理论力学第七章梁的应力.ppt

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1、第七章 弯曲应力,7.1 概 述,7.2 弯曲正应力,7.3 弯曲切应力,7.4 梁的强度计算,7.5 梁的合理强度设计,7.6 非对称截面梁的平面弯曲与弯曲中心概念, 7.7 两种材料的组合梁,内力,应力,7-1 概述,在横截面上，只有法向内力元素dA才能合成弯矩M，只有切向内力元素dA才能合成剪力,.纯弯曲 梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲（横截面上只有正应力而无剪应力的弯曲）。,剪力“Fs”切应力“”； 弯矩“M”正应力“”,2.横力弯曲（剪切弯曲）,梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲（横截面上既有正应力又有剪应力的弯曲）。,一、 纯弯曲和横力弯曲的概念, 7.2 弯曲正应力,从三方面

2、考虑：,一、变形几何关系 用较易变形的材料制成的矩形截面等直梁作纯弯曲试验:,变形几何关系,物理关系,静力学关系,一、纯弯曲正应力,由纯弯曲的变形规律纵向线应变的变化规律。,1、观察实验：,2、变形规律：,、横向线：仍为直线，只是相对转动了一个角度且仍与纵向线正交。,、纵向线：由直线变为曲线，且靠近上部的纤维缩短，靠近下部的纤维伸长。,3、假设：,（1）弯曲平面假设：梁变形前原为平面的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的轴线，只是各横截面绕其上的某轴转动了一个角度。,凹入一侧纤维缩短,突出一侧纤维伸长,根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间

3、必有一层纵向无长度改变的过渡层-称为中性层 。,（2）纵向纤维假设：梁是由许多纵向纤维组成的，且各纵向纤维 之间无挤压。,中间层与横截面的交线 中性轴,梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。,中 性 层,中性轴,4、线应变的变化规律：,在弹性范围内，,（二）物理关系：由纵向线应变的变化 规律正应力的分布规律。,应力的分布图：,中性轴的位置？,为梁弯曲变形后的曲率,（中性轴Z轴通过形心）,（y轴为对称轴，自然满足）,弯曲变形计算的基本公式,（三）、静力学方面： 由横截面上的弯矩和正应力的关系正应力的计算公式。,弯曲正应力计算公式。,弯矩可代入绝对

4、值，应力的符号由变形来判断。 当M 0时，下拉上压； 当M 0时，上拉下压。,将上式代入式 得：,弯曲变形计算的基本公式,横截面上的应力分布图：,（1）当中性轴为对称轴时,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,Wz 截面的抗弯截面系数,最大正应力的确定,z,y,（2）对于中性轴不是对称轴的横截面,应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离 和 直接代入公式,几种常见截面的 IZ 和 WZ,圆截面,矩形截面,空心圆截面,空心矩形截面,l = 3m,q=40kN/m,C,1.5m,1. 绘制内力图,解：,2. C 截面上各点正应力,（压应力）,工程中常见的平面弯曲是横力弯曲,三、正应力公式的推广

5、,6-2,实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,截面关于中性轴对称,截面关于中性轴不对称,横力弯曲梁上的最大正应力,例：求图示悬臂梁的最大、压应力。已知：,10槽钢,解：1）画弯矩图,2）查型钢表：,3）求应力：,cmax,tmax,7-3 弯曲切应力,一、 矩形截面梁横截面上的切应力,1、假设： 横截面上各点的切应力方向与剪力的方向相同。, 切应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点切应力大小相等）。,2、公式推导,x,d,x,图a,取出微段，长度为dx.假设微段上的弯矩为M和M+dM.两

6、截面上距中性轴 y1 处的微面积上所受的正应力为1 和2.,A*为距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积.,式中：,为面积A*对中性轴的静矩.,化简后得,由平衡方程,b,矩型截面的宽度.,整个横截面对中性轴的惯性矩.,距中性轴为y的横线以外部分横 截面面积对中性轴的静矩.,（4）切应力沿截面高度的变化规律, 沿截面高度的变化由静矩 与y之间的关系确定.,截面静矩的计算方法,A为截面面积,为截面的形心坐标,可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化.,y=h/2（即在横截面上距中性轴最远处）=0,y=0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值,式中，A=bh为矩形截面的面积.,2、工字形截面梁的弯曲

