轮以匀角速度转动，如图所示。试求滑块的速度随距离x的变化规律。解：设t = 0时AB长度为l0，则t时刻有： 对时间求导：xyt 45 凸轮顶板机构中，偏心凸轮的半径为R，偏心距OC = e，绕轴O以等角速转动，从而带动顶板A作平移。试列写顶板的运动方程，求其速度和加速度，并作三者的曲线图像。 解：（1）顶板A作平移，其上与轮C

3、接触点坐标： （为轮O角速度） （2）三者曲线如图（a）、（b）、（c）。 46 绳的一端连在小车的点A上，另一端跨过点B的小滑车车绕在鼓轮C上，滑车离地面的高度为h。若小车以匀速度沿水平方向向右运动，试求当 = 45时B、C之间绳上一点P的速度、加速度和绳AB与铅垂线夹角对时间的二阶导数各为多少。解：1P点速度与AB长度变化率相同 （= 45，x = h时）2同样：（，x = h） 3， （顺） 47 图示矢径r绕轴z转动，其角速度为 w，角加速度为 a。试用矢量表示此矢径端点M的速度、法向加速度和切向加速度。OwOaOM zxy 习题4-7图rO解： IIRdIrn习题4-8图 48 摩擦

4、传动机构的主动轮I 的转速为n600r/min，它与轮II的接触点按箭头所示的方向移动，距离d按规律d10-0.5t变化，单位为厘米，t以秒计。摩擦轮的半径r5cm，R15cm。求：（1）以距离d表示轮II的角加速度；（2）当dr时，轮II边缘上一点的全加速度的大小。 解：（1）， rad/s2（2）cm/s2vhq习题4-9图49 飞机的高度为h，以匀速度v沿水平直线飞行。一雷达与飞机在同一铅垂平面内，雷达发射的电波与铅垂线成q 角，如图所示。求雷达跟踪时转动的角速度w 和角加速度a与h、v、q 的关系。解： ， bjBASv0COC0习题4-10图410 滑座B沿水平面以匀速v0向右移动，

5、由其上固连的销钉C固定的滑块C带动槽杆OA绕O轴转动。当开始时槽杆OA恰在铅垂位置，即j0；销钉C位于C0，OC0b。试求槽杆的转动方程、角速度和角加速度。解：， rad rad/s 411设w 为转动坐标系Axyz的角速度矢量，i、j、k为动坐标系的单位矢量。试证明：证：等式右侧证毕第5章 点的复合运动分析O1CBllqw0OAvavrve习题5-1图51 曲柄OA在图示瞬时以0绕轴O转动，并带动直角曲杆O1BC在图示平面内运动。若d为已知，试求曲杆O1BC的角速度。解：1、运动分析：动点：A，动系：曲杆O1BC，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。2、速度分析： ； （

6、顺时针）COABR习题5-2图vavrve 52 图示曲柄滑杆机构中、滑杆上有圆弧滑道，其半径，圆心O1在导杆上。曲柄长，以匀角速绕O轴转动。当机构在图示位置时，曲柄与水平线交角。求此时滑杆CB的速度。解：1、运动分析：动点：A，动系：BC，牵连运动：平移，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。2、速度分析： cm/s； cm/s习题5-3图 53 图示刨床的加速机构由两平行轴O和O1、曲柄OA和滑道摇杆O1B组成。曲柄OA的末端与滑块铰接，滑块可沿摇杆O1B上的滑道滑动。已知曲柄OA长r并以等角速度转动，两轴间的距离是OO1 = d。试求滑块滑道中的相对运动方程，以及摇杆的转动方程。解：分

7、析几何关系：A点坐标 （1） （2） （1）、（2）两式求平方，相加，再开方，得： 1相对运动方程 将（1）、（2）式相除，得： 2摇杆转动方程： L1O1ABO2COvAevBevAavBavBrvAr习题5-4图 54 曲柄摇杆机构如图所示。已知：曲柄O1A以匀角速度1绕轴O1转动，O1A = R，O1O2 =b ，O2O = L。试求当O1A水平位置时，杆BC的速度。解：1、A点：动点：A，动系：杆O2A，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：圆周运动。 ； 2、B点：动点：B，动系：杆O2A，牵连运动：定轴转动，相对运动：直线，绝对运动：直线。 55 如图示，小环套在两个半径为

