二次根式及一元二次方程复习及练习[共22页]

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1、1 / 15二次根式小结与温习基础盘点1. 二次根式的定义：一般地,我们把形如 a （ a _0）的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根式 .定义诠释：（1）二次根式的定义是以形式界定的,如 4 是二次根式；（2）形如 b a （ a 0）的式子也叫做二次根式；（3）二次根式 a 中的被开方数 a,可以是数,也可以是单项式、多项式、分式,但必须满足 a 0.2. 二次根式的基本性质（1） a _0（ a_0）；（2）22 a _（ a _0）；（3） a a_aa_0_0；（4） ab _（ a _0, b _0）；（5）ab_（ a _0,b _0）.3. 最简二次根式必须满足的条件为： （1

2、）被开方数中不含 _；（2）被开方数中所有因式的幂的指数都 _.4. 二次根式的乘、除法则：（1）乘法法则： a b =_（ a_0,b _0）；（2）除法法则：ab_（ a _0, b _0）.2 温习提示 ：（1）进行乘法运算时, 若结果是一个完全平方数,则应利用 a aaaaa00进行化简,即将根号内能够开的尽方的数移到根号外；（2）进行除法运算时,若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数,应运用积的算术平方根的性质将其进行化简.5. 同类二次根式：几个二次根式化成 _后,如果 _相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式 .6. 二次根式的加减法则：二次根式加减时,可以先将二次根式化成 _

3、,然后把_进行合并 .温习提示 ：（1）二次根式的加减分为两个步骤： 第一步是 _,第二步是 _,在合并时,只需将根号外的因式进行加减,被开方数和根指数不变；（2）不是同类二次根式的不能合并,如： 3 5 8 ；2 / 15 （3）在求含二次根式的代数式的值时,常用整体思想来计算 .7. 二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致,也是先 _,再 _,最后 _,有括号的先 _内的.温习提示 ：（1）在运算过程中,有理数（式）中的运算律,在二次根式中仍然适用,有理数（式）中的乘法公式在二次根式中仍然适用；（2）二次根式的运算结果可能是有理式, 也可能是二次根式, 若是二

4、次根式,一定要化成最简二次根式 .8. 二次根式的实际应用利用二次根式的运算解决实际问题, 主要从实际问题中列出算式, 然后根据运算的性质进行计算,注意最后的结果有时需要取近似值.1 二次根式有意义的条件例 1 若式子 3x 4 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是（ ）A. x 43B. x43C. x 34D. x 34方法总结：判断含有字母的二次根式是否有意义, 就是看根号内的被开方数是不是非负数,如果是,就有意义,否则就没有意义,当二次根式含有分母时,分母不能为0.2 二次根式的性质例 2 下列各式中,正确的是（ ）2 B. 3 3 2 D. 3 32 C. 3 32A. 3 32方

5、法总结： a a成立的条件是 a 0,而在化简2a时,先要判断 a 的正负情况 .3 二次根式的非负性例 3 已知 y 2x 5 5 2x 3,则2xy 的值为（ ）A. 15 B.15 C.152D.152方法总结：二次根式 a （ a 0）具有双重非负性,即 a 0、 a 0.4 最简二次根式例 4 下列二次根式中,最简二次根式是（ ）A.15B. 0.5 C. 5 D. 50方法总结：在进行二次根式化简时,一些同学不知道化到什么程度为止,切记,一定要化到最简二次根式为止 .5 二次根式的运算例 5计算 24 18 13_.3 / 15方法总结 ：二次根式的加减运算, 一定要先化简才能得知

6、算式中哪些二次根式可 以合并,除法运算先化为乘法再运算,混合运算时要正确使用运算法则 .6 二次根式的化简求值例 6 若2013m ,则2014 15 2m 2013m4 3m 的值是_.方法总结 ：解决此类问题应注意代数式的变形和整体思想的运用 .一元二次方程1、一元二次方程： 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。例 1、（1）、下列方程中是一元二次方程是（ ）1A 、 2xx 2 B、2x 6 7 C、2 2 5x y D、23x 5x 2 02、一元二次方程的一般形式：2 0 ( 0)ax bx c a二次项：,一次项： ,常数项： 。二次项系数： ,一次项系数：

