二元函的极值

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1、第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院第6章：多元函数微分学 内容提要6.4 二元函数的极值 6.4.1 无条件极值 6.4.2 条件极值第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.1 无条件极值 极大值与极小值统称为极值,极大值点与极小值点统称为极值点.定义6.7 设二元函数z=f(x,y)在(x0,y0)点的某个 邻域 内有定义,如果对于任意 当 时恒有 成立,则称 为函数 的极小值,点 称为极小值点;如果对于任意 当 时恒有 成立,则称 为函数 的极大值,点 称为极大值点.),(00yxU),(),(00yxUyx),(),(00yxyx),(),(00

2、yxfyxf),(00yxf),(00yx),(),(00yxUyx),(),(00yxfyxf),(),(00yxyx),(00yxf),(00yx),(yxfz),(00yx1.极值的概念第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.1 无条件极值1.极值的概念例如:函数z=x2+y2在点(0,0)取到了极小值,(0,0)点为该函数的极小值点.分析：该方程所表示的图形？首先用平面z=c 来截该图形,可将z=c 代入方程中得截口为x2+y2=c。当c0时，它是半径为 的圆，且平面往上平移时圆愈来愈大;当c=0时,有x2+y2=0 即:x=0,y=0,可见这时截口仅是一个点,即

3、原点;而当c0 时,由于方程x2+y20时，f(x0,y0)不是极值；当B2-AC0时，且A0时，f(x0,y0)是极大值；当B2-AC0时，f(x0,y0)是极小值；当B2-AC=0时，不能判定 f(x0,y0)是否为极值，需其他方法判定。),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.1 无条件极值4.求二元函数极值的一般步骤(1)求二元函数的偏导数,令两个偏导数为零,求出驻点;(2)求出二阶偏导数,计算B2-AC;(3)将驻点分别代入 B2-AC 求出值,根据定理6.3判断是否为极值点,然后再根据A在极值点

4、处值的符号确定是极大值点还是极小值点;(4)求出极值点的函数值即为函数的极值.第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院再将 点代入得 ,所以 点是极值点,又由于 ,所以 点是极小值点.0272ACB06)1,1(xxf)1,1()1,1()1,1(将 点代入得 ,所以 不是该函数的极值点.092ACB)0,0()0,0(6.4.1 无条件极值例1：求二元函数 f(x,y)=x3+y3-3xy 的极值.解:yxyxfx33),(2令 0),(,0),(yxfyxfyx得方程组 解之得:03303322xyyx11,00yxyxxyyxfy33),(2)0,0()1,1(于是得其驻点

5、为yyxfyxfxyxfyyxyxx6),(,3),(,6),(求二阶偏导数得xyyxACB36966322因此 1)1,1(f其极小值第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.1 无条件极值例2：设某企业生产两种产品A和B,已知其总成本C(万元)与A、B两种产品的产量x(百件)与y(百件)之间具有如下关系:试问A、B两种产品的产量分别为多少时可以使得总成本最低?177423),(22 yxyxyxyxC故:当A、B两种产品的产量分别为100件和200件时,可使总成本最低.最低成本为5万元.解:42),(yxyxCx 073042yxyx令 得方程组0),(,0),(yxC

6、yxCyx而 所以3,1,2 yyxyxxCCC02)2,1(052 xxCACB因此(1,2)为极小值点,又由于仅有唯一一个极值点,因而它也是最小值点。此时C(1,2)=5(万元)73),(yxyxCy解得驻点为（1,2）第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.2 条件极值1.条件极值的概念 在求函数 z=f(x,y)的极值时,有时其自变量 x,y 会受到另一个方程 g(x,y)=0 的制约,我们称这样的函数极值为条件极值,其中称方程 g(x,y)=0 为约束条件.以上条件极值问题是针对二元函数定义的。类似的也可以定义三元、四元及更多元的条件极值,且它们的约束条件可以不

7、止一个,但要注意约束条件的个数须小于自变量的个数.第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.2 条件极值2.条件极值的解法 条件极值一般有两种解法:(1)化为无条件极值法 在条件极值中,可以从约束条件g(x,y)=0中解出变量y(或变量 x),代入目标函数中,则可将条件极值问题转化为无条件极值问题,这种方法称之为化无条件极值法;但条件极值往往很难化为无条件极值.(2)拉格朗日乘数法直接求条件极值问题的方法 第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院(2)拉格朗日乘数法解题步骤 构造拉格朗日函数分别求L(x,y,z)对x、y、的偏导数,令其为零建立方程组(3)判断

8、(x0,y0)是否为极值点(一般可以根据实际问题的背景判断即可).6.4.2 条件极值2.条件极值的解法),(),(),(yxgyxfyxL并解该方程组得(x0,y0)0),(0),(),(0),(),(yxgLyxgyxfLyxgyxfLyyyxxx第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.2 条件极值例3:某化妆品公司计划通过报纸和电视台做化妆品的促销广告.根据统计资料,销售收入R与报纸广告费用x(百万元)和电视广告费用 y(百万元)之间有如下关系:221028321415yxxyyxR(1)若不限制广告费的支出,求最佳广告策略;(2)若可供使用的广告费为150万元,求

9、相应的最佳广告策略.解:(1)纯销售收入=销售收入-广告费支出因此该公司的纯销售收入为22221028311315)(1028321415),(yxxyyxyxyxxyyxyxf原问题转化为求使得该函数达到最大值时的自变量的取值.第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院6.4.2 条件极值22221028311315)(1028321415),(yxxyyxyxyxxyyxyxf求上式的无条件极值，令02083104813yxfxyfyx解之得驻点为)25.1,75.0(又 20),(,8),(,4),(yxfyxfyxfyyxyxx016)20)(4(822 ACB所以 04)

10、25.1,75.0(xxf又所以 是极大值点)25.1,75.0(又因为极值点仅有唯一一个,所以它也必然是最大值点,即报纸广告费投入75万元,电视广告费投入125万元为最佳广告策略.此时该公司纯销售收入最高.第6章 多元函数微分学四川教育学院 土木与交通工程学院 故根据该问题的实际意义知,此时将广告费全部用于电视广告,可使得该公司获得最大的纯销售收入.6.4.2 条件极值(2)如果限定广告费支出为150万元.则问题转化为求函数 在条件 限制下的条件极值问题.221028311315),(yxxyyxyxf150 yx用拉格朗日乘数法求解如下:)5.1(1028311315),(22 yxyxxyyxyxF 05.102083104813yxyxFxyFyx 求偏导数,建立方程组得5.1,0 yx解之得