信号与系统：第20讲 第9章 拉普拉斯变换4

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1、第第9 9章章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 9.8-9.8-9.99.9系统函数的代数属性与方框图表示；系统函数的代数属性与方框图表示；单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换2022-9-22信号与系统第20讲2n拉普拉斯变换用于系统特性的分析拉普拉斯变换用于系统特性的分析n系统特性：系统特性：n因果性因果性n稳定性稳定性n微分方程表示的系统的分析微分方程表示的系统的分析n系统函数系统函数n系统函数收敛域与系统特性系统函数收敛域与系统特性n系统特性分析举例系统特性分析举例n巴特沃斯滤波器设计巴特沃斯滤波器设计n从系统函数的约束性要求到系统方程的推导从系统函数的约束性要求到系统方程的推导2022-9-2

2、2信号与系统第20讲3n拉普拉斯变换在系统分析中作用拉普拉斯变换在系统分析中作用n频率特性分析频率特性分析n稳定性分析稳定性分析n因果性分析因果性分析n拉普拉斯变换在系统模拟与设计中作用拉普拉斯变换在系统模拟与设计中作用n用功能单元描述系统（框图法）用功能单元描述系统（框图法）n根据系统函数或微分方程，作出框图根据系统函数或微分方程，作出框图n根据功能需求构造框图，求出系统函数或方程根据功能需求构造框图，求出系统函数或方程2022-9-22信号与系统第20讲42022-9-224n加法器加法器n框图框图n运算关系运算关系x1(t)X1(s)X2(s)x2(t)y(t)Y(s)y(t)=x1(t

3、)+x2(t)Y(s)=X1(s)+X 2(s)2022-9-22信号与系统第20讲52022-9-225n乘法器乘法器n框图框图n运算关系运算关系x(t)X(s)ay(t)Y(s)y(t)=a x(t)Y(s)=a X(s)2022-9-22信号与系统第20讲62022-9-226ttttttdxtydxdxdxty000)()()()()()(0tdxyty0)()0()(0()()tytxd x(t)y(t)y(0)x(t)y(t)ssXsYssXsysY)()()()0()(X(s)1sy(0)sY(s)Y(s)X(s)1s2022-9-22信号与系统第20讲72022-9-227n一

4、阶系统模拟一阶系统模拟n设设 y +a 0 y=x，n改写成改写成 y=x-a 0 y，n拉普拉斯变换为拉普拉斯变换为 sY(s)=X(s)a0Y(s)。X(s)sY(s)Y(s)1s1sy(0)x(t)y(t)-a0 y(t)y(0)2022-9-22信号与系统第20讲82022-9-228n二阶系统模拟二阶系统模拟n设设 y+a 1 y +a 0 y=x n改写得改写得 y=x a 1 y a 0 y x y(t)-a1 yy-a0 2022-9-22信号与系统第20讲92022-9-229x y(t)-a n-1 yy-a0 y(n)y(n-1)-a1 nn阶系统框图阶系统框图ny(n)

5、+a n-1 y(n-1)+-+a 1y+a 0y=xn或或 y(n)=xa n-1 y(n-1)-a 1y a 0y 2022-9-22信号与系统第20讲10n方程中含有方程中含有 x 的导数的系统的模拟的导数的系统的模拟n设设 y+a 1 y +a 0 y=b1x +b 0 x 10102101()()()()()Y sX sbsbZ s bsbsa saX(s)-a1 1/s-a0 Y(s)1/s10bs bZ(s)10010()()()()()Y sZ s bsZ s bZs bZ s b0()ZsX(s)-a1 1/s-a0 Y(s)1/s0b 1b10210()()()Y sbsb

6、H sX ssa sa2022-9-22信号与系统第20讲112022-9-2211n方程中含有方程中含有 x 的导数的系统的模拟的导数的系统的模拟n设设 y+a 1 y +a 0 y=b1x +b 0 x，n 引用一辅助函数引用一辅助函数，使，使nq(t)=y+a 1 y +a 0 y=b1x +b 0 xn 可得：可得：x=q+a 1q +a 0 q，y=b1q +b 0q n辅助函数的正确性可以在复频域很方便的确认。辅助函数的正确性可以在复频域很方便的确认。x q-a1 qq-a0 b0 b1 y2022-9-22信号与系统第20讲122022-9-2212n对于复杂系统，直接模拟网络复

