排列 组合 二项式定理新课

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1、20.1.1 排列的概念【教学目标】1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法；2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。 【教学重难点】教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用教学难点：排列数公式的推导【教学课时】二课时【教学过程】合作探究一： 排列的定义我们看下面的问题（1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里 （2）从10名学生中选2名学生做正副班长；（3）从10名学生中选2名学生干部；上述问题中哪个是排列问题？为什么？概念形成1、元素：我们把问题

2、中被取的对象叫做元素2、排列：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按一定的顺序排列（与位置有关） （2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同合作探究二 排列数的定义及公式3、排列数：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？4、排列数公式推导探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数是多少？呢？呢？（）说明：公式特征：（1）第一个因数是，后面每一个因数比它前

3、面一个少1，最后一个因数是，共有个因数； （2）即学即练:1.计算 (1）； (2） ；(3)2.已知，那么 3且则用排列数符号表示为( ) 答案：1、5040、20、20；2、6；3、C典型例题例1 计算从这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。解析：（1）利用好树状图，确保不重不漏；（2）注意最后列举。解：略点评：在写出所要求的排列时，可采用树状图或框图一一列出，一定保证不重不漏。变式训练：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？并写出所有的排列。5 、全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的全排列。此时在排列数公式中， m = n全排列数：

4、（叫做n的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1） （2） （3）想一想：由前面联系中（ 2 ) ( 3 ）的结果我们看到，和有怎样的关系？那么，这个结果有没有一般性呢？排列数公式的另一种形式：另外，我们规定 0! =1 .想一想：排列数公式的两种不同形式，在应用中应该怎样选择？例2求证： 解析：计算时，既要考虑排列数公式，又要考虑各排列数之间的关系；先化简，以减少运算量。解：左边=点评：(1)熟记两个公式；（2）掌握两个公式的用途；(3)注意公式的逆用。思考：你能用计数原理直接解释例2中的等式吗？（提示：可就所取的m个元素分类，分含某个元素a和不含元素a两类）变式训练：已知，求的值。（

5、n=15）归纳总结：1、顺序是排列的特征；2、两个排列数公式的用途：乘积形式多用于计算，阶乘形式多用于化简或证明。【当堂检测】 1若，则 （ ） 2若，则的值为 （ ） 3 已知，那么 ；4一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火车）？答案：1、B；2、A；3、8；4、1680。【课外作业】见同步练习20.1.2 排列应用题【教学目标】1. 进一步理解排列的意义，并能用排列数公式进行运算；2. 能用所学的排列知识和具体方法正确解决简单的实际问题。3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。 【教学重难点】教学重点

6、：排列应用题常用的方法：直接法（包括特殊元素处理法、特殊位置处理法、捆绑法、插空法），间接法教学难点：排列数公式的理解与运用【教学过程】情境设计从19这九个数字中选出三个组成一个三位数，则这样的三位数的个数是多少？新知教学排列数公式的应用：来源:学+科+网Z+X+X+K例1、(1)某足球联赛共有12支队伍参加，每队都要与其他队在主、客场分别比赛一场，共要进行多少场比赛？解：略变式训练：(1)放假了，某宿舍的四名同学相约互发一封电子邮件，则他们共发了多少封电子邮件？(2) 放假了，某宿舍的四名同学相约互通一次电话，共打了多少次电话？例2、（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人1本，共有多

7、少种不同的送法？（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？ 解：见书本16页例3例3、用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解：见书本19页例4点评 ：解答元素“在”与“不在”某一位置问题的思路是：优先安置受限制的元素，然后再考虑一般对象的安置问题，常用方法如下：1）从特殊元素出发，事件分类完成，用分类计数原理2）从特殊位置出发，事件分步完成，用分步计数原理 3）从“对立事件”出发，用减法4）若要求某n个元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排

8、列。5）若要求某n个元素间隔，常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限制元素插人到允许的位置上变式训练: 有四位司机、四个售票员组成四个小组，每组有一位司机和一位售票员，则不同的分组方案共有（ ） （A）种 （B）种 （C）种 （D）种答案:D例4、三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？ （5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？答案：(1) 4320；(2) 1

