改进遗传算法在投资组合中的应用

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1、摘 要遗传算法起源于于对生物系统统所进行的计计算机模拟。美美国密执安大大学的Hollland教教授及其学生生受到这种生生物模拟技术术的启发，创创造出了一种种基于生物遗遗传和进化机机制的适合于于复杂系统优优化计算的自自适应概率优优化技术-遗传算法法。证券投资资组合优化问问题的实质就就是有限的资资产在具有不不同风险收益益特性的证券券之间的优化化配置问题。因此，本文根据据上述要求把把交易成本和和股票的整手手买卖引入含含有风险偏好好的Markkowitzz组合投资模模型，并对证证券组合进行行分类约束来来降低风险，从从而构造了含含有约束的混混合整数非线线性规划模型型。遗传算法是一类类模拟自然界界生物进化

2、过过程与机制，求求解问题的自自组织和自适适应的人工智智能技术。由由于其运行简简单和解决问问题的有效能能力而被广泛泛应用到众多多领域。但是是它也容易产产生早熟现象象以及局部搜搜索能力比较较差，所以对对很多问题而而言，基本遗遗传算法并不不是解决问题题的最有效方方法。因此本本文对基本遗遗传算法的一一些算子进行行了改进，获获得了较满意意的结果。本文提出的组合合投资模型在在求解上存在在一定的难度度，采用遗传传算法求解。在在计算机上用用Matlaab7.0编编程实现。关键字：遗传算算法；生物模模拟；投资组组合；交易成成本；ABSTRACCTGeneticc algoorithmm origginateed

3、 in bioloogicall systtems tthrouggh thee compputer simullationns. Hoollandd Michiigan Univeersityy proffessorr and his sstudennts arre subbject to thhis biiologiical ssimulaation technnologyy insppired to crreate a bioo-baseed gennetic and eevoluttionarry opttimizaation of coomplexx systtems ffor ad

4、daptivve proobabillity ccalcullationn - genettic allgoritthm opptimizzationn techhniquee. Porrtfoliio Opttimizaation essennce off the probllem iss the limitted asssets with diffeerent risk and rreturnn charracterristiccs of the ooptimaal alllocatiion beetweenn the securritiess issuue.Therefoore, tth

5、is ppaper accorrding to thhe reqquiremments of thhe traansacttion ccosts and sstockss conttaininng whoole loot inttroduccing rrisk aappetiite Maarkowiitz poortfollio moodel, and cclassiify coonstraaints portffolio to reeduce risk, whicch is consttructeed witth connstraiined mmixed-integger noonlinee

6、ar prrogrammming modellGeneticc algoorithmms aree a cllass oof simmulatiion off natuural bbiologgical evoluution and mmechannisms for ssolvinng thee probblem oof sellf-orgganizaation and aadaptiive arrtificcial iintellligencce tecchnoloogy. BBecausse of its ooperattionall simpplicitty andd abillity

7、tto sollve prroblemms efffectivvely bbeen wwidelyy appllied tto manny fieelds. But iit is also pronee to pprematture aand reelativvely ppoor llocal searcch abiility, so mmany pprobleems, tthe baasic ggenetiic alggorithhm is not tthe moost efffectiive waay to solvee the probllem. TThis aarticlle on s

8、ome of thhe bassic geeneticc algoorithmm has been improoved ooperattor too obtaain a more satissfactoory reesult.The prooposedd modeel forr porttfolioo inveestmennt in the ssolutiion thhere iis a ccertaiin deggree oof diffficullty, uusing genettic allgoritthm. OOn a ccomputter ussing MMatlabb7.0 ppr

9、ograammingg.Keywordd：genettic allgoritthm；bioloogicall simuulatioons；Invesstmentt porttfolioo；Transsactioon cossts；目 录引 言1第一章 遗传传算法概述21.1 遗传算算法的形式21.2 遗传算算法的运算过过程31.3 基本遗遗传算法的构构成31.4 基本遗遗传算法的形形式化定义4第二章 遗传传算法的基本本实现技术52.1 遗传算算法的编码原原则52.1.1 二二进制编码方方法52.1.2 浮浮点数编码方方法：52.2 遗传算算法的适应度度函数62.2.1 乘乘幂尺度变换换62.2

10、.2 指指数尺度变换换62.3 遗传算算法的选择算算子62.3.1 比比例选择72.3.2 最最优保存策略略72.3.3 确确定式采样选选择72.4 交叉算算子82.4.1 单单点交叉82.4.2 算算数交叉82.5 变异算算子82.5.1 基基本位变异82.5.2 均均匀变异8第三章 投资资组合103.1 投资组组合理论的提提出103.2 证券组组合投资理论论103.3 马克威威茨的均值方差模型103.3.1 单单个资产的收收益、风险和和资产间的相相互关系103.3.2 资资产组合的收收益和风险123.4 现代投投资理论的组组成和发展143.5 投资组组合的应用14第四章 基于于改进遗传算算