7、杂，隔离性不好对于复杂系统，直接模拟网络复杂，隔离性不好n将系统函数进行部分分式展开，写成求和方式将系统函数进行部分分式展开，写成求和方式n模拟框图可以并联表示模拟框图可以并联表示2022-9-22信号与系统第20讲132022-9-2213423111)4)(3)(1(10412198104)(23ssssssssssssH 1 1 -2 1s+1 1s+3 1s+4 X(s)Y(s)()()()(1)(sXsaYssYsXassYy+ay=x x(t)y(t)-a0 y(t)2022-9-22信号与系统第20讲142022-9-22144132514)4)(3)(1()25(4121981

8、04)(23sssssssssssssH14s3)2/5(ss41sX(s)Y(s)H1(s)H2(s)H3(s)252()31213sHsss -3 1s12-X(s)Y(s)并联系并联系统统2022-9-22信号与系统第20讲152022-9-2215n问题提出问题提出n转移函数的求取是系统分析重要的问题转移函数的求取是系统分析重要的问题n多回路、多节点复杂情况下，输入输出法推导系统转移函数不易多回路、多节点复杂情况下，输入输出法推导系统转移函数不易n信号流图方式可以简化这个过程信号流图方式可以简化这个过程n信号流图定义信号流图定义n包括结点、路径以及标注在路径上的传输值的模拟图包括结点、

9、路径以及标注在路径上的传输值的模拟图n结点代表信号变量，同时兼有加法器功能结点代表信号变量，同时兼有加法器功能n路径连接结点表示信号变量间的因果关系路径连接结点表示信号变量间的因果关系n路径方向是信号流动的方向，起点是因，终点是果路径方向是信号流动的方向，起点是因，终点是果n传输值是两个变量之间的转移函数传输值是两个变量之间的转移函数2022-9-22信号与系统第20讲162022-9-2216X(s)Y(s)-a0 sY(s)1sX(s)1sY(s)1sY(s)1Y(s)-a 02022-9-22信号与系统第20讲172022-9-2217n结点表示信号变量的点结点表示信号变量的点n支路表示

10、信号变量之间的因果关系支路表示信号变量之间的因果关系n支路传输值支路变量之间的转移函数支路传输值支路变量之间的转移函数n入支路流向结点的支路入支路流向结点的支路n出支路流出结点的支路出支路流出结点的支路n源结点仅有出支路的结点，一般表示输入激励信号源结点仅有出支路的结点，一般表示输入激励信号n汇结点仅有入支路的结点，一般表示输出响应信号汇结点仅有入支路的结点，一般表示输出响应信号n闭环信号流经的闭合路径闭环信号流经的闭合路径n自环仅有一条支路的闭环自环仅有一条支路的闭环n前向路径源结点到汇结点不含任何环路的信号流通路径前向路径源结点到汇结点不含任何环路的信号流通路径2022-9-22信号与系统

11、第20讲182022-9-2218n视察法构图步骤适应简单系统视察法构图步骤适应简单系统n由电路图找出从输入信号到输出信号的流程及流程中由电路图找出从输入信号到输出信号的流程及流程中的各有关信号变量；的各有关信号变量；n找出各信号变量间相互的传输函数；找出各信号变量间相互的传输函数；n用结点表示各信号变量。用支路表示信号流向及传输用结点表示各信号变量。用支路表示信号流向及传输值并按信号的流程相连接。值并按信号的流程相连接。2022-9-22信号与系统第20讲192022-9-2219+-E(s)sLR2Il(s)R1I2(s)+-U1(s)1sCU(s)+-E(s)I1(s)U1(s)I2(s

