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1、圆环：,复习,第六章,Z,b,h,Z,Z,d D,d,当中性轴是横截面的对称轴时：,横截面上的最大正应力：,Wz: 抗弯截面模量,例1：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试求当最大正应力为最小时的支座位置。,a,l,a,q,解：作弯矩图,支座位置a直接影响支座截面和跨中截面上的弯矩值。当中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应力相等时，只有支座处截面与跨中截面之弯矩的绝对值相等，才能使该梁的最大弯矩的绝对值为最小，从而使其最大正应力为最小。,取有效值,例2：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1P2？,解：,例3：,矩形截
2、面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？,解：,由公式,可以看出：该梁的承载能力将是原来的2倍。,例4：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？,A,B,P,a,C,D,主梁AB,副梁CD,M,M,解：,主梁AB的最大弯矩,副梁CD的最大弯矩,由,得,例5：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为+和 -，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少? (为截面形心),解：,例6：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力=160 MPa，校核该梁的强度。
3、,解：由弯矩图可见,该梁满足强度条件，安全,例7：图示铸铁梁，许用拉应力+ =30MPa， 许用压应力- =60MPa,z=7.6310-6m4， 试校核此梁的强度。,C截面：,B截面：,满足强度要求,本题,可不必计算,为什么？,例8：简支梁AB，在截面下边缘贴一应变片，测得其应变= 610-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。,解：,C点的应力,C截面的弯矩,由,得,例9：简支梁受均布荷载，在其截面的下边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试问该应变片所测得的应变值应为多大？,解：,C截面下边缘的应力,C截面的弯矩,应变值,=75,例10：图示木梁，已知下边缘纵向总伸
4、长 为 10 mm，E=10GPa，求载荷 P 的大小。,解：,例11：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,（使Wz最大）,解：,由此得,3:2,例12:跨长l =2m的铸铁梁受力如图示,已知材料许用拉、压应力分别为,和,试根据截面最为合理的要求，确定T形梁横截面的一个参数 ，并校核此梁的强度。,解：设z轴过形心,最为合理时, =24mm,梁满足强度要求,还需校核最大工作压应力吗？,例13:图示悬臂梁在自由端受集中力作用,P =20kN。试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：(1)高宽比h/b=
5、2的矩形；(2)圆形；(3)工字钢。,P=20kN,解:作弯矩图,由强度条件,(1)矩形,b=6cm h=12cm,(2)圆形,d11.3cm,(3)工字形,查型钢表，取16号工字钢,例14：一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载,已知b=2m ,解:求出中性轴位置 作弯矩图,Fb/2,Fb/4,分析可知，不论截面B或截面C，梁的强度均由最大拉应力控制,腹板,翼缘,在腹板上：,2、工字形截面梁的剪应力,最大剪应力：,3、圆截面梁的剪应力,例15：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的 许用应力=160MPa，=100MPa， 试求最小直径 dmin。,解:,跨中截面弯矩最大，支座附近截面剪力最大,由正
6、应力强度条件：,由剪应力强度条件：,例16：两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。若材料许用应力为，其许可载荷P为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许用剪应力为，求螺栓的最小直径？,P,l,解:一、两梁叠放承载 时，每梁将各自弯曲两 梁都有自己的中性层,每梁的最大正应力：,其中：,二、当两梁用螺栓联 为一体时，中性轴只 有一个：,P,由正应力强度条件：,可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。,三、求螺栓最小直径：,螺栓主要是受剪,设梁达到了许用载荷P,中性轴处：,全梁中性层上的剪力：,由螺栓剪切强度条件：,可得：,讨论： 与何力平衡？,例17：简易