9、4400；(3) 14400；(4) 36000；(5) 720点评：1）若要求某n个元素相邻，可采用“捆绑法”，所谓“捆绑法”就是首先将要求排在相邻位置上的元素看成一个整体同其它元素一同排列，然后再考虑这个整体内部元素的排列。2）若要求某n个元素间隔，常采用“插空法”。所谓插空法就是首先安排一般元素，然后再将受限制元素插人到允许的位置上变式训练：1、6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法26个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法答案：1600 2504归纳总结：1、解有关排列的应用题时，先将问题归结为排列问题，然后确定原有元素和取出元素的个数，即n、m的值.2、解决相邻问题

10、通常用捆绑的办法；不相邻问题通常用插入的办法.3、解有条件限制的排列问题思路：正确选择原理；处理好特殊元素和特殊位置，先让特殊元素占位，或特殊位置选元素；再考虑其余元素或其余位置；数字的排列问题，0不能排在首位4、判断是否是排列问题关键在于取出的元素是否与顺序有关，若与顺序有关则是排列，否则不是.5、由于解排列应用题往往难以验证结果的正确性，所以一般应考虑用一种方法计算结果，用另一种方法检查核对，辨别正误【当堂检测】1用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） （A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个2甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上

11、试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ） （A）12种 （B）18种 （C）24种 （D）96种3某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ） （A）6种 （B）9种 （C）18种 （D）24种4五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种答案：1、A；2、B；3、C；4、480。【课外作业】见对口单招20.2.1组合【教学目标】： （1）理解组合的定义，掌握组合数的计算公式 （2）正确认识组合与排列的区别与联系 （3）会利用组合数的性质，解决一些简单的组合问题【教学重难点】：掌握组

12、合定义及与排列的区别，会计算组合数【教学课时】：二课时【教学过程】：情景导入问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？合作探究：探究1：组合的定义？一般地，从n个不同元素中取出m（mn）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.探究2：排列与组合的概念有什么共同点与不同点？ 不同点: 排列与元素的顺序有关， 而组合则与元素的顺序无关.共同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 问题三：判断下列问题是组合问题

13、还是排列问题? (1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的子集有多少个?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? 组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.探究3：写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合 abc ， abd ， acd ，bcd 每一个组合又能对应几个排列？交流展示精讲精练例1判断下列问题是排列问题还是组合问题？（1）a、b、c、d四支足球队之间进行单循环比赛，共需要多少场比赛？（2）a、b、c、d四支足球队争夺冠亚军，有多少场不同的比赛？变式训练1 已知ABCDE五个元素，写出取出3个元素的所有组合例2计算下列各式的值

14、（1）（2）变式训练2 （1）解方程 （2）已知课堂测评：1、判断下列语句是排列问题还是组合问题(1)某人射击8次，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种?(2)某人射击8次，命中4枪，且命中的4枪均为3枪连中，不同的结果有多少种?2、计算（ ）A120 B240 C60 D4803、已知=10，则n=（ ）A10 B5 C3 D24、如果，则m=（ ）A6 B7 C8 D9【板书设计】：略。【作业布置】：略。课外练习：1、给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）由1,2,3,4构成的2个元素的集合 五个队进行单循环比赛的分组情况由1,2,3组成两位数的不同方法数由1,2,3

15、组成无重复数字的两位数A B C D2、的不同值有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个3、已知集合A=1,2,3,4,5,6，B=1,2，若集合M满足BMA，则这样的集合M共有（ ）A12个 B13个 C14个 D15个4、已知 5、若x满足，则x值是： 6、已知参考答案：1C 2B 3C 4 m=14，n=34 5 2,3,4,5, 6 n=220.2.2排列组合综合应用一、教学目标：1、掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用。2、认识分组分配和分组组合问题的区别。3、能够区分和解决分组分配和分组组合问题。二、教学重点难点重点：熟练掌握排列和组合数的各个性质并能熟练运用难点：能够区分和解决分

16、组分配和分组组合问题。三、教学过程：前面，我们已经分别对排列组合问题做了较全面的研究，我们知道排列组合相互联系又相互区别。在实际问题中，有些问题既涉及排列问题又涉及组合问题，因此只有将两个知识点结合起来，才能更好的解决实际问题，今天我们先解决以下几类综合问题。合作探究、精讲点拨。1.分组分配问题探究：将3件不同的礼品（1）分给甲乙丙三人，每人各得1件，有多少种分法？（2）分成三堆，一堆一件，有几种分法？答案：（1） (2)1种 （4）因为没有规定谁得1件，谁得2件和3件，那么谁都可以得1，2，或3件，故应比（2）扩大倍，则一共有种。（5）解法一：第一堆有种分法，第二堆有种分法，第三堆有种分法，