8、的圆环上，令圆环固定，圆环绕其圆周上一点以匀角速度转动，求当、位于同一直线时小环M的速度。MOA习题55图vevavr 解：1、运动分析：动点：M，动系：圆环O，牵连运动：定轴转动，相对运动：圆周运动，绝对运动：圆周运动。2、速度分析： 56 图a、b所示两种情形下，物块B均以速度、加速度aB沿水平直线向左作平移，从而推动杆OA绕点O作定轴转动，OA = r，= 40。试问若应用点的复合运动方法求解杆OA的角速度与角加速度，其计算方案与步骤应当怎样？将两种情况下的速度与加速度分量标注在图上，并写出计算表达式。 解：（a）： 1、运动分析：动点：C（B上）；动系：OA；绝对运动：直线；相对运动：

9、直线；牵连运动：定轴转动。 2、v分析（图c）习题56图 （1） （2） 3、a分析（图d） （3） （3）向aC向投影，得 其中 （b）： 1、运动分析：动点：A（OA上）；动系：B；绝对运动：圆周运动；相对运动：直线；牵连运动：平移。 2、v分析（图e） 3、a分析（图f） 上式向ae向投影，得 57 图示圆环绕O点以角速度= 4 rad/s、角加速度= 2 rad/s2转动。圆环上的套管A在图示瞬时相对圆环有速度5m/s，速度数值的增长率8m/s2。试求套管A的绝对速度和加速度。 解：1、运动分析：动点：A，动系：圆环，牵连运动：定轴转动，相对运动：圆周运动，绝对运动：平面曲线。 2、速

10、度：（图a） m/s习题57图 m/s 3、加速度：（图b） （1） （2） 代入（1）m/s2 代入（2）m/s2 习题58图 m/s2 58 图示偏心凸轮的偏心距OC = e，轮半径r =。凸轮以匀角速绕O轴转动。设某瞬时OC与CA成直角。试求此瞬时从动杆AB的速度和加速度。 解：1动点：A（AB上），动系：轮O，绝对运动：直线，相对运动：圆周，牵连运动：定轴转动。 2（图a） ，（）， 3（图b） 向投影，得 =（） 59 如图所示机构，O1A=O2Br10cm，O1O2 AB20cm。在图示位置时，O1A杆的角速度1 rad/s，角加速度05rads2，OlA与EF两杆位于同一水平线上

11、。EF杆的E端与三角形板BCD的BD边相接触。求图示瞬时EF杆的加速度。 O1O2ABCDEF30aaar习题59图解：1运动分析：动点：E（EF上），动系：轮BCD，绝对运动：直线，相对运动：直线，牵连运动：平移。2加速度分析：沿BC垂直方向投影：cm/s2OCABl习题510图OCABlvavrveaaaraC（a）（b）510 摇杆OC绕O轴往复摆动，通过套在其上的套筒A带动铅直杆AB上下运动。已知l = 30cm，当 = 30 时， = 2 rad/s， = 3 rad/s2，转向如图所示，试求机构在图示位置时，杆AB的速度和加速度。解：1运动分析：动点：A，动系：杆OC，绝对运动：直

12、线，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。2速度分析（图a） cm/scm/scm/s3加速度分析（图b）：沿aC方向投影：cm/s2ROAhCB00习题511图ROAhCB00vavrar（a）（b）AA511 如图所示圆盘上C点铰接一个套筒，套在摇杆AB上,从而带动摇杆运动。已知：R =0.2m ，h = 0.4m，在图示位置时 ，w0=4rad/s，。试求该瞬时，摇杆AB的角速度和角加速度。解：1运动分析：动点：C，动系：杆AB，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。2速度分析（图a） m/s3加速度分析（图b） 沿方向投影：m/s2 ；（逆时针）512 在图示机构中，已