7、切应力,假设 : t / 腹板侧边，并沿其厚度均匀分布,腹板上的切应力仍按矩形截面的公式计算。, 腹板的厚度, 距中性轴为y的横线以外部分的横截 面面积A对中性轴的静矩.,（a）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；,（b）最大切应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大切应力.,在翼缘上，有平行于FS的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。,在翼缘上，还有垂直于FS方向的剪应力分量，它与腹板上的切应力比较，一般来说也是次要的。,腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。,假设：,（a）沿宽度kk上各点处的切应力 均汇交于o点；,（b）各

8、点处切应力沿y方向的分量沿 宽度相等.,在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切.,3.圆截面梁,最大切应力发生在中性轴上,4.圆环形截面梁,图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为 ，环的平均半径为r0，由于 r0 故可假设,（a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；,（b）切应力的方向与圆周相切.,式中 A=2r0 为环形截面的面积,横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为,z,y,r0,max,解：、画内力图，求危险面内力,例、矩形截面 梁如图，试求最大正应力和最大切应力之比,求最大应力,应力之比,从本例看出，梁的最大弯曲正应力与最大弯曲切应力之比的数量级约等于梁的跨度l与梁的高度h之比。因为

9、一般梁的跨度远大于其高度，所以梁内的主要应力是正应力。,弯曲正应力与弯曲切应力比较,当 l h 时，smax tmax,当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲.,横力弯曲时，梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲， 横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力，纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.,横力弯曲,虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异，但进一步的分析表 明，工程中常用的梁，纯弯曲时的正应力计算公式，可以精确的 计算横力弯曲时横截面上的正应力.,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,公式的应用范围,1.在弹性范围内,3.平

10、面弯曲,4.直梁,2.具有切应力的梁,一、弯曲正应力的强度条件,1.数学表达式,梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力.,2.强度条件的应用,（2）设计截面,（3）确定许可载荷,（1） 强度校核,对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的,且梁横截面的中性轴一般也不是对称轴，所以梁的,（两者有时并不发生在同一横截面上）,要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力,解：1)求支座反力,例、T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的t=30 M Pa， c=60 M Pa.其截面形心位于C点，y1=52mm， y2=88mm，I z =764cm4 ，试校核此梁的强度。,2,m,2,m,2,m,A,B,C,

11、D,2）画弯矩图,3）求应力,B截面（上拉下压）,M,C截面（下拉上压）,M,由于梁的横截面不对称于中性轴，铸铁的许用拉、压应力又不同，而且最大正弯矩与最大负弯矩的数值相差不大，因此，危险截面可能在截面B，也可能在截面C，必须分别加以校核。,C截面（下拉上压）:,1,m,1,m,1,m,A,B,C,D,F,2,=,2kN,F,1,=,4.5,kN,4 ) 强度校核,B截面（上拉下压）:,最大拉、压应力不在同一截面上,结论 对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面： 对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：,M,M,例4-18 图示槽形截面铸铁梁，已知：b = 2m，截面对中性轴的惯性矩 Iz

12、=5493104mm4， 铸铁的许用拉应力 st =30 MPa，许用压应力 sc =90 MPa。试求梁的许可荷载F 。,解：1、梁的支反力为,据此作出梁的弯矩图如下,发生在截面C,发生在截面B,2、计算最大拉、压正应力,可见：压应力强度条件由B截面控制，拉应力强度条件则B、C截面都要考虑。,C截面,B截面,压应力,拉应力,拉应力,压应力,考虑截面B ：,考虑截面C：,因此梁的强度由截面B上的最大拉应力控制,二、梁的切应力强度条件,一般tmax发生在FSmax所在截面的中性轴处。不计挤压， 则tmax所在点处于纯剪切应力状态。,梁的切应力强度条件为,材料在横力弯曲时的许用切应力,对等直梁，有

13、,弯曲切应力的强度条件,1、校核强度 2、设计截面尺寸 3、确定外荷载。,需要校核剪应力的几种特殊情况：,(2)铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力,(1)梁的跨度较短，M 较小，而 FS 较大时，要校核剪应力。,(4)各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。,(3)胶合而成的组合梁，一般需对胶合面进行切应力强度校核 。,例：截面为三块矩形截面叠加而成(胶合成一体)的梁,胶 =3.4MPa， 求：Fmax及此时的max。若截面为自由叠合，max的值又为多大。,F,解：1、确定 Fmax,2、确定max,3、自由叠合时的max,x,x,Fs,M