11、法的有交易易成本的组合合投资问题164.1 模型的的建立与分析析164.1.1 股股票交易额不不可分割及无无风险投资164.1.2 交交易成本174.1.3 风风险偏好184.1.4 分分类约束194.1.5 模模型描述194.2 模型的的遗传算法求求解194.2.1 编编码204.2.2 动动态惩罚函数数204.2.3 选选择214.2.4 交交叉214.2.5 变变异214.2.6 改改进遗传算法法的过程21第五章 示例例分析225.1 数据225.2 基本遗遗传算法235.3 改进遗遗传算法分析析255.3.1 初初始化种群体体255.3.2 适适应度计算255.3.3 遗遗传操作255

12、.3.4 结结果26第六章 总结结与展望 6.11 主要工作作总结29 6.22 展望29参考文献：330附录：31致 谢499引 言 遗传算算法是一种仿仿生优化的算算法，我们的的自然界充满满了奇迹，而而生命的繁衍衍生息就是这这些奇迹中的的奇迹。生命命是脆弱的，生生命也是顽强强的。从远古古时代单细胞胞开始，经历历环境变迁的的磨砺，生命命经历了从低低级到高级、从从简单到复杂杂的演化之路路，不但延续续下来，而且且产生了人类类这样有思维维、有智力的的高级生命体体。人类找到到了生命的最最佳结构与形形式，他不仅仅仅可以被动动的适应环境境，更重要的的是它能够通通过学习、模模拟、与创造造、不断提高高自己适应

13、环环境的能力。 在人类类的历史上，通通过学习与模模拟来增强自自身适应能力力的例子不胜胜枚举。模拟拟飞禽、人类类可以飞翔天天空；模拟游游鱼人类可以以横渡海洋；模拟昆虫人人类可以纵观观千里；模拟拟大脑，人类类创造了影响响世界发展的的计算机。人人类的模拟能能力不仅局限限于自然现象象和其他生命命体。自从220世纪后半半叶以来，人人类正在将其其模拟的范围围延伸向人类类自身。神经经网络是人类类对其大脑信信息处理机制制的模拟，模模糊系统是人人类对其思维维方式的模拟拟。除了向自自身结构的学学习以外，人人类还可以向向其自身演化化这一更为宏宏观的过程学学习，来增强强自身解决问问题的能力，其其代表性的方方法就是遗传

14、传算法。 虽然人人们还未完全全揭开遗传与与进化的奥秘秘，既没有完完全掌握其机机制，也不完完全清楚染色色体和译码过过程的细节，更更不完全了解解其控制方式式，但遗传与与进化的以下下几个特点却却为人们所共共识：（1）生物的所所有遗产信息息都包含在其其染色体中，染染色体决定其其生物的性状状。（2）染色体是是由基因及其其有规律的排排列所构成，遗遗传和进化过过程发生在染染色体上。（3）生物的繁繁衍过程是由由其基因的复复试过程来完完成的。（4）通过同源源染色体之间间的交叉或染染色体的变异异会产生新的的物种，是生生物呈现出新新的性状。（5）对生物适适应性好的基基因或染色体体经常比适应应性差的基因因或染色体有有

15、更多的机会会遗传到下一一代。 遗传算算法是一种更更为宏观意义义下的仿生算算法，他模仿仿的机制是一一切生命与智智能的产生与与进化过程。他他通过模拟达达尔文“优胜劣汰、适适者生存”的原理激励励好的结构；通过模拟孟孟德尔遗传变变异理论在迭迭代过程中保保持已有的结结构，同时寻寻找更好的结结构。作为一种随机的的优化与搜索索方法，遗传传算法有着其其鲜明的特点点：（1） 遗传算法的操作作对象是一组组可行解，而而非单个可行行解；搜索轨轨迹有多条，而而非单条，因因而具有良好好的并行性。（2） 遗传算法只需利利用目标的取取值信息，而而无需梯度等等高价值信息息，因而适用用于任何大规规模、高度非非线性的不连连续多峰函

16、数数的优化以及及无解析表达达式的目标函函数的优化，具具有很强的通通用性。（3） 遗传算法择优机机制是一种“软”选择，加上上其良好的并并行性，使他他具有良好的的全局优化性性和稳健性。遗遗传算法操作作的可行解是是经过编码化化的，目标函函数解释为编编码个体的适适应度，因而而具有良好的的可操作性与与简单性。第一章 遗传传算法概述1.1 遗传算算法的形式下述的数学模型型是为求解函函数最大值的的优化问题： Maax f(X) (1-1) S.t. XR (11-2) RU (1-3)式中， 决策变变量：X=； 目标函函数：f(XX)； 约束条条件：式（11-2）、（11-3）； 基本空空间：U； R是UU