7、。例 2、（1）、方程 x(x+4)=8x+12 的一般形式是；二次项是一次项是,常数项是。（2）. 关于x的一元二次方程a x x 是一元二次方程, 则 a满足（ ）2 1 2 2 0A. a 1 B. a 1 C. a 1 D. 为任意实数| | mxm（3）、若方程 (m 2) x 3 1 0是关于 x 的一元二次方程,则（）A m 2 Bm=2 Cm= 2 Dm 2（4）、下列方程中 , 常数项为零的是 ( )A.x2+x=1 B.2x 2-x-12=12 ； C.2(x 2-1)=3(x-1) D.2(x 2+1)=x+23.一元二次方程的解法1、因式分解法移项：使方程右边为 0因式

8、分解：将方程左边因式分解；方法：一提,二套,三十字,四分组适用能因 式分解由 A ?B=0 ,则 A=0 或 B=0,解两个一元一次方程2 a a2、直接开平方法 ( 0)xx1 a x2 a适用无一 次项的x b2 a a(0)x b a解两个一元一次方程3、配方法移项：左边只留二次项和一次项,右边为常数项（移项要变号）同除：方程两边同除二次项系（每项都要除）配方：方程两边加上一次项系数一半的平方开平方：注意别忘根号和正负4 / 15 方程：解两个一元一次方程4、公式法 将方程化为一般式 写出 a、b、c2 , 求出 b 4ac 若 b2-4ac0,则原方程无实数解 若 b2-4ac 0,则

9、原方程有两个不相等的实数根,代入公式xb2b2a4acx=2 4b b ac2a求解 若 b2-4ac 0,则原方程有两个相等的实数根,代入公式xb2a求解。2 x例 4、（1）、若关 X 的一元二次方程 (k 1)x 6 3 0有实数根,则实数 k 的取值范围（）A.k 4,且 k 1 B.k 4, 且 k1 C. .k4 D. k 42 bx c（2）. 已知一元二次方程已知一元二次方程 ax 0,若 a b c 0,则该方程一定有一个根为（ ）A. 0 B. 1 C. -1 D. 22（3）. 关于 x 的一元二次方程 x kx1=0 的根的情况是 ( )A、有两个不相等的同号实数根 B

10、 、有两个不相等的异号实数根C、有两个相等的实数根 D 、没有实数根（4）. 关于 x 的一元二次方程2 2a 1 x x a 1 0的一个根是 0,则a值为（ ）A、 1 B 、 1 C 、 1或 1 D 、12（5）. 若关于 y 的一元二次方程 ky2-4y-3=3y+4 有实根 ,则k 的取值范围是 ( )A.k-74B.k -74且 k0 C.k -74D.k74且 k0例 5、(1)利用因式分解法解下列方程(x2)2(2x-3)2 3x(x 1) 3x 3 5 2 8 x 5 16 0x(2)、利用开平方法解下列方程1 2(2 y 1)2152=25 (3 2) 2424（x-3）

11、 x5 / 15(3)、利用配方法解下列方程2 5 2 2 0x x2 x3x 612 02 xx 2399 0(4)、利用公式法解下列方程23x 22x240 2x（x3）=x33x2+5(2x+1)=05、根与系数的关系：2 0 ( 0) ax bx c ax x1 2bax x1 2ca1 1x1 ,x2 x2 2x 1 0 x x例 5、（1）. 已知 是方程 的两个根,则 等于_.1 22 x（2）、已知一元二次方程 2 3 1 0x 的两根为 x1、 x2 ,则 x1 x2（3）、已知x ,1x 是方程22 6 3 0x x 的两实数根,则x x2 1x x1 2的值为 _（4）已