13、知O1A = OB = r = 250mm，且AB = O1O；连杆O1A以匀角速度 = 2 rad/s绕轴O1转动，当 = 60 时，摆杆CE处于铅垂位置，且CD = 500mm。求此时摆杆CE的角速度和角加速度。O1OABCDE习题512图O1OABCDE（a）（b）vavAvrvearaCaa解：1运动分析：动点：D，动系：杆CE，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。2速度分析（图a） cm/scm/s；rad/scm/s3加速度分析（图b）：沿aC方向投影：cm/s2 ；513 图示为偏心凸轮顶板机构。凸轮以等角速度绕点O转动，其半径为R，偏心距OC = e，图示瞬

14、时= 30。试求顶板的速度和加速度。 解：1动点：轮心C，动系：AB、平移，绝对运动：图周，相对运动：直线。 2图（a）： （） 3图（b）： （）514 平面机构如图所示。已知：O1A=O2B=R=30cm，AB=O1O2，O1A按规律绕轴O1转动，动点M沿平板上的直槽( =60 )运动，BM= 2t+t3 ，式中以rad计，BM以cm计，t以s计。试求 t = 2s时动点的速度和加速度。MO1O2BAMO1O2BAvavrvevAarxy（a）（b）习题514图解：1运动分析：动点：M，动系：平板，绝对运动：未知，相对运动：直线，牵连运动：平移。t = 2s时： rad， rad/s， r

15、ad/s22速度分析（图a） cm/scm/s；cm/s3加速度分析（图b）：cm/s2 ； cm/s2 ；cm/s2cm/s2 ；cm/s2 515 半径为R的圆轮，以匀角速度0绕O轴沿逆时针转动，并带动AB杆绕A轴转动。在图示瞬时，OC与铅直线的夹角为60，AB杆水平，圆轮与AB杆的接触点D距A为R。求此时AB杆的角加速度。习题515图（a）（b）600RCDBAOvavevr600RCDBAOaaar解：1运动分析：动点：C，动系：杆AB，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。2速度分析（图a） 3加速度分析（图b） 沿铅垂方向投影：；516 曲柄 O1M1以匀角速度1

16、=3 rads绕 O1轴沿逆时针转动。T形构件作水平往复运动，M2为该构件上固连的销钉。槽杆O2E绕O2轴摆动。已知O1M1r20cm，l30 cm。当机构运动到如图所示位置时，=30，求此时O2E杆的角加速度。O1ABM1DCM2EO2l1O1ABM1DCM2EO2l1习题516图（a）（b）va1va2ve1ve2vr1vr2aa1aa2ar1ar2aC2ae1解：1运动分析：动点：M1，动系：杆AB，绝对运动：圆周运动，相对运动：直线，牵连运动：平移。速度分析（图a）： cm/s；cm/s 加速度分析（图b）： 沿铅垂方向投影： cm/s22运动分析：动点：M2，动系：杆O2E，绝对运动

17、：直线，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。速度分析（图a）： cm/s；cm/s；cm/s；rad/s加速度分析（图b）： 沿aC方向投影：；cm/s2 rad/s2第6章 刚体的平面运动分析 61 图示半径为r的齿轮由曲柄OA带动，沿半径为R的固定齿轮滚动。曲柄OA以等角加速度绕轴O转动，当运动开始时，角速度= 0，转角= 0。试求动齿轮以圆心A为基点的平面运动方程。习题6-1图 解：（1） （2） 为常数，当t = 0时，= 0 （3） 起始位置，P与P0重合，即起始位置AP水平，记，则AP从起始水平位置至图示AP位置转过 因动齿轮纯滚，故有，即 ， （4） 将（3）代入（1）、（2）、