17、的一个子集集； 若X满满足式（1-2）、（11-3）则称称其为可行解解，R为全体体X构成的集集合，也叫可可行解集合。他们之间的关系系如图 可行解XX 基本空空间U 可可行解集合RR 遗传算算法中，将nn维决策变量量X=用n个个记号（i=1,2,.,n）所所组成的符号号串X来表示示： XX=X1X22.Xnn=X= 把每一一个看做一个个遗传基因，他他的所有可能能取值为等位位基因，这样样，X就可看看作是由n个个遗传基因所所组成的一个个染色体。一一般情况下，染染色体的长度度n是固定的的，但对于一一些问题n也也可以是变化化的。根据不不同的情况，这这里的等位基基因可以是一一组整数，也也可以是某一一范围内

18、的实实数值，或者者是纯粹的一一个记号。最最简单的等位位基因是由00和1这两个个整数组成的的，相应的染染色体就可以以表示为一个个二进制串。这这种编码所组组成的排列形形式X，对于于每一个个体体X，要按照照一定的规则则确定其适应应度。个体的的适应度与其其对应的个体体表现性X的的目标函数值值相关联，XX越接近目标标函数的最优优点，其适应应度最大；反反之，其适应应度最小。 遗传算算法中，决策策变量X组成成了问题的解解空间。对问问题最优解的的搜索是通过过对染色体XX的搜索过程程来进行的，从从而有所有的的染色体X就就组成了问题题的搜索空间间。 生物的的进化是以集集团为主体的的。与此相对对应遗传算法法的运算对

19、象象是由M个个个体所组成的的集合，称为为群体。与生生物一代一代代的自然进化化过程相类似似，遗传算法法的运算过程程也是一个反反复迭代的过过程，第t代代群体叫做PP（t）,经经过一代遗传传和进化后，得得到第t+11代群体，他他们也是由多多个个体组成成的集合，叫叫做P（t+1）。这个个群体不断地地经过遗传和和进化操作，并并且每次都按按照优胜劣汰汰的规则将适适应度较高的的个体更多的的遗传到下一一代，这样最最终会在群体体中得到一个个优良的个体体X，它所对对应的表现性性X将达到或或接近问题的的最优解。 染色体体的变异和染染色体之间的的交叉是生物物的进化的必必经之路。将将这个过程推推而广之应用用到最优解搜搜

20、索过程中便便是遗传算法法最基本的思思想，在群体体P（t）上上作用遗传算算子，进行以以下一些遗传传操作，群体体P（t+11）由此产生生。(1) 选择：有规则的的对每个个体体的适应度进进行排列，从从中挑取较好好的个体遗传传到下一代。(2) 交叉：对群体中中随机搭配的的每一对个体体，以某一概概率交换他们们的部分染色色体。(3)变异：对对群体中的每每一个个体，以以某一概率改改变某一个或或某一些基因因座上的基因因值为其他的的等位基因。1.2 遗传算算法的运算过过程下图为遗传算法法的运行过程程示意图 遗传空间 解集合个体评价解码 群体P（t+1）变异运算交叉运算选择运算解空间 群体P（t） 1.3 基本遗

21、遗传算法的构构成（1） 染色体编码方法法： 在基本本遗传算法中中群体中的个个体用固定长长度的二进制制符号串来表表示，二值符符号集0,1组成了了其等位基因因。初始群体体中各个个体体的基因值可可用均匀的随随机数来生成成。如： X=1000111000100001011001(2) 个体适应度评价价：在基本遗遗传算法中，个个体适应度越越高的个体遗遗传到下一代代的机会越多多。这里要求求所有个体的的适应度必须须为正数或零零。对不同种种类的问题，目目标函数值按按照不同的规规则转换成个个体适应度值值。(3) 遗传算子：基本本遗传算子是是最基本的一一些算子包括括比例选择算算子；单点交交叉算子；基基本位变异算算

22、子。（4）运行参数数：基本遗传传算法4个需需要提前设定定运行参数：M：群体大小小，一般取为为20-1100.T：终止进化化代数，一般般取为1000-5000.：交叉概率，一一般取为0.4-0.99。：变异概率，一一般取为0.0001-0.1；1.4基本遗传传算法的形式式化定义基本遗传算法可可定义为一个个8元组： SGGA=(C,E,M,T) 式中 C-个体的的编码方法； E-个个体评价适应应度函数 -初始始群体； M-群群体大小； -选择择算子； -交叉叉算子； -变异异算子； T-遗遗传运算终止止条件。Procedure SGABegin Initialize P(0); t=0; Whil