17、所以一共有种分法，但因为堆与堆之间没有区别，故每种情况只能算一种情况，因此，共有种分法。解法二：设6件礼品分3堆有x种分法，在平均分成3堆后再分给三个人，又有种分法，故将6件礼品分给三个人，每人2件共有x种分法，再由（1）知它应等于种，列方程得x，可得x 。点评：本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题，搞清类型的归属对今后的解题大有裨益。其中：均匀不定向分配问题非均匀定向分配问题非均匀不定向分配问题非均匀分配问题均匀分配问题。这是一个典型的问题，要认真体会。变式训练1、按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？（1）各组人数分别为2，4，6人；（2）平均分成3个小组；（3）平均

18、分成3个小组，进入3个不同车间。简答：（1）=13860，（2）=5775，（3）分两步：第一步平均分成3组，第二步让3个小组分别进入不同车间，故有=34650种不同的分法。2分组组合问题。 例二：6名男医生，4名女医生选3名男医生，2名女医生，让他们到5个不同的地区巡回医疗，共有多少种不同的分派方法？把10名医生分成2组，每组5人且每组要有女医生，有多少种不同的分派方法？若将这两组医生分派到两地去，并且每组选出正，副组长2人，又有多少种方法？解析：取部分元素进行排列，一定要先取后排。解：（1）法1：分三步：从6名男医生中选3名 从4名女医生中选2名 对选出的5人全排列，故一共有种 法2：分两

19、步：从5个地区中选出3个地区，再将3个地区的工作分配给6个男医生中的3个，再将剩下的2个地区的工作分给4个女医生中的2个，故一共（2）医生的选法有两类： 第一类：一组女医生1人男医生4人，另一组女医生3人男医生2人，因为组合组之间没有顺序，故一共有种不同的选法。 第二类：两组都是3男2女，考虑两组没有顺序，因此有不同的选法，因此医生不同的选法总数为. 分派到两地种方法，每个小组选出正副组长各有种选法，故一共有。点评：对于排列组合的综合题，常采用先组合（选出元素），再排列（将选出的这些元素按要求进行排序）。变式训练2、从6个男同学和4个女同学中，选出3个男同学和2个女同学分别承担A、B、C、D、

20、E五项不同的工作，一共有多少种分配工作的方法？简答：一般方法是先选后排，按元素的性质“分类”和按事件发生的连续过程分步，故有=14400种方法。 （四）反思总结，当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。四、板书设计：五、作业布置：1、六本不同的书，分为三组，一组四本，另外两组各一本，有多少种分法？2有5个男生和3个女生，从中选5 个担任5门学科代表，求符合下列条件的选法数。有女生但人数少于男生某女生一定要担任语文科代表。某男生必须在内，但不担任数学科代表。某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不是数学科代表。3、把12本相同的笔记本全部分给7位同学，每人至

21、少一本，有多少种分法？六、课外作业：1、若9名同学中男生5名，女生4名（1）若选3名男生，2名女生排成一排，有多少种排法？ （2）若选3名男生2名女生排成一排且有一男生必须在排头，有多少种排法？（3）若选3名男生2名女生排成一排且某一男生必须在排头，有多少种排法？（4）若男女生相间，有多少种排法？2、在9件产品中，有一级品4件，二级品3件，三级品2件，现抽取4个检查，至少有两件一级品的抽法共有（ ） （A）60种 （B）81种 （C）100种 （D）126种3、某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，若其中某一焊点脱落，电路就不通现今回路不通，焊点脱落情况的可能有（ ） （

22、A）5种 （B）6种 （C）63种 （D）64种203.1二项式定理(一)一、教学目的：1掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式.2.会利用二项展开式及通项公式解决有关问题.二、教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用三、教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用四、授课类型：新授课 五、课时安排：2课时 六、教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在

23、求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点二项式定理的证明是一个教学难点这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习 教学过程：一、复习引入： ；的各项都是