12、知方程2 2( 2) 2 4 0x m x m 两根的平方和比两根的积大 21,求 m 的值。6、一元二次方程的应用（要注意实际问题不能取负数）（1）二次三项式的因式分解2 bx c a 若一元 二次方 程 ax 0( 0) 的 两个实 数根为 x1 , x2 ,则二 次三项 式2 bx c a 2 bx c a x x x x ax ( 0) 在实数范围内可分解因式写成： ax ( 1 )( 2 )6 / 15当 b2 4 ac 0,二次三项式在实数范围内分解因式为： 2 bx c a(x x )(x x )ax1 2当 b2 4 ac =0,二次三项式在实数范围内分解因式为： 2 bx c

13、 a(x x ) 2ax12当 b 4 ac0,二次三项式在实数范围内不能分解因式（2）一元二次方程的实际应用二、典型例题精讲与练习1、填空题：（1）写一个有两个不相等的实数根的一元二次方程,这个方程可以是（2）已知方程 2x2 2mx 6 0 的一个根为 -2 ,则 m= ,它的另一个根是2 x k（3）已知关于 x 的方程 (1 2k )x 2 1 1 0有两个不相等的实数根, 则 k 的取值范围是2、在实数范围内将下列二次三项式分解因式：（1） 2x2 5x 3 (2) 3x2 5xy 2y22 x y(3) 2(2x y) 3(2 ) 52 x a3、已知关于 x 的一元二次方程 2

14、1 0x 没有实数根,试判断关于 x 的一元二次2 ax a 方程 1x 根的情况,并说明理由。2 k x k4、已知关于 x 的一元二次方程 2x ( 2) 2 0有两个相等的实数根,求 k 的值及这时方程的根。7 / 152 n m2 n225、已知 m,n 为实数,且 (m )( 1) 20,的值？ 3mn ,求 22(m n) 及2(m n)2 k x k6、求证：不论 k 为何值,关于 x 的方程 x (2 1) 3 0总有两个不相等的实数根。2 x m27、一元二次方程 m 1 x 1 0 有一个解为 0,求 2m 1的值。8、一元二次方程的实际应用例 6、（1）、某厂去年 3 月

15、份的产值为 50 万元,5 月份上升到 72 万元,这两个月平均每月增长的百分率是多少？若设平均每月增长的百分率是 x ,则列出的方程是（ ）2（A） 50 1 x 72 （B） 501 x 501 x 722（C） 50 1 x 2 72 （D）50 1 x 72（2）、原 价 a 元的某商品经过两次降价后, 现售价 b元,如果每次降价的百分比都为 x ,那么下列各式中正确的是（ ）2A a 1 2x b ； B a 1 x b；2C b 1 2x a ； D b 1 x a。（3）、某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后就会有 81台电脑被感染 请你用学过的知识分析,

16、每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制, 3 轮感染后,被感染的电脑会不会超过 700 台？8 / 15（4）. 某种商品经过两次连续降价, 每件售价由原来的 90 元降到了 40 元,求平均每次降价率是多少？（5）. 关山超市销售某种电视机,每台进货价为 2500 元,经过市场调查发现：当销售价为 2900 元时, 平均每天能售出 8 台电视机, 而当销售价每降低 50 元时, 平均每天就能多售出 4 台商场要想使这种电视机的销售利润每天达到 5000 元,每台电视机的定价应为多少元?（1）一种笔记本电脑,原来的售价是 15 000 元,经过连续两年的降价, 今天每台售价