14、,F,-F*1,1、梁的剪力图与弯矩图分别如图,2、按正应力强度条件选择工字钢型号,由型钢表查得，No.22b号 工字钢的抗弯截面系数,3、按切应力强度条件进行校核,可见满足切应力强度条件。因此可选用No.22b号工字钢,解：1、画M图,2、AB梁的强度计算,3、CD杆的强度计算,结论：,7-5 梁的合理强度设计,弯曲正应力是影响弯曲强度的主要因素。 上式可以看出，提高弯曲强度的措施主要是从三方面考虑：减小最大弯矩、提高抗弯截面系数和提高材料的力学性能。,合理截面形状应该是截面面积A较小，而抗弯截面模量大的截面。,一、合理安排梁的截面，提高抗弯截面模量。,竖放比横放要好。,1）放置方式：,2）

15、抗弯截面模量/截面面积,3）根据材料特性选择截面形状 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端。如下图：,2.对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不对称的截 面且将翼缘置于受拉侧.,1.对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面.,要使y1/y2接近下列关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,二、合理安排梁的受力，减小弯矩。,合理布置载荷,三、等强度梁,梁各横截面上的最大正应力都相等，并均达到材料的许用 应力，则称为等强度梁.,例如，宽度b保持不变而高度可变化

16、的矩形截面简支梁，若设计成等强度梁，则其高度随截面位置的变化规律h(x)，可按正应力强度条件求得.,梁任一横截面上最大正应力为,求得,但靠近支座处，应按切应力强度条件确定截面的最小高度,求得,F,l/2,l/2,按上确定的梁的外形，就是厂房建筑中常用的鱼腹梁.,等强度梁,非对称截面 弯曲特点：,尽管外力作用 在形心上， 截面弯曲同时 产生扭转,7.6 非对称截面梁的平面弯曲与弯曲中心概念,弯曲中心,P,弯心作用： 外力作用在弯心上，杆件只弯不扭,弯心(剪心)定义： 梁横截面上弯曲切应力合力作用点,非对称截面梁发生平面弯曲的条件： 外力作用在主轴面内，还必须过弯曲中心,如何确定弯曲中心的位置,弯

17、曲中心位置与外 力大小和材料的性 质无关，是截面图 形的几何性质之一,弯心处，主矩 M= Q1hQe 0,根据切应力流确定弯心位置,思考题 图示截面梁有无弯曲中心？若有，在何处？,切应力公式的应用-弯曲中心,7-6 薄壁截面梁弯曲切应力的进一步分析,切应力流,合力,向形心简化结果,向弯曲中心简化结果,悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为1m。胶合面的许可切应力为0.34MPa，木材的= 10 MPa，=1MPa，求许可载荷。,1.画梁的剪力图和弯矩图,2.按正应力强度条件计算许可载荷,3.按切应力强度条件计算许可载荷,解：,例题5-6,目录,4.按胶合面强度条件计算许可载荷,5.梁的许可载荷为,目

18、录,弯曲应力小结,一、纯弯曲：梁的横截面上只有弯矩而无剪力的弯曲。 梁的横截面上只有正应力而无切应力的弯曲,二、横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力的弯曲。 梁的横截面上既有正应力又有切应力的弯曲,三、纯弯曲梁横截面上的正应力公式,（一）、几何方面：,（二）、物理方面：,难点,（三）、静力方面：,五、强度条件：,、对Z轴不对称的截面,四、正应力最大值的确定,、对Z轴对称的截面,六、强度计算： 1、强度校核，,重点,重点,八、其它截面梁：,1、工字型截面,2、圆型截面,3、薄壁圆环,七、 矩形截面梁横截面上的切应力,结论 对Z轴对称截面的弯曲梁，只计算一个截面： 对Z轴不对称截面的弯曲梁，必须计算两个截面：,2、设计截面尺寸， 3、确定外核载。,十、组合截面的弯曲梁：,1、自由叠加荷载均分，按各自的中性轴独自弯曲计算； 2、胶合、铆和按整体梁的中性轴整体弯曲计算。,九、切应力的强度计算,1、强度条件：,2、强度计算： 、校核强度，、设计截面尺寸，、确定外荷载。,