12、)U(s)()()()(1)()()()()()()()()()()()()(2211221211111111sIRsUsCsUsCsUCssUsUsIsLsIsLsILssIsIsURsURsERsUsEsIE(s)I1(s)U1(s)I2(s)U(s)U(s)1R11R1-sL-sLsC-sCR212022-9-22信号与系统第20讲202022-9-2220n根据电路方程作图适应复杂系统根据电路方程作图适应复杂系统n复杂系统不易分清结点和回路的电流电压关系复杂系统不易分清结点和回路的电流电压关系n用矩阵形式的代数方程描述电路的电流电压关系用矩阵形式的代数方程描述电路的电流电压关系n信号流

13、图可以通过其代数方程组来建立信号流图可以通过其代数方程组来建立n对于电路方程组对于电路方程组 A x=K enx 为变量矩阵为变量矩阵,A、K为方程中相应系数矩阵。为方程中相应系数矩阵。n上式两边同加以矩阵上式两边同加以矩阵 x，则有，则有A x+x=K e+x n整理后可得整理后可得nx=-K e+(A+I)x=-K A+I n式中式中 I 为单位矩阵为单位矩阵ex2022-9-22信号与系统第20讲212022-9-2221n设一连续时间线性系统的设一连续时间线性系统的方程为方程为 n系数矩阵为：系数矩阵为：n矩阵运算得：矩阵运算得：n改写后得：改写后得：n画出信号流图画出信号流图n整理后

14、得整理后得0114112201321eexxx114112201,011AK014122202100010001114112201IA321321014012212021xxxexxx2-24ex1x2x32-1112-1eex1x3x2x2122-112411-1-22022-9-22信号与系统第20讲222022-9-2222n支路串联支路串联n顺向的支路串连可以合并为一条支路，等效传输值等顺向的支路串连可以合并为一条支路，等效传输值等于各个串联支路传输值的乘积。于各个串联支路传输值的乘积。n原支路原支路n等效支路等效支路 H1 H2 H3 X1 X2 X3 X4 X1 X4 H1H2H3

15、 2022-9-22信号与系统第20讲232022-9-2223n支路并联支路并联n若干支路并联，可以用一条等效支路代替，等效传输若干支路并联，可以用一条等效支路代替，等效传输值等于各个并联支路传输值的和值等于各个并联支路传输值的和n原支路原支路n等效支路等效支路 X1 H2 X2 H1H3 X1 X2 H1+H2+H3 2022-9-22信号与系统第20讲242022-9-2224n节点消除节点消除n连接结点消除后，在结点之间构筑新的支路，新支路的传输值为连接结点消除后，在结点之间构筑新的支路，新支路的传输值为前后结点间通过被消除结点的各顺向支路传输值的乘积前后结点间通过被消除结点的各顺向支

16、路传输值的乘积n原支路原支路n等效支路等效支路X1 X0 a1X2 a3 a2 X3 X1 X0 a1X2 a3 a2 X3 X1 X3 X2 X4 a1 a3 a2 a4 X0 X1 a1X2 a3 a2 X3 a1X1 a3X2 a3 a2 X3 a1X1 X3 X2 X4 a1 a3 a2 a4 a2 a3 a1 a42022-9-22信号与系统第20讲252022-9-2225n自环消除自环消除n传输值为传输值为t的自环消除后，该结点所有入支路的传输值的自环消除后，该结点所有入支路的传输值除以（除以（1t）的因子）的因子n原支路原支路 等效支路等效支路 a1 a2 t X1 X2 X0

17、 X1 X3 X2 X0 t a1 a3 a2 X1 X2 X0 X1 X3 X2 X0 0110tXXaX1101XtaX022XaXta11ta11ta123a2a2022-9-22信号与系统第20讲262022-9-2226 X1 X2 X0 a b c 消去消去X 0 X1 X2 ab 消自环消自环 X1 X2 bcab1 bc 1 s s 1 1-1 -s -sE I1 U1 I2 U U s 1 1 -s -sE U1 I2 U U-s s 1 1E U1 I2 U Uss1ss1s-s 1 1E I2 U U-sss12ss12 1 1E I2 U U11112222ssssss