17、为 12150 元,每年降价的百分率相同 .（1）求每年降价的百分率是多少？（ 2）如果吴云是在去年购买这种笔记本电脑的,那么与今年的售价相比,她多付了多少元？（6）某通讯公司每位员工都向本公司的其他员工发出了 1 条祝贺元旦的短信 .已知全公司共发出短信 870 条,求该公司员工的人数 .9 / 15（7）如图,某单位需要建一个面积为 1 200 平方米飞矩形仓库,计划利用一段 50 米长的旧墙,新墙只围三边, 已知每建造 1 米新墙需要用 500 元, 建造顶棚等其他费用为 1 万元, 设当被利用的旧墙长度为 x米时,仓库的总建设费用为 y 万元.(1)求 y 关于 x的函数解析式及其定义

18、域 .(2)当建设费用为 6 万元时,求被利用的旧墙的长度是多少米？(8)今年来由于受到国际石油市场的影响,汽油的价格不断上涨 .请你根据下列两位的对话,帮助小明计算一下 2006 年 5 月份汽油每升的价格 .2006 年 5 月份的汽油价格四 2005 年 5 月份汽油价格的 1.6 倍,用 150 元给汽车加的油量比2005 年少 18.75 升 .2006 年 5 元份的汽油每升价格是多少元呢？二次根式、一元二次方程的解法综合练习一、选择题1、下列各式一定是二次根式的是 ( )A 7 B 2x C2 y2x D3 62、下列根式中属最简二次根式的是 （ ）A.2 1a B.15C. 8

19、 D. 273、下列计算正确的是 ( )A. 2 3 5 B. 3 3 3 2 C. 2 2 2 3 2 D. 4 2 24、下列计算 错 误 的是 ( )1A. 14 7 7 2 B. 60 5 2 3 C. 9a 25a 8 a D. 2 2210 / 155、下列方程为一元二次方程的是 ( )1 32 y2A. 02 xx B. 2x 5 03 212 x x 2C. x 2 1 D. 7 024x x6、式子xx12的取值范围是 （ ）A. x 1 且 X 2 B.x1 且 x 2 C. x 2 D. x 17、方程的2 6 5 0x x 左边配成完全平方式后所得的方程为()A2(x

20、3) 14 B2(x 3) 14 C2 1( x 6) D以上参考答案都不对22 bx c8、若 (a 1)x 0是关于 x 的一元二次方程,则（ ）Aa0 B a1 C a 1 D a =19、下面是某同学在一次数学测验中解答的填空题,其中答对的是（）2 2A若 x =4,则x=2 B . 若3x =6x,则x=2C x2 x k 0 的一个根是 1,则k=2D若分式x x 2x的值为零,则x=2或x=010、关于 x 的一元二次方程2 2 0x x 的根的情况是 （ ）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D无法判断2 x m11、一元二次方程 4 2 6 0x 有两个相

21、等的实数根,则m 等于（ ）A. 2B.3 C. 4 D. 512、某厂今年一月份的产量为20 吨, 第一季度的总产量共 85 吨,设平均每月增长率是 x, 根据题意所列的方程为( )A、20 x2 =85 B 、20（1+x）=85C、20（1+x） 2 =85 D 、20 + 20 （1+x）+ 20（1+x）2 =85 D 、20 + 20 （1+x）+ 20（1+x）2 =8513、摄影兴趣小组的学生,将自己拍摄的照片向本组其他成员各赠送一张,全组共互赠了 182张,若全组有 x 名学生,则根据题意列出的方程是 （ ）11 / 15A. x （x1）182； B. x （x1）182

22、；C. 2x （x1）182 D.12x（x1）18214、方程 x29x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为（ ）BA12 B 12 或15 C15 D 不能确定15、如图,一只蚂蚁从长、宽都是 4,高是 6 的长方体纸箱的 A点沿纸箱爬到 B点,那么它所行的最短路线的长是 ( )A9 B10 C4 2 D2 17A2 x16三角形的两边长分别是 3 和 6,第三边是方程 x 6 8 0 的解,则这个三角形的周长是 （ ）A、11 B 、13 C 、11或 13 D 、11和 132 b2 a2 b217. 若 a 2 8,则2 b 2a （）A2 B. 4 C.4