18、（4）得动齿轮以A为基点的平面运动方程为： ABCv0hq习题62图PwABvCABCvohq习题62解图 62 杆AB斜靠于高为h的台阶角C处，一端A以匀速v0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角q 表示杆的角速度。解：杆AB作平面运动，点C的速度vC沿杆AB如图所示。作速度vC和v0的垂线交于点P，点P即为杆AB的速度瞬心。则角速度杆AB为 63 图示拖车的车轮A与垫滚B的半径均为r。试问当拖车以速度v前进时，轮A与垫滚B的角速度与有什么关系？设轮A和垫滚B与地面之间以及垫滚B与拖车之间无滑动。习题6-3解图习题6-3图vA = vvB = vwA wB 解： 64 直径为mm的

19、滚子在水平面上作纯滚动，杆BC一端与滚子铰接，另一端与滑块C铰接。设杆BC在水平位置时，滚子的角速度w12 rad/s，q30，j60，BC270mm。试求该瞬时杆BC的角速度和点C的速度。解：杆BC的瞬心在点P，滚子CBOjqwCBOjqwvCvBPD习题6-4图习题6-4解图wBCO的瞬心在点DAOBDBDACO1O2习题6-5图OO1ABCOO1ABCD 65 在下列机构中，那些构件做平面运动，画出它们图示位置的速度瞬心。 解：图（a）中平面运动的瞬心在点O，杆BC的瞬心在点C。AOBDBDACO1O2习题6-5解图OO1ABCOO1ABCDvBvCvAvAvBvCvDP(a)(b)图（

20、b）中平面运动的杆BC的瞬心在点P，杆AD做瞬时平移。66 图示的四连杆机械OABO1中，OA = O1B =AB，曲柄OA的角速度= 3rad/s。试求当示。= 90而曲柄O1B重合于OO1的延长线上时，杆AB和曲柄O1B的角速度。 解：杆AB的瞬心在Orad/s rad/s 67 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A有向右的速度vA= 0.8m/s，试求卷轴中心O的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？ 解：如图 rad/s m/s习题6-7图卷轴向右滚动。OOvOwO习题68图习题68解图 68 图示两齿条以速度和作同方向运动，在两齿条间夹一齿轮，其半径为r，

21、求齿轮的角速度及其中心O的速度。 解：如图，以O为基点： 解得： 69 曲柄滑块机构中，如曲柄角速度= 20rad/s，试求当曲柄OA在两铅垂位置和两水平位置时配汽机构中气阀推杆DE的速度。已知OA = 400mm，AC = CB = 200mm。习题69图解：OA定轴转动；AB、CD平面运动，DE平移。 1当= 90，270时，OA处于铅垂位置，图（a）表示= 90情形，此时AB瞬时平移，vC水平，而vD只能沿铅垂， D为CD之瞬心 vDE = 0 同理，= 270时，vDE = 0 2= 180，0时，杆AB的瞬心在B = 0时，图（b），（） 此时CD杆瞬时平移习题69解图 m/s（）

22、同理= 180时，vDE = 4m/s（）610 杆AB长为l = 1.5 m，一端铰接在半径为r = 0.5 m的轮缘上，另一端放在水平面上，如图所示。轮沿地面作纯滚动，已知轮心O速度的大小为vO = 20 m/s。试求图示瞬时（OA水平）B点的速度以及轮和杆的角速度。AOAvOBAOAvOBCvAvBP习题610图习题610解图wOwABq解：轮O的速度瞬心为点C ，杆AB的速度瞬心为点Prad/sm/s=14.1 rad/sm/s F 611 图示滑轮组中，绳索以速度vC = 0.12m/s下降，各轮半径已知，如图示。假设绳在轮上不打滑，试求轮B的角速度与重物D的速度。解：轮B瞬心在F点

23、 vE = vC rad/s m/s习题611图 612 链杆式摆动传动机构如图所示，DCEA为一摇杆，且CADE。曲柄OA = 200mm，CO = CE = 250mm，曲柄转速n = 70r/min，CO = 200mm。试求当= 90时（这时OA与CA成60角）F、G两点的速度的大小和方向。习题612解图习题612图解：动点：OA上A；动系：DCEA；绝对运动：圆周；相对运动：直线；牵连运动：定轴转动。 m/s m/s rad/s m/s m/s（） m/s（）613 平面机构如图所示。已知：OA = AB = 20 cm，半径r = 5 cm的圆轮可沿铅垂面作纯滚动。在图示位置时，O