24、次式，即展开式应有下面形式的各项：，展开式各项的系数：上面个括号中，每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，二、讲解新课：二项式定理：的展开式的各项都是次式，即展开式应有下面形式的各项：，展开式各项的系数： 每个都不取的情况有种，即种，的系数是；恰有个取的情况有种，的系数是，恰有个取的情况有种，的系数是，有都取的情况有种，的系数是，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫的二项展开式，它有项，各项的系数叫二项式系数，叫二项展开式的通项，用表示，即通项二项式定理中，设，则三

25、、讲解范例：例1展开解一： 解二：例2展开解：例3求的展开式中的倒数第项解：的展开式中共项，它的倒数第项是第项，例4求（1）， （2）的展开式中的第项解：（1）， （2）点评：，的展开后结果相同，但展开式中的第项不相同例5（1）求的展开式常数项； （2）求的展开式的中间两项解：，（1）当时展开式是常数项，即常数项为；（2）的展开式共项，它的中间两项分别是第项、第项， 四、课堂练习：1.求的展开式的第3项.2.求的展开式的第3项.3.写出的展开式的第r+1项.4.求的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）；（2）.6.化简：（1）；（2） 7展开式中的第项为，

26、求8求展开式的中间项答案：1. 2. 3. 4.展开式的第4项的二项式系数，第4项的系数 5. （1）；（2）.6. （1）；（2） 7. 展开式中的第项为 8. 展开式的中间项为 五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察归纳猜想证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记： 203.2二项式定理(二)一、教学目的：1掌握二项式定理和二项式系数的性质，2.能灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 二、教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题三、教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题四、授课类型：新授课 五、课时

27、安排：2课时 六、教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1二项式定理及其特例：（1），（2）.2二项展开式的通项公式： 3求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 4二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当依次取时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5二项式系数的性质：展开式的二项式系数是，可以看成以为自变量的函数，定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图）（1）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（）直线是图象的对称轴（2）增减性与最大值：当是偶数时，中间一项取得最大

28、值；当是奇数时，中间两项，取得最大值（3）各二项式系数和：，令，则 二、讲解范例：例1 设，当时，求的值解：令得：，点评：对于，令即可得各项系数的和的值；令即，可得奇数项系数和与偶数项和的关系例2求证：证（法一）倒序相加：设 又， 由+得：，即（法二）：左边各组合数的通项为， 例3已知：的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项解：令，则展开式中各项系数和为，又展开式中二项式系数和为， ，（1），展开式共项，二项式系数最大的项为第三、四两项，（2）设展开式中第项系数最大，则，即展开式中第项系数最大，例4已知，求证：当为偶数时，能被

29、整除分析：由二项式定理的逆用化简，再把变形，化为含有因数的多项式 ，为偶数，设（）， （） ，当=时，显然能被整除，当时，（）式能被整除，所以，当为偶数时，能被整除三、课堂练习：1展开式中的系数为 ，各项系数之和为 2多项式（）的展开式中，的系数为 3若二项式（）的展开式中含有常数项，则的最小值为（ ） A.4 B.5 C.6 D.84某企业欲实现在今后10年内年产值翻一番的目标，那么该企业年产值的年平均增长率最低应 （ ） A.低于5 B.在56之间 C.在68之间 D.在8以上5在的展开式中，奇数项之和为，偶数项之和为，则等于（ ）A.0 B. C. D.6求证：当且时，7求的展开式中系数

30、最大的项 答案：1. 45, 0 2. 0 提示：3. B 4. C 5. D 6. (略) 7. 四、小结 ：二项式定理体现了二项式的正整数幂的展开式的指数、项数、二项式系数等方面的内在联系，涉及到二项展开式中的项和系数的综合问题，只需运用通项公式和二项式系数的性质对条件进行逐个节破，对于与组合数有关的和的问题，赋值法是常用且重要的方法，同时注意二项式定理的逆用 五、课后作业：1已知展开式中的各项系数的和等于的展开式的常数项，而 展开式的系数的最大的项等于，求的值答案：2设求： 答案：； 3求值：答案：4设，试求的展开式中：（1）所有项的系数和；（2）所有偶次项的系数和及所有奇次项的系数和答案：（1）； （2）所有偶次项的系数和为；所有奇次项的系数和为六、板书设计（略） 七、课后记： 22