23、e(t 00000000000000000011=1 - 1111111111111111111= - 则二进制编码的的编码精度为为： 假设某一个体编编码是： 则对应的解码公公式： 2.1.2浮点点数编码方法法： 浮点数数编码方法，是是指用某一范范围内的一个个浮点数来表表示个体的每每个基因值，决决策变量的个个数与个体的的编码长度相相同。由于这这种编码方法法使用的是决决策变量的真真实值，所以以浮点数编码码方法也叫做做真值编码方方法。 在浮点点数编码方法法中，必须保保证基因值在在给定的限制制范围之内，遗遗传算法中所所使用交叉、变变异等遗传算算子也必须保保证其运算结结果所产生的的新个体的基基因值也在

24、这这个范围内。浮浮点数编码方方法有以下几几个优点：（1） 适合在遗传算法法中表示范围围较大的数；（2） 适合于精度要求求较高的遗传传算法；（3） 便于较大空间的的遗传搜索；（4） 改善了遗传算法法的计算复杂杂性，提高了了运算效率；（5） 便与遗传算法与与经典优化算算法的混合使使用；（6） 便于设计针对问问题的专门知知识性遗传算算子；（7） 便于处理复杂的的决策变量约约束条件。2.2遗传算法法的适应度函函数下一步的有关搜搜索信息通过过所求问题的的目标函数值值来得到，目目标函数值最最主要的作用用就是通过它它来评价个体体的适应度。评评价个体适应应度的一般过过程是： 个体编码串解解码 个体的的表现性

25、个体体的目标函数数值 个体的适适应度 最优化化问题由以下下两大类组成成，一类为求求目标函数的的全局最大值值，另一类为为求目标函数数的全局最小小值。对于求最大值的的问题，做下下述转换： f(X) + , if f(X) + 00F(X)= 0, if f(XX) + f(X)F(X)= 0, if = f(X)式中，为一个适适当的相对较较大的数。 2.2.1乘幂幂尺度变换乘幂尺度变换的的公式为： 新的适适应度是原适适应度的k乘乘幂。所求解解的问题决定定幂指数k，而而且在算法的的执行过程中中为了使尺度度变换满足一一定的伸缩要要求需要不断断对其校正。2.2.2指数数尺度变换指数尺度变换的的公式为：

26、新的适应度是原原有适应度的的某个指数。 式中系系数决定了选选择的强制性性，越小，原原有适应度较较高的个体的的新适应度就就越与其他个个体的新适应应度相差较大大，亦即越增增加了该个体体的强制性。2.3遗传算法法的选择算子子下面列出几种常常用的选择算算子操作方法法。2.3.1比例例选择比例选择方法的的基本思想是是：适应度越越大的个体被被选中的概率率就越大。但但由于它的操操作带有随机机性，所以它它的选择误差差比较大。设设群体大小为为M，个体ii的适应度，则则个体i被选选中的概率为为： （i=1,2,.M） 由上式可见，适适应度越高的的个体被选中中的概率越大大。2.3.2最优优保存策略 在遗传传算法的运

27、行行过程中，新新的个体在对对个体进行交交叉、变异等等遗传操作过过程中产生。即即使在群体的的进化过程中中会产生出越越来越多的优优良个体，但但选择、交叉叉、变异等遗遗传操作的随随机性可能破破坏掉当前群群体中适应度度最好的个体体。这样的现现象对于求解解最优解显然然是不利的，因因为它会降低低当前群体的的平均适应度度，并且对遗遗传算法的运运行效率、收收敛性都有不不利的影响。所所以，适应度度最好的个体体应该尽可能能保留到下一一代群体中。为为此，可以使使用最优保存存策略模型来来进行优胜劣劣汰操作。最优保存策略进进化模型的具具体操作过程程是：（1） 找出当前群体中中适应度最高高的个体和适适应度最低的的个体。（

28、2） 若当前群体中最最佳个体的适适应度比总的的迄今为止的的最好个体适适应度还要高高，则以当前前群体中的最最佳个体作为为新的迄今为为止的最好个个体。（3） 用迄今为止的最最好个体替换换掉当前群体体中的最差个个体。 最优保保存策略可作作为其他选择择操作的一部部分。它可以以保证到目前前为止所得到到的最优个体体不会被遗传传运算所破坏坏，它是遗传传算法操作的的一个重要保保证条件。2.3.3确定定式采样选择择 确定式式采样选择方方法的基本思思想是按照一一种确定的方方式来进行操操作。其具体体基本过程是是：(1)计算群体体中各个个体体在下一代群群体中的期望望生存数目： （i=1,2,.,M）(2)用的整数数部