18、s1)1(1122sssssss2022-9-22信号与系统第20讲272022-9-2227 1 1E I2 U U11112222sssssss1)1(1122sssssssE U U122 sss1)1(2ssss1E U1221)1(1122222ssssssssss2022-9-22信号与系统第20讲282022-9-2228n化简流图合并结点不难，但是计算总传输值不容易化简流图合并结点不难，但是计算总传输值不容易n梅森公式可以解决这个问题梅森公式可以解决这个问题n公式表达式公式表达式nHXY源结点源结点X至非源结点至非源结点Y的总传输值的总传输值n n源结点源结点X至非源结点至非源

19、结点Y的正向传输路径数的正向传输路径数 nGK源结点源结点X至非源结点至非源结点Y的第的第K条正向传输路径的传输值条正向传输路径的传输值n信号流图的特征行列式信号流图的特征行列式n1（各环的传输值之和）（各环的传输值之和）n （所有的任取两个互不接触环的传输值乘积之和）（所有的任取两个互不接触环的传输值乘积之和）n （所有的任取三个互不接触环的传输值乘积之和）（所有的任取三个互不接触环的传输值乘积之和）.nK与第与第k条正向传输路径不接触部分的流图的值条正向传输路径不接触部分的流图的值【互不接触互不接触】指图的两部分间没有公共的结点指图的两部分间没有公共的结点nkkkYXGH110ijikji

20、kjijiiLLLLLL,12022-9-22信号与系统第20讲292022-9-2229n共有共有4环环n其中只有其中只有 L1 和和L3 互不接触互不接触n有有2条正向传输路径：条正向传输路径：n由于各环都与正向传输路径由于各环都与正向传输路径G1相接触相接触n只有环路只有环路L2不与正向传输路径不与正向传输路径G2相接触相接触n总传输值总传输值0440XXHXX X0 m X1 a X2 b X3 c X4 X4 d e f 1gL1=ad L2=be L3=cf L4=gfed adcfgfedcfbead)(1mabcG 1mgG 211be12)(112211210440GGGXX

21、HkkkXXadcfgfedcfbeadbemgmabc)(1)1(2022-9-22信号与系统第20讲302022-9-2230n流图没有变化，不变流图没有变化，不变n有有2条正向传输路径条正向传输路径n11n21n所求传输值所求传输值0330XXHXX X0 m X1 a X2 b X3 c X4 d e f gadcfgfedcfbead)(1)(1221130GGHXXadcfgfedcfbeadmgfmab)(12022-9-22信号与系统第20讲31n双边拉普拉斯变换积分限改为（双边拉普拉斯变换积分限改为（0，），即单边拉普拉斯变换），即单边拉普拉斯变换n(1)由阶跃函数限定的单边

22、信号，单双边拉普拉斯变换一样由阶跃函数限定的单边信号，单双边拉普拉斯变换一样0()()stsx t edtX()()()x tsx t记为：U LXU L00tt在不同，在相同的两个信号，它们的双边拉普拉斯变换不同，但单边拉普拉斯变换相同因果信号的单边、双边拉普拉斯变换相同应用中大量为有始（右边）信号，起点设为0，就是因果信号1()()(1)!na ttx teutn1()()()nX sssasa，=XR e2022-9-22信号与系统第20讲32n(2)非因果信号，单双边拉普拉斯变换不同非因果信号，单双边拉普拉斯变换不同n(3)原点突变信号的单双边拉普拉斯变换原点突变信号的单双边拉普拉斯变

23、换n(4)单边拉普拉斯反变换单边拉普拉斯反变换(1)()(1)atx teut(1)00()()(1)saa taateX ssasaeseu tdteedtsasa 利用时移性质：，直接计算:，=XR eR e1()()2()()tx ttute ut01()()12 11x tssss单边拉普拉斯变换的积分区间从开始，原点有突变的奇异函数其单双边拉普拉斯变换相同，XU LR e1()(1)(2)sssXROCROCs没给出，但单边拉普拉斯变换为右边信号，一定是 平面最右边极点右边的右半平面2()()ttx teeu t=如果是计算双边拉普拉斯反变换，需给出ROC2022-9-22信号与系统