24、A水平，其角速度w = 2 rad/s、角加速度为零，杆AB处于铅垂。试求该瞬时：（1）圆轮的角速度和角加速度；（2）杆AB的角加速度。AOBCwA习题613解图AOBCwAvAvBaAaA(a)(b)解：（1） 圆轮的角速度和角加速度杆AB瞬时平移，wAB = 0（2）杆AB的角加速度。，习题614解图vAvCvEaEaEO(a)(b)614 图示机构由直角形曲杆，等腰直角三角形板CEF，直杆DE等三个刚体和二个链杆铰接而成，DE杆绕D轴匀速转动，角速度为，求图示瞬时（AB水平，DE铅垂）点A的速度和三角板CEF的角加速度。解：（1）求点A的速度三角板CEF的速度瞬心在点F曲杆的速度瞬心在点

25、O（2）求三角板CEF的角加速度将上式沿水平方向投影（因为vF = 0） 615曲柄连杆机构在其连杆中点以铰链与相连接，杆可以绕E点转动。如曲柄的角速度，且，若当、两点在同一铅垂线上时，、三点在同一水平线上，求杆的角速度和杆AB的角加速度。解：w习题615解图wvAvCaBvDaAaA(a)(b)（1）求杆的角速度杆AB的速度瞬心在点B 对杆CD应用速度投影定理（2）求杆AB的角加速度 将上式沿铅垂方向投影， 习题616解图vAvBq 616 试求在图示机构中，当曲柄OA和摇杆O1B在铅垂位置时，B点的速度和加速度（切向和法向）。曲柄OA以等角加速度= 5rad/s2转动，并在此瞬时其角速度为

26、= 10rad/s，OA = r = 200mm，O1B = 1000mm，AB = l = 1200mm。 解：1v： vB/vA m/s （1） 2a：上式沿AB方向投影得： 即 m/s2 （） m/s2 ：（方向如图）vAvB(a) 617 图示四连杆机构中，长为r的曲柄OA以等角速度转动，连杆AB长l = 4r。设某瞬时O1OA =O1BA = 30。试求在此瞬时曲柄O1B的角速度和角加速度，并求连杆中点P的加速度。解：1v： 由速度投影定理知：vB = 0 习题617解图aAaAaBaA(b) 2a：上式向aA投影 ， qAlBrvBqAlBraA习题6-18解图vAO(a)(b)6

27、18 滑块以匀速度vB=2m/s沿铅垂滑槽向下滑动，通过连杆AB带动轮子A沿水平面作纯滚动。设连杆长l =800mm，轮子半径r =200mm。当AB与铅垂线成角q =30时，求此时点A的加速度及连杆、轮子的角加速度。 解：1v：点O为杆AB的速度瞬心 2a： 6-19 图示曲柄摇块机构中，曲柄OA以角速度w0绕O轴转动，带动连杆AC在摇块B内滑动；摇块及与其刚性连结的BD杆则绕B铰转动，杆BD长l。求在图示位置时，摇块的角速度及D点的速度。解：AO30BDCw0习题6-19解图vAvBvAvBAvD习题6-20解图AO60BDCw0vAvBevDevBavBrvDavDr 6-20 平面机构

28、的曲柄OA长为2a，以角速度w0绕轴O转动。在图示位置时，ABBO且 OAD = 90。求此时套筒D相对于杆BC的速度。解：1分析滑块B ，2杆AD作平面运动，3分析滑块D，AOBCwa习题6-21解图AOBCwa(a)(b)OOAABBCCvAvBvrvAvBAqaraC6-21曲柄导杆机构的曲柄OA长120mm，在图示位置AOB=90时，曲柄的角速度w =4rad/s，角加速度a = 2 rad/s2。试求此时导杆AC的角加速度及导杆相对于套筒B的加速度。设OB=160mm。解：1v：分析滑块B（动系） 2a：分析滑块B（动系） ， 将上式沿AC方向投影将加速度的矢量方程沿垂直AC的方向投影：，