29、分确定各各个对应个体体在下一代群群体中的生存存数目。其中中表示取不大大于x的最大大的整数。由由该步共可确确定出下一代代群体中的 个个体。(3)按照的小小数部分对个个体进行降序序排序，顺序序取前M- 个个体体加入到下一一代群体中。至至此可完全确确定出下一代代群体中的MM个个体。 这种选选择操作方式式可保证适应应度较大的一一些个体一定定能够被保留留在下一代群群体中，并且且操作也比较较简单。2.4交叉算子子 单点交交叉算子是最最常用的交叉叉算子。但单单点交叉操作作又有一定的的局限性。下下面介绍几种种适合于二进进制编码个体体或浮点数编编码个体的交交叉算子。2.4.1单点点交叉 单点交交叉是指在个个体编

30、码串中中随机设置一一个交叉点，然然后在该点相相互交换两个个配对个体的的部分染色体体。单点交叉叉的重要特点点是：若邻接接基因座之间间的关系能提提供较好的个个体性状和较较高的个体适适应度的话，则则这种单点交交叉操作破坏坏这种个体性性状和降低个个体适应度的的可能是最小小。2.4.2算数数交叉算数交叉是指对对两个浮点数数编码所组成成的个体进行行线性组合而而产生出两个个新的个体。假假设在两个个个体、之间进行算算数交叉，则则交叉运算所所产生的两个个个体是: 式中，为一参数，它可以是一个常数，此时所进行的交叉运算称为均匀算数交叉；他可以是一个进化代数所决定的变量，此时所进行的交叉运算称为非对称均匀算术交叉。

31、2.5变异算子子 最简单单的变异算子子是基本位变变异算子。但但它并不能满满足所有问题题的求解要求求，需要开发发出别的算子子以满足需求求。下面列出出一些比较常常用的变异算算子。2.5.1基本本位变异 基本位位变异操作是是指对个体编编码串中某一一位或某几位位基因座上的的基因值做变变异运算这些些位置以变异异概率随机指指定的。在基基本位变异操操作中只有编编码串的个别别几个基因座座上的基因值值被改变，并并且变异发生生的概率也比比较小，所以以其发挥的作作用比较慢，作作用的效果也也不明显。2.5.2均匀匀变异 均匀变变异操作是指指分别符合某某一范围均匀匀分布的随机机数，以某一一较小的概率率来替换个体体编码串

32、中各各个基因座上上的原有基因因值。均匀变异的具体体操作过程是是：（1） 依次指定个体编编码串中的每每个基因座为为变异点。（2） 对每一个变异点点，以变异概概率从对应基基因的取值范范围内取一随随机数来替代代原有基因值值。假设有一一个体为，若若为变异点，其其取值范围为为，在该点对对个体X进行行均匀变异操操作后，可得得到一个新的的个体，其中变异点的的新基因值是是： 式中，r为00,1范围围内符合均匀匀概率分布的的一个随机数数。 均匀分分布操作特别别适合应用于于遗传算法的的初期运行阶阶段，它使得得搜索点可以以在整个搜索索空间内自由由移动，从而而可以增加群群体的多样性性，使得算法法处理更多的的模式。第三

33、章 投资资组合3.1投资组合合理论的提出出证券投资的目的的是为了取得得收益，但同同时投资者也也不得不承担担风险。由于于一般的情况况是预期收益益越高的证券券风险越大。那那么，能否找找到适当的方方法去避免或或降低投资中中的风险呢?回答是肯定定的，这就是是采取分散投投资也就是组组合投资的方方式。即俗话话说的：“不要把所有有的鸡蛋放在在一个篮子里里”。将投资对对象分散到什什么程度，如如何进行合理理搭配，才能能达到高收益益低风险的的最佳配合，从从而使投资者者的效用最大大化，这正是是组合投资理理论首先要回回答的问题。组合投资理论的的起源。可追追溯到19552年，美国国经济学家马马柯维茨在金金融杂志上上发表

34、了一篇篇论文资产产组合的选择择。在这篇篇论文中，他他利用一套系系统分析的方方法展示了如如何采用组合合投资的方式式创造投资的的新领域，使使在一定的风风险水平下，取取得最大可能能的预期收益益。马柯维茨茨分别用期望望收益率和收收益率的方差差来衡量投资资的预期收益益水平和风险险，建立均值值方差模型来来阐述如果全全盘考虑上述述两个问题。11959年他他又出版了同同名专著，详详细论述了“资产组合”的基本原理理，从而奠定定了现代组合合投资理论的的基础。 投资组组合理论中马马科维兹的均均值-方差差模型为人们们提供了证券券投资决策的的理论基础。然然而这种方法法所面临的最最大问题是其其计算量太大大。3.2证券组合