7、起重设备，起重量P=30kN，跨长l=5m，吊车大梁AB由20a号工字钢制成，试校核梁的强度。,解:,査表,当荷载移至跨中时：,当荷载移至支座附件时：,梁的强度符合要求,例18：上例吊车大梁，起重量增至P=50kN，跨长l=5m，梁AB中段用横截面为120mm 10mm而长度为2.2m的钢板加强。校核梁的强度。,解:,査表:20a工字钢,组合截面惯性矩：,当荷载移至跨中时：,剪应力请自行校核！,还需校核变截面处 ! ! !,当荷载移至变截面处时，对变截面最不利,为什么？,梁的强度不符合要求,怎么办？,加强板加长！,加长多少？,例19：矩形截面木梁跨长l=3.6m,截面尺寸h/b=3/2,分布荷
8、载集度q=0.96kN/m,试设计该梁的截面尺寸。许用应力,q,h,b,z,y,解: 跨中为危险截面,h/b=3/2,b=0.0876m, h=0.131m,可选b=90mm, h=135mm,请注意计算单位！,您知道危险点在何处吗？,0.31h,例20、矩形截面梁，跨中C处受集中力P,设截面 高h为常数，宽度b可变化，b=b(x),求b(x)。,l,P,A,B,解：由对称性，研究一半梁AC,C,x,由等强度条件：,b(x),考虑到剪切强度条件：,对于矩形截面：,b(x)min,即:,同理：若b为常量，高度h=h(x),l,P,A,B,C,x,按抛物线变化,考虑到剪切强度条件：,P,N,N,鱼
9、腹梁,例1：图示传动轴，主动轮A输入功率PA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分别为 PB=PC=15马力 ，PD=20马力，轴的转速为n =300转/分钟。作轴的扭矩图。,第五章,解：,T2,T3,四轮有无更好的排列方式？,例2：内外径分别为20mm和40mm的空心圆截面轴，受扭矩T=1kNm作用，计算横截面上A点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。,解：,例3：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?,解：设实心轴的直径为 d1 ，由,得：,0.8,0.8,1.192,0.8,0.512,越薄越好吗？,例4：一空心圆轴，内外径之为 , 两
10、端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为,若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为的多少倍？（按强度计算）。,解：,设空心圆轴的内、外径原分别为 d、D，面 积增大一倍后内、外径分别变为 d1 、 D1 ， 最大许可扭矩为1,例5：一空心轴 =d/D=0.8，转速n=250rpm, 功率 P=60kW，=40MPa，求轴的外直径D和内直径d。,解：,例6：汽车传递轴用45号无缝钢管制成，外径D=90mm,壁厚 t =2.5mm，工作时最大扭矩T=1.5kNm,材料的许用剪应力,1、校核轴的强度； 2、改为实心轴时，在强度相同条件下，确定轴的直径； 3、比较实心轴和空心轴的
11、重量。,解：,1、校核轴的强度,轴的强度符合要求,例7：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为 6时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。,解：,例8：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90变为 88。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的相对扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩m。,解：由,例9：有两根圆轴，一为实心轴，一为空心轴，它们的长度、横截面面积和承受的外力偶矩均相同。外力偶矩m=10kNm,轴长l=1m,剪切模量G=80GPa，实心轴直径为104mm，空心轴外径为1
12、20mm，内径为60mm。试比较它们的最大扭转角。,解：,实心轴,空心轴,例10：图示钢制实心圆截面轴，d=70mm， G=80GPa ， ，,试求截面C相对截面B的扭转角。,解：,假设A截面不动,方向同,第一种解法,第二种解法 叠加法,在线弹性范围和小变形条件下，可采用叠加法。,负号表明,例11：传动轴传递外力偶矩5kNm,材料的=30MPa, G=80GPa, 试选择轴的直径。,解：,可选d=95mm,三、扭转超静定问题解法,例12：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。,解：,静力平衡方程为：,变形协调条件为：,即：,例13：横截面为h=100m
13、m、b=45mm的矩形截面杆，受扭矩T=3kNm作用，试求横截面上长边中点处和短边中点处的扭转剪应力。如采用横截面面积相等的圆截面杆，试比较两者的最大剪应力。,解：,(1)矩形截面：,h/b=2.0时，=0.246, =0.796 h/b=2.5时， =0.258, =0.767,线性插入法,h/b=2.0, =0.246,2.5,0.258,2.22, =?,h/b=2.22时,长边中点处的剪应力为横截面上的最大剪应力,短边中点处的剪应力为该边上各点处剪应力的最大值,(2) 圆形截面：,圆形截面面积A=,矩形截面面积A=10045=4500,d=75.7mm,在面积相等的情况下，矩形截面的最大剪应力比圆形截面 的最大剪应力大。矩形截面愈狭长，其结果愈显悬殊。,
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