23、或2 D. 4 或 2二、填空题1、计算： 12 3=。2方程22x 1 3x化为一般形式为 ,一次项系数是 。3. 如果最简二次根式 1 a 与 4a 2 是同类根式,那么 a。 2 的正确结果是 _ 。4. 若x 2 ,化简 (x 2) 3 x5. 比较大小： 3 2 _2 3 （填“”或“”） 2 的解是 ；方程 x 2 x 3 0 的解是_。6. 方程 x 3x7、在实数范围内分解因式2 5x ；2 x8、 已 知 x 1是 方 程 ax 2 0 的 一 个 根 , 则 a _。9、已知方程 x 1、x2,则 x1 + x2, 24x30 的两根分别为 x24x30 的两根分别为 xx

24、 x =。 10. 若1. 212 / 152010xx、y 为实数,且 x 2 y 2 0 ,则 的值为_y11.x2 3x _ (x _)212、已知关于 x 的一元二次方程（ 12k）x2 x1=0 有实数根,则 k 的取值范围是 _13 观察分析下列数据, 寻找规律： 0 , 3, 6 ,3,2 3, 15,3 2 ,那么第 10个数据应是 .14. 把一元二次方程 3x22x3=0化成 3（x+m）2=n的形式是；若多项式 x2ax+2a3 是一个完全平方式,则 a=2 x x15. 当 x=时, x 3 与 15 既是最简二次根式,被开方数又相同。三、解答题：1 2 x 11 0

25、2( ) ( )3 (2)2 （2）、 9 x xx 6 2 1、计算：（1）、3 4（3）、（2 3 3 2 ）27 32 （2 3 ）（2 3 ）（4） 13（5）（2 48+3 27） 6（6） 1 1 22 12 3 1 5 48 3 3 32、解方程（每小题 5 分,共 20 分）.（1）、22 x(x 2) 25 （2）、(2x 1) 3(2 1)13 / 15（3）、2 2 4 02x - x- = ； （4）、 3x 1 4x2 x（5）3x 5 2 0 （6）2(x 3) 2x( x 3) 02 x x2（7） 2x 3 6 9 （8） x(2 x 3) 4x 63先化简,再

26、求值： （1 1xy xy ）2xy2 ,x 2y2y其中 x= 2 1,y= 2 1. （7 分）4. （本题 10 分）已知：关于 x的方程 2x2 kx 1 0（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是 1,求另一个根及 k 值5、（本题 8 分）观察下列等式：1 2 12 1 ( 2 1)( 2 1)1 2,1 3 23 2 ( 3 2)( 3 2)2 3；14 / 151 4 34 3 ( 4 3)( 4 3)3 4；,从 计 算 结 果 中 寻 找 规 律 , 并 利 用 这 一 规 律 计 算 ：1 1 1 1( . . . . . . ) ( 2 0 1 1

27、1 )2 1 3 2 4 3 2 0 1 1 2 0 1 07、拓展题 （每题记 8 分, 共 8 分)2 bx c(1) 、一 元二 次 方 程 ax 0 的 一 个 根是 , 且 a 、 b 、 c 满足b a 2 2 a 3,请问 x =2 是该一元二次方程的根吗？2 x(2) 、若关于 x 的方程 kx 2 1 0 有两个不相等的实数根,求 K的取值范围。2 xx 2 1 0(3) 、已知关于 x 的方程（ a-1 ） 有两个实数根,求 a的取值范围。(4) 已知代数式 -2x2+4x-18用配方法说明无论 x 取何值,代数式的值总是负数当 x 为何值时,代数式有最大值,最大值是多少？8已知：4x ,求5 12 5 6x x 的值.15 / 159（8 分）、观察下列各式：1 1 1 1 1 11 2 ; 2 3 ; 3 4 , ,3 3 4 4 5 5请你将猜想：(1)416, （2）517.(3)请你将猜想到的规律用含有自然数 n（n 1）的代数式表达出来 :知识改变命运