35、合投资理论马柯维茨资产组组合理论认为为，若在具有有相同回报率率的两个证券券之间进行选选择的话，任任何投资者都都会选择风险险小的。这同同时也表明投投资者若要追追求高回报必必定要承担高高风险。同样样，出于避风风险的原因，投投资者通常持持有多样化投投资组合。马柯维茨从对回回报和风险的的定量出发，建建立了一个投投资组合的分分析模型，其其要点为：（1）投资组组合的两个相相关特征是期期望回报率及及其方差。（2）投资将将选择在给定定风险水平下下期望回报率率最大的投资资组合，或在在给定期望回回报率水平下下风险最低的的投资组合。（3）对每种种证券的期望望回报率、方方差和与其他他证券的协方方差进行估计计和挑选，并

36、并进行数学规规划(Matthemattical Progrramminng)，以确确定各证券在在投资者资金金中的比重。马柯维茨的证券券组合理论作作为一种投资资方法，归纳纳起来共有三三个步骤： 一是想想够买最佳证证券组合的投投资者先要确确定一系列的的证券作为考考虑对象； 二是对对这些证券的的前景进行分分析，即进行行基本分析和和技术分析，对对所考虑的所所有证券的收收益率、方差差和协方差做做出估计； 三是要要找出投资者者的最佳证券券组合。3.3马克威茨茨的均值方差模型3.3.1单个个资产的收益益、风险和资资产间的相互互关系1、预期收益预期收益率是各各种可能的收收益率按其发发生的概率进进行加权平均均而

37、得到的收收益率。2、风险及其度度量（1）定义：风风险指收益（或或价格）的不不确定性，也也就是收益（或或价格）对其其期望值（或或均值）的偏偏离。（2）度量：一一般用收益率率的方差或标标准差来表示示。方差：标准差：3、资产之间的的相互关系协方差和和相关系数（1）协方差： 协方差差测度的是两两个风险资产产收益的相互互影响的方向向与程度。正正的协方差意意味着两个资资产的收益同同向变动；而而负的协方差差则表明它们们朝相反的方方向变动。（2）协方差的的估计 ：（3）相关系数数： 完全正相相关； 完完全负相关； 不相关； 不完全相相关3.3.2资产产组合的收益益和风险 设投资资者选择了nn 种证券作作为投资

38、对象象,第i 种证券收收益率为 , 为第 i种证券的的预期收益率率，为投资者者投向第 ii 种证券的的投资比例系系数, 为投资组组合的收益率率，为投资组组合收益率的的期望值，投投资组合收益益率的方差，则则有 非系统风风险 系统风风险3.4现代投资资理论的组成成和发展 APTT模型、行为为金融理论、资资本资产定价价模型、投资资组合理论以以及有效市场场理论等部分分共同构成了了现代投资组组合理论的框架。这这些理论及模模型的出现改改变了过去主主要依赖基本本分析的传统统投资管理实实践，使现代代投资管理日日益朝着系统统化、组合化化、科学化的的方向发展。 19552年3月，美美国经济学者者哈里马考威茨发发表

39、了证券券组合选择，作作为现代证券券组合管理理理论的开端。马马克威茨通过过均值方差模模型对风险和和收益进行了了量化，提出出了确定最佳佳资产组合的的基本模型。因因为这个模型型要求计算所所有资产的协协方差矩阵，所所以其在实践践中的应用具具有很大的局局限性。 19663年，威廉廉夏普的研究究极大地推动动了投资组合合理论的实际际应用，其基基于对协方差差矩阵加以简简化估计的夏夏普单因素模模型。 上个世世纪60年代代，夏普、林林特和莫森分分别在19664、19665和19666年提出资资本资产定价价模型。该模模型不仅提供供了评价收益益-风险相互互转换特征的的可运作框架架，也为投资资组合分析、基基金绩效评价价

40、提供了重要要的理论基础础。 1976年，针针对CAPMM模型所存在在的不可检验验性的缺陷，罗罗斯提出了一一种替代性的的资本资产定定价模型，即即APT模型型。该模型直直接导致了多多指数投资组组合分析方法法在投资实践践上的广泛应应用。3.5投资组合合的应用投资组合理论为为投资组合的的分析和有效效投资组合的的构建做出了了重要贡献，其其对现代投资资管理实践的的影响主要表表现在以下44个方面： 1马马考威茨首次次对风险和收收益这两个投投资管理中的的基础性概念念进行了准确确的定义，从此，同时时考虑风险和和收益就作为为描述合理投投资目标缺一一不可的两个个要件(参数数)。 在马考威威茨之前，投投资顾问和基基金

41、经理尽管管也会顾及风风险因素，但但由于不能对对风险加以有有效的衡量，也也就只能将注注意力放在投投资的收益方方面。马考威威茨用投资回回报的期望值值(均值)表表示投资收益益(率)，用用方差(或标标准差)表示示收益的风险险，解决了对对资产的风险险衡量问题，并并认为典型的的投资者是风风险回避者，他他们在追求高高预期收益的的同时会尽量量回避风险。据据此马考威茨茨提供了以均均值一方差分分析为基础的的最大化效用用的一整套组组合投资理论论。 2投资组合合理论关于分分散投资的合合理性的阐述述为基金管理理业的存在提提供了重要的的理论依据。在马考威茨之前，尽管人们很早就对分散投资能够降低风险有一定的认识，但从未在理