24、第20讲33信号信号单边拉普拉斯变换单边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换线性线性S域平移域平移时域尺度变换时域尺度变换共轭共轭卷积卷积时域微分时域微分S域微分域微分时域积分时域积分初值终值初值终值12()*()x txt12()()asbsXX1212()(),aX sbXs ROCRR包括0()s te x t0()ssX0()X ssROC R，=()0 x ata，1()saaX1()/sXROC R aaa，=*()x t*()sX*()XsROC R，=12()()ssXX1212()()X s X sROCRR，包括()dx tdt()(0)ssxX()sX sROCR

25、，包括()tx t()dsdsX()dX sROC Rds，=0()txd()ssX()0X sROCRss，包括R e0,()0;0,tx tt无冲激0(0)lim(),lim()lim(),stsxsX sx tsX s0(0)lim(),lim()lim(),stsxssx tssXX2022-9-22信号与系统第20讲34n卷积性质：需要两个信号都是因果的，时域卷积才等于卷积性质：需要两个信号都是因果的，时域卷积才等于s域乘积域乘积n时域微分：单边变换需要减去信号的初值，双边变换不需要时域微分：单边变换需要减去信号的初值，双边变换不需要n单位冲激响应就是一个因果信号单位冲激响应就是一个

26、因果信号n单双边拉普拉斯变换分析结果相同单双边拉普拉斯变换分析结果相同n利用单边拉普拉斯变换求解系统微分方程利用单边拉普拉斯变换求解系统微分方程n可以直接代入初值，一次完成系统响应的求解可以直接代入初值，一次完成系统响应的求解000()()()()(0)()stststdx tdx tedtx t esx t edtxssdtdt 微分性质证明：U LX2022-9-22信号与系统第20讲35n3.利用单边拉普拉斯变换求解微分方程利用单边拉普拉斯变换求解微分方程22-()()32()()()()1.;2.(0),(0)dy tdy tLTIy tx tdtdtx tau tyb yc一个因果系

27、统的微分方程为：输入信号，求下列情况下的系统的响应y(t)。具有初始松弛条件具有初始条件：-222(0)0,(0)0()3()2()()/2/2()(32)(1)(2)1211()()22ttyyasssssssaaaaass sss sssssy taeeu t具有初始松弛条件：对方程进行单边变换：YYYXY-2(0),(0)()3()32()3()(1)(2)(1)(2)yb ycassbscssbssbsbcassss ss 初始条件：对方程进行单边变换：YYYY零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应全响应全响应22()1 2()2()tttty teeu teeu t22,3,53(

28、)(1)(2)(1)(2)11312()13()ttabcbsbcassss sssssy teeu t如果：Y2()3()()tty teeu tu t 自然响应自然响应受迫响应受迫响应瞬态响应瞬态响应稳态响应稳态响应2022-9-22信号与系统第20讲362022-9-2236n设激励为设激励为e(t)，响应为响应为i(t)n写出系统的微积写出系统的微积分方程分方程n根据微分性质根据微分性质niL(0-)是电感中是电感中的初始电流的初始电流n根据积分性质根据积分性质nuC(0-)是电容中是电容中的初始电压的初始电压n微积分方程的拉微积分方程的拉普拉斯变换普拉斯变换+-e(t)LRil(0)

29、C+-uc(0)ittediCtRidttdiL)()(1)()()()(0)Ldi tLLsI sLidtL00(0)11()()()()ttcuI sidididCCCssLL)()0(1)(1)()0()(sEussICssRILisLsIcL2022-9-22信号与系统第20讲372022-9-2237n整理后得到复频域整理后得到复频域响应响应n时域响应通过拉普时域响应通过拉普拉斯反变换得到拉斯反变换得到n一次求得全响应一次求得全响应n初始状态看作等效初始状态看作等效电源电源(0)()(0)()1(0)()(0)()cLcLuEsL isIsL sRC suEsL isZsi(t)=L