42、论上形成系统化的认识。 投资组组合的方差公公式说明投资资组合的方差差并不是组合合中各个证券券方差的简单单线性组合，而而是在很大程程度上取决于于证券之间的的相关关系。单单个证券本身身的收益和标标准 差指标标对投资者可可能并不具有有吸引力，但但如果它与投投资组合中的的证券相关性性小甚至是负负相关，它就就会被纳入组组合。当组合合中的证券数数量较多时，投投资组合的方方差的大 小小在很大程度度上更多地取取决于证券之之间的协方差差，单个证券券的方差则会会居于次要地地位。因此投投资组合的方方差公式对分分散投资的合合理性不但提提供了理论上上的解释，而而且 提供了了有效分散投投资的实际指指引。 3马考威茨茨提出

43、的“有效投资组组合”的概念，使使基金经理从从过去一直关关注于对单个个证券的分析析转向了对构构建有效投资资组合的重视视。自50年年代初，马考考威茨发表其其著名的论文文以来，投资资管理已从过过去专注于选选股转为对分分散投资和组组合中资产之之间的相互关关系上来。事事实上投资组组合理论已将将投资管理的的概念扩展为为组合管理。从从而也就使投投资管理的实实践发生了革革命性的变化化。 4 马考威茨的投资资组合理论已已被广泛应用用到了投资组组合中各主要要资产类型的的最优配置的的活动中，并并被实践证明明是行之有效效的。 第四章 基于于改进遗传算算法的有交易易成本的组合合投资问题Markowiitz认为应应该用证

44、券的的期望收益率率来表示证券券收益，用证证券的收益率率的方差(标标准差)表示示风险这就是是组合证券投投资模型的核核心。Marrkowittz提出的预预期效用极大大化中的资产产选择的原则则是：当收益益率条件固定定时，追求最最小的风险；在风险条件件固定时，追追求最大收益益率。假设市场上有NN种风险资产产，表示第ii种资产的收收益率， 表示在第ii种资产上的的投资比例；两资产收益益率的协方差差记为以 ，i, j=1，N。 代表资产组组合的期望收收益率。 MMarkowwitz的组组合投资模型型 为 =1注：必须在一定定的假设下MMarkowwitz模型型才得以成立立；Markowiitz假设：1)存

45、在无风险险利率，并对对每个投资者者来说无风险险利率都是相相同的。2)投资者对股股票的种类没没有区分。3)投资者在证证券交易过程程中没有交易易成本。4)所有的投资资者都是理性性的投资者，他他们服从不满满足假设和回回避风险假设设，并以期望望收益和方差差(或标准差差)来评价证证券及其组合合。5)股票份额可可以无限分割割，投资者可可以购买1股股甚至055股。 在Maarkowiitz看来整整个投资过程程的重心应该该放在风险上上，所以不能能把所有的资资金都压在一一种股票上。中中国市场还处处在比较年轻轻的阶段，它它还有许多不不完善地方，同同时为了控制制风险还有许许多限制性的的规定，上述述的一些假设设必将影

46、响这这个领域中某某些研究的可可操作性。因因此在本章我我们将分析其其中的一些假假设并给出相相应的解决方方法。4.1 模型型的建立与分分析4.1.1股票票交易额不可可分割及无风风险投资中国股市现在股股票交易最低低额为一手（1100股），需需要的最低金金额和每笔交交易必须是一一手的整数倍倍。在这种情情况下，模型型的参数表示示每个证券的的投资比例不不是太方便，在在这里我们定定义的参数变变量i的证券券投资很多，很很显然他们是是整数且是非非负整数。除除了投资者，总总投资，由于于投资符合整整只手，通常常有剩余资金金的出现，将将导致闲置资资金投入的资资金，如果这这些不属于，但但如果你认为为无风险的投投资，剩余

47、资资金存入银行行或购买无风风险证券也产产生收入。考考虑上述原因因模型转化为为如下形式( ):为第i种证券的的市场价格;第i种证券的收收益率;投资手数;第i，j种证券券收益率的协协方差;既定收益;无风险投资资金金; M 投资资总额;其中相应与模型型(P1)， 的条条件发生了变变化，等式约约束表示在确确定了总投资资额M的情况况下，当对第第i种风险证证券投资 手后，剩余余资金 用于无风险险投资；由于于 的意义义发生了变化化，不等式约约束表示总收收益要足够大大；目标函数数表示用组合合收益的方差差作为风险度度量。4.1.2交易易成本在投资活动中，每每一次交易的的发生，投资资人都要按一一定的比例向向交易所

48、和证证券经纪人缴缴纳相应的费费用，如手续续费、税款和和佣金等尽尽管交易成本本比例很小也也不能频繁交交易简单起起见，在这里里我们只考虑虑离散形式组组合投资模型型在证券市市场，假定每每一笔交易无无论买入或卖卖出都要付出出交易额倍的的交易成本设Pio是是第i种证券券在0时刻的的价格 ， 是第ii种证券在11时刻的价格格假设在00时刻买入一一单位证券ii，需资金 ；在11时刻卖出这这一单位证券券时可获资金金 ，则则在这段时间间内，考虑交交易成本的投投资收益为若若记为第i种证券根根据市场价格格计算的收益益率，则第ii种资产的实实际收益 为若选定N种证券券进行投资，为在第i种资产上的投资手数(每手=100

49、股)，pi为第i种资产的价格，则实际组合收益：实际组合风险为为此时模型转化为为P3模型P3与模型型P2的不同同之处在于考考虑交易成本本后，总的收收益与风险都都发生了变化化。4.1.3风险险偏好根据经济学的观观点，每个理理性投资者的的投资要求是是风险尽量小小，面收益尽尽量大，即他他们服从不满满足假设和回回避风险假设设如果我们们同时考虑组组合的收益和和风险，采用用多目标单目目标化的方法法，目标函数数可以变为：其中表示投资组组合的收益，表示投资组合的风险，是风险厌恶系数，表示投资者对风险的态度显然，越小，表示投资者越不能接受风险当=0表示投资者完全规避风险，风险是他在投资过程中考虑的唯一因素相反，当

50、=1是表示投资者追求高收益，而完全忽视投资风险那么考虑含有风风险偏好的模模型为P4： i=1,NN模型P3与模型型P4应该具具有相同的有有效边界和最最优解。4.1.4分类类约束传统的组合投资资模型对证券券组合的种类类没有作过多多的分析。一一般证券收益益较高时其风风险也较大，风风险较小时其其相应收益率率也较小。事事实上，就证证券组合投资资而言，大概概有三种类型型的组合：高高风险组合，即即选择销路好好，预期盈利利超过公司平平均收益的股股票，如电力力、制药、高高科技公司等等。中等风险险组合，即选选择一些债券券和公用事业业和成熟工业业的股票，如如汽车、化工工、钢铁公司司等。低风险险组合，即选选择政府债

51、券券和一些高质质量的股票，收收益不高但可可靠。按照分分散化原则，在在证券的选择择上，既要考考虑风险较小小收益率较低低的证券，如如工艺成熟但但未来发展机机会相对较少少的公司的股股票，又要考考虑风险较大大收益率较高高的证券，如如迅速堀起的的具有强大发发展潜力的公公司发行的股股票。我们按按照分散化原原则选择证券券种类，确定定不同类型证证券的投资比比例，可以合合理构成证券券组合达到适适当增加收益益和降低风险险的目的，所所以采用分类类约束有很强强的实际意义义。 令TTk，k=11，m)为mm种资产类型型集合，它们们彼此独立，即即 ，那那么对于属于于第k种类型型的资产，它它们的投资比比例应满足下下式4.1

52、.5模型型描述通过上面的特征征，可建立含含有交易成本本和分类约束束并考虑投资资人偏好的混混合整数非线线性规划模型型P如下： k=11,m i=1,N其中，根据实际际问题或者经经验，我们可可以给出投资资总额M，风风险厌恶系数数，以及交易易成本系数，我我们还知道各各种股票的价价格张Pi，无无风险证券的的收益率r00，各种股票票的收益率rri和协方差差也可以通过过样本均值和和样本协方差差估计得到。4.2 模型的的遗传算法求求解下面采用遗传上上算法对模型型进行求解，遗遗传算法第一一次是出Hoollandd在他的博士士论文中提出出，遗传算法法是一种从适适者生存概念念和自然中抽抽象出来的基基因算法与传传统的优化技技术比较，遗遗传算法的特特点在于44：1）遗传算法的的工作对象不不是决策变量量本身，而是是将有关变量量进编码所得得的码，即位位串：2）传统的寻优优技术都是从从一个初如点点出发，再逐逐步迭代以求求最优解。遗遗传算法则不不然，它是从从点的一个群群体出发经过过代代相传求求得满意解；3）遗传算法只只充分利用适适应度函数（目目标函数）的的信息而完全全不依靠其它它补充知识；4）遗传算法的的操作规则是是概率性而确确定性的。自从Hollaand提出遗遗传算法以后后，出于遗传传算法不同于于传统的最优优化方法，有有其灵活性和和易变