30、-1 I(s)L L-LiLiL L(0)(0)(t)(t)+C C+CuCuC C(0)(0)(t)(t)-2022-9-22信号与系统第20讲382022-9-2238已知已知 e(t)=10e(t)=10(t)(t)，C=1F,C=1F,R R1212=(1/5)=(1/5),R,R2 2=1=1,L=1H,L=1H,初始初始状态为状态为 u uc c(0(0-)=-5V,i)=-5V,iL L(0(0-)=)=4A,4A,方向如图所示。试求响应电方向如图所示。试求响应电流流 i i1 1(t)(t)。n解：解：n列方程列方程n求拉普拉斯变换求拉普拉斯变换n整理整理n代入参数代入参数+-

31、e(t)LR12ilC|+uc(0-)R2iL(0-)i20)()(1222121212112dtdiLiRiiRtediCiiRt0)0()()()()()()0()(1)()(222121212112LcLisLsIsIRsIsIRsEsusICssIsIR)0()()()()0()()()(12212112212112LcLisIRRLssIRsusEsIRsICsR2)(562)(5115510)(51)(1512121sIssIssssIsIs2022-9-22信号与系统第20讲392022-9-223912718079562515115156225115)(21ssssssssI

32、1111213479180()7125713657136()34ttsi tIssseetss LLLN元方程组求解，元方程组求解，克拉默法则，克拉默法则，输入列向量替换输入列向量替换参数矩阵第一列参数矩阵第一列2022-9-22信号与系统第20讲402022-9-2240n电阻支路电阻支路n电路模型电路模型n电路方程电路方程+-RuR(t)iR(t)(a)时域电路时域电路uR(t)=RiR(t)+-RUR(s)IR(s)(b)s 域等效电路域等效电路UR(s)=RIR(s)拉普拉斯变换拉普拉斯变换2022-9-22信号与系统第20讲412022-9-2241n电感支路电感支路 时域电路时域电

33、路 复频域等效电路复频域等效电路-iL(0)LiL(t)+uL(t)dttdiLtuLL)()()0()()(LLLLissLIsUsL+-+LiL(0)UL(s)IL(s)L+-+LiL(0)(t)uL(t)iL(t)tLLLduLiti0)(1)0()(11()(0)()LLLIsiUsssL运算阻抗运算阻抗 ZL(s)=sL运算导纳运算导纳 YL(s)=1/sLiL(0)(t)L+-uL(t)iL(t)sL+-UL(s)iL(0)sIL(s)2022-9-22信号与系统第20讲422022-9-2242n电容支路电容支路n伏安关系伏安关系n拉普拉斯变换拉普拉斯变换n运算阻抗运算阻抗n运算

34、导纳运算导纳+-uc(t)Cic(t)(a)时域电路时域电路+-Uc(s)1/sCIc(s)uc(0)/s-+-Uc(s)1/sCIc(s)cuc(0)(b)s 复频域等效电路复频域等效电路0()()1()(0)()cctcccd utitCd tutuidC)0(1)(1)()0()()(ccccccussIsCsUCussCUsI1cZsCcYsC2022-9-22信号与系统第20讲432022-9-2243n一般情况下一般情况下n上面的等式只在初始状态为上面的等式只在初始状态为0 的时候成立的时候成立)()(1,)()(sIsUsCsIsUsLCCLL2022-9-22信号与系统第20讲

35、442022-9-2244n复频域基尔霍夫定理复频域基尔霍夫定理（举例）（举例）n画出时域电路的复频域电路图，并列运算方程画出时域电路的复频域电路图，并列运算方程n整理得到整理得到uc(0)+-e(t)LR12ilC+-R2iL(0)i2+-E(s)sLR12Il(s)R2+-I2(s)uc(0)ssC1I3(s)iL(0)ssisIsLsIsLRRsIRsIsusERsIsCRsILc)0()(0)()()()0()()()1)(332122121122121)0()()()()0()()()(12212112212112LcLisIRRLssIRsusEsIRsICsR2022-9-22信号与系统第20讲452022-9-2245n3种基本运算器加法、乘法、积分种基本运算器加法、乘法、积分n直接模拟作图直接模拟作图n仅有对输出信号的多阶处理仅有对输出信号的多阶处理n对输入信号的多阶处理对输入信号的多阶处理n子系统串连、并联的模拟作图子系统串连、并联的模拟作图9.359.35、9.379.37